2023内蒙古高考数学试题

2024年4月7日发(作者：淮海二模数学试卷分析报告)

2023年内蒙古高考数学第一次质量普查调研试卷（理科）（一模）

一、选择题（共

12

小题）

.

1

．已知集合

A

＝

{1

，

2

，

3

，

4}

，

B

＝

{x|1

＜

x

＜

3}

，则

A

∩

∁

R

B

＝（

A

．

{1

，

3

，

4}

2．下面是关于复数z＝

B

．

{1

，

4}

的四个命题：

．

C

．

{3

，

4}

）

D

．

{4}

P

1

：

z

的实部为﹣

1

；

P

2

：

z

的虚部为

1

；

P

3

：

z

的共轭复数为

1+i

；

P

4

：

|z|

＝

其中真命题为（

A

．

P

1

∨

P

3

）

B

．￢

P

2

∨

P

3

C

．

P

3

∧

P

4

D

．

P

2

∧

P

4

3

．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两

等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助

线），当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（）

A．B．

C．D．

4．已知角α的终边在直线

A．B．

上，则

C．

的值为（）

D．

5

．我国某电子公司推出了一款领先于世界的

5G

电子产品．现调查得到该

5G

产品上市时间

x

和市场占有率

y

（单位：

%

）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴

1

代表

2020

年

8

月．

2

代表

2020

年

9

月……，

5

代表

2020

年

12

月．根据数据得出

y

关于

x

的

线性回归方程为＝0.042x+．若用此方程分析并预测该产品市场占有率的变化趋势，则

该产品市场占有率最早何时能超过

0.5%

（精确到月）（）

A

．

2021

年

5

月

6．

A

．﹣

2

B

．

2021

年

6

月

C

．

2021

年

7

月

）

D

．

2021

年

8

月

的展开式中x

2

的系数为（

B

．

2C

．﹣

10D

．

10

7

．古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同

学用平行于母线

PA

且过母线

PB

的中点

M

的平面去截圆锥，所得截线为如图所示的抛

物线．若该圆锥的高

PO

＝

1

，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（）

A．

8．关于函数

B．3C．

，下面4个判断错误的有（

D．

）

①

函数

f

（

x

）的图像是中心对称图形；

②

函数

f

（

x

）的图像是轴对称图形；

A

．

①③B

．

②③C

．

②④D

．

③④

③

函数

f

（

x

）在

x∈

（

1

，

+

∞）单调递增；

④

函数

f

（

x

）在

x∈

（﹣

1

，

0

）单调递减．

9．将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移

数的图象关于点

值是（

A．

）

B．C．D．

）

个单位长度后，得到的函

上的最小对称，则函数g（x）＝cos（x+φ）在

10．若数列{a

n

}满足a

1

＝2，

A

．﹣

2B

．﹣

1

，则该数列的前2021项的乘积是（

C

．

2D

．

1

11．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线交

于

A

，

B

两点，

F

是该双曲线的焦点，且满足

|AB|

＝

2|OF|

，若△

ABF

的面积为

4a

2

，则双

曲线的离心率为（

A

．

）

B

．

C

．

D

．

3

，则

12

．四面体

ABCD

的四个顶点都在球

O

上，且

AB

＝

AC

＝

BