2024年3月16日发(作者：2023大连中考数学试卷)
{来源}2019年北京中考数学试卷
{适用范围:3． 九年级}
{标题}
2019年北京市中考数学试卷
考试时间：120分钟 满分：100分
{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，合计16分．
{题目}1．（2019年北京）
4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第
一颗人造地球卫星“东方紅一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道
距地球最近点439000米，将439 000用科学记数法表示应为
6653
A.0.439×10 B.4.39×10 C.4.39×10 D.439 ×10
{答案}C
{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数，
科学记数法的表示形式为a×10
n
的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数．439 000=4.39×100000=4.39×10
5
，故本题答案为C.
{分值}2
{章节:[1-1-5-2]科学计数法}
{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}2．（2019年北京）下列但导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A B C D
{答案}C
{解析}本题考查了轴对称图形的识.
如果一个图形沿某直线对折后，这线两旁的部分能够完全重
合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.根据轴对称图形的定义可知选项C
中的图形是轴对称图形.
{分值}2
{章节:[1-13-1-1]轴对称}
{考点:轴对称图形}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}3．（2019年北京）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
{答案}B
{解析}本题考查了多边形的外角和
，根据多边形的外角和都等于360°可知答案为B.
{分值}2
{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}
{考点:多边形的外角和}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}4．（2019年北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1
个单位长度，得到点C．若CO＝BO，则a的值为（ ）
A
．
-3 B
．
-2 C
．
-1 D
．
1
{答案}A
{解析}本题考查了数轴及平移的性质.
∵点A,B在原点O的两侧，∴a＜0.∵CO=BO，点B表示数2，
∴点C表示数-2.∵点A向右平移1个单位长度得到点C，∴点A表示的数a=-2-1=-3.
{分值}2
{章节:[1-1-2-2]数轴}
{考点:数轴表示数}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}5．（2019年北京）已知锐角∠AOB．
如图
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作
PQ
，交射线OB于点D．连接CD；
（2）分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交
PQ
于点M、N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A.∠COM＝∠COD B.若OM＝MN，则∠AOB＝20°
∥CD ＝3CD
PM
A
C
O
D
B
N
Q
{答案}D
{解析}本题是一道尺规作图题，综合考查了等腰三角形、全等三角形、平行线的判定等知识.如
图，连接ON，根据作图过程可知∠COM=∠COD=∠DON，故选项A正确；若OM=MN，则△OMN是等边三角
形，∴∠AOB=
1
×60°=20°，故选项B正确；设MN与OA交于点E,与OB交于点F.易证△MOE≌△NOF，
3
∴OE=OF.∵OC=OD，∴∠OEF=∠OFE=∠OCD=∠ODC，∴MN∥CD，故选项C正确；连接MC,DN，则
MC=CD=DN，根据“两点之间线段最短”可知MC+CD+DN＜MN，即3CD＜MN，故选项D不正确.
{分值}2
{章节:[1-13-2-2]等边三角形}
{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}
{考点:等边三角形的判定与性质}
{考点:等边对等角}
{考点:同位角相等两直线平行}
{考点:线段公理}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}6．（2019年北京）如果m＋n＝1，那么代数式
(
（ ）
A
．-3
B
．-1
C
．1
D
．3
{答案}D
2mnmn
{解析}本题考查了分式的化简求值.
原式=
(mn)(mn)
m
mn
m
mn
3m
(mn)(mn)
m
mn
2mn1
)(m
2
n
2
)
的值为
2
mmnm
=3（m+n）.当m+n=1时,原式=3×1=3.
{分值}2
{章节:[1-15-2-2]分式的加减}
{考点:分式的混合运算}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
11
中的两个不等式作为题设，余下的一个不
ab
等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
{答案}D
{解析}本题考查了不等式的基本性质及真命题的判定．
根据题意，可知组成的命题有3个，分别
111111
为①若ab＞0，
，则a＞b；②若a＞b，ab＞0，则
；③若a＞b，
，则ab＞0. 对
ababab
11
于命题①，∵ab＞0，
，∴b＜a，故该命题正确；对于命题②，∵a＞b，ab＞0，∴
ab
1111
11ba
0
.∵a＞b，∴b-a＜0，∴ab＞
，故该命题正确；对于命题③，∵
，∴
abab
baab
{题目}7．（2019年北京）用不等式a＞b，ab＞0，
0，故该命题正确；
{分值}2
{章节:[1-9-1]不等式}
{考点:不等式的性质}
{考点:命题}
{类别:易错题}
{难度:3-中等难度}
{题目}8．（2019年北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他
们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
时间t
人数
学生类别
男
女
初中
学段
高中
性别
人均参加公益活动的时间
0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40
7
8
31
29
25
25
26
36
30
32
44
4
8
11
30
25
20
15
10
5
24.5
25.5
27.0
21.5
男生女生初中生
高中生
学生类别
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间
所有合理推断的序号是
A.①③ B.①④ C.①②③ D.①②③④
{答案}C
{解析}本题是一道与统计图有关的题目，综合考查了平均数、中位数等知识.
根据题意，补全统计
表如下：
时
间t
人数
0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40
学生
类别
7 31 25 30 4
性
男
别
女
8 29 26 32 8
初
x 25 36 44 11
学
中
段
高
y 35 15 18 1
中
由统计图，可知200名学生中，97名男生人均参加公益劳动的时间为24.5,103名女生人均参加
公益劳动的时间为25.5，故这200名学生参加公益劳动时间的平均数
x
=
－
－
24.597+25.5103
，
200
故24.5＜
x
＜25.5，故①正确；这200名学生参加公益劳动的时间的中位数是第100个数据和第
101个数据的平均数，根据上面统计表可知，第100个数据和第101个数据都在20≤t＜30这一组
内，即中位数在20-30之间，故②正确；由统计表可知x+y=15，故初中生参加公益劳动时间的
中位数一定在20≤t＜30这一组内，高中生参加公益劳动时间的中位数一定在10≤t＜20这一组
内，故③正确，④不正确.
{分值}2
{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}
{考点:频数（率）分布表}
{考点:算术平均数}
{考点:中位数}
{考点:条形统计图}
{类别:高度原创}
{难度:4-较高难度}
{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，合计16分．
x1
{题目}9．（2019年北京）若分式的值为0，则x的值为
＝ .
x
{答案}
1
x1
{解析}本题考查了分式的值为0的条件.
∵分式的值为0，∴分子x-1=0，解得x=1.
x
{分值}2
{章节:[1-15-1]分式}
{考点:分式的值}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}10．（2019年北京）
如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为＝
cm．（结果保留一位小数）
{答案}
{解析}本题考查了三角形面积的计算，解题的关键正确作出三角形的高.
如图，过点C作CD⊥AB，
交AB的延长线于点D，则S
△ABC
=
1
AB·CD.
2
{分值}2
{章节:[1-11-1]与三角形有关的线段}
{考点:三角形的面积}
{考点:准确数与近似数}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}11．（2019年北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有正确
答案的序号）
{答案}
①②
{解析}本题考查了几何体的三视图.
①中长方体的主视图、俯视图和左视图都是矩形，②中圆柱
的主视图和左视图都是矩形，③中圆锥的三视图都不是矩形.
{分值}2
{章节:[1-29-2]三视图}
{考点:同底数幂的乘法}
{考点:简单几何体的三视图}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}12．（2019年北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA
＝ °.
{答案}
45
{解析}本题是一道网格题，利用全等三角形实现角的转化是解题的关键.
如图，∵△APC≌△
BED，∴∠PAB=∠DBE.∵△EPB是等腰直角三角形，∴∠EBP=45°，∴∠DBE+∠PBA=90°-45°
=45°，即∠PAB+∠PBA=45°.
{分值}2
{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}
{考点:全等三角形的性质}
{考点:等腰直角三角形}
{类别:发现探究}
{难度:3-中等难度}
{题目}13．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)（a＞0，b＞0）在双曲线
y
上，点A关于x轴的对称点B在双曲线
y
k
2
上，则k
1
＋k
2
的值为 .
x
k
1
x
{答案}
0
{解析}本题考查了反比例函数表达式的求法，确定关于x轴的对称点的坐标是解题的关键.
∵点
k
A(a，b)在双曲线
y
1
上，∴k
1
=ab.∵点A与点B关于x轴对称，∴B（a,-b）.∵ 点B在双曲线
x
k
y
2
上，∴k
2
=-ab.∴k
1
＋k
2
=0.
x
{分值}2
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{考点:反比例函数的解析式}
{考点:点的坐标}
{考点:坐标系中的轴对称}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}14．（2019年北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三
角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 .
5
1
图1 图2 图3
{答案}
12
{解析}本题考查了正方形和菱形的性质，根据所拼图形得到直角三角形两直角边的关系是解题的关
键.
设每个直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则
a=3,
ab5,
，解得
，∴菱形
b2
ab1
的面积为
1
ab×4=12.
2
{分值}2
{章节:[1-18-2-2]菱形}
{考点:菱形的性质}
{考点:二元一次方程组的应用}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}15．（2019年北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差
s
0
2
，在计算平均
数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，－4，9，－5．记这组
新数据的方差为
s
1
2
，则
s
0
2
s
1
2
．（填“＞”，“＝”或“＜”）
{答案}
=
{解析}本题考查了方差的计算，根据方差公式计算即可.
原数据的平均数
－
1
92+90+94+86+99+85
=91
，
6
1
222222
S
2
0
=
9291
9091
9491
8691
9991
8591
=
6
－
681
=
；新数据的平均数
x=
2+04495
=1
，
36
168
222222
S
2
1
=
21
01
41
41
91
51
=
，∴
S
2
0
=S
2
1
.
36
x=
{分值}2
{章节:[1-20-2-1]方差}
{考点:同底数幂的乘法}
{考点:方差}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}16．（2019年北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不
与端点重合）.
对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
{答案}
①②③
{解析}本题是一道四边形压轴题，综合考查了平行四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判定.
在
矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，过点O作直线PM和NQ交BC，易证MNPQ为平行四边形；当
PM=QN时，四边形MNPQ为矩形；当PM⊥QN时，四边形MNPQ为菱形；由于PM=QN与PM⊥QN不一定能
同时成立，故四边形MNPQ不一定是正方形.故正确的结论是①②③.
{分值}2
{章节:[1-18-2-3] 正方形}
{考点:平行四边形边的性质}
{考点:平行四边形对角线的性质}
{考点:矩形的判定}
{考点:菱形的判定}
{考点:正方形的判定}
{类别:高度原创}{类别:易错题}
{难度:4-较高难度}
{题型:4-解答题}三、解答题：本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小
题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分．
1
{题目}17．（2019年北京）计算：
3(4
)
0
2sin60()
1
．
4
{解析}本题考查了实数的运算，掌握绝对值的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值及负指数幂是
解题才能正确解答.
{答案}
解：原式=
3
-1+
3
+4=2
3
+3.
{分值}5
{章节:[1-28-3]锐角三角函数}
{考点:实数与绝对值、相反数}
{考点:零次幂}
{考点:负指数参与的运算}
{考点:特殊角的三角函数值}
{考点:简单的实数运算}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
4(x1)x2,
{题目}18．（2019年北京）解不等式组：
x7
x.
3
{解析}本题考查了不等组的解法和不等式组的整数解，解不等式组的步骤为：先解出不等式组中每
个不等式的解集，然后得出不等式组的解集．
{
答案
}
解：解不等式4（x-1）＜x+2，得x＜2；
7
x7
x
，得x＜.
3
2
所以，这个不等式组的解集为x＜2.
{分值}5
{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:解一元一次不等式组}
{题目}19．（2019年北京）关于x的方程
x
2
2x+2m10
有实数根，且m为正整数，求m的值及此
时方程的根．
{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，由于原方程有实数根可知b
2
-4ac≥0，由此确定出m取
值范围，又有m为正整数，从而可确定m的值.
2
{答案}
解：∵方程x-2x+2m-1=0有实数根，
2
∴（-2）-4（2m-1）≥0，解得m≤1.
∵m为正整数，∴m=1.
∴原方程为x
2
-2x+1=0.
解得x
1
=x
2
=1.
{分值}5
{章节:[1-21-2-2]公式法}
{考点:根的判别式}
{考点:完全平方式}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}20．（2019年北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=
DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
1
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG＝ ，求AO的长．
2
解不等式
A
E
B
F
D
{解析}本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、锐角三角函数等知识.
（1）先根据菱形边和对角线的性质得到AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形三线合一的
性质证得AC⊥EF；（2）根据菱形对角线的性质可得BO的长度及AC⊥BD，又有AC⊥EF，故BD∥
EF，由此可知四边形EBDG是平行四边形，从而得到
tan∠ABD= tanG=
C
1
.在Rt△ABD中由tan∠
2
ABD=
1
即可求得AO的长度.
2
{答案}
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠BAD.
∵BE=DF，即AE=AF.
∴AC⊥EF.
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CG∥AB，BO=
1
BD=2.
2
∵AC⊥EF，∴BD∥EF.
∴四边形EBDG是平行四边形.
∴∠ABD =∠G.
∵tan∠ABD=tanG=
∴
1
,
2
AO1
=，解得AO=1.
22
{分值}5
{章节:[1-28-3]锐角三角函数}
{考点:正切}
{考点:菱形的性质}
{考点:等腰直角三角形}
{考点:平行四边形边的性质}
{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}21．（2019年北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指
数，对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析，下图给出了部
分信息．
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x < 40，40≤x <50，50≤x
<60，60 ≤x <70，70≤x <80，80≤x <90，90 ≤x≤100）；
频数（国家个数）
12
9
8
6
2
1
30100
国家创新指数得分
b．国家创新指数得分在60≤x <70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图
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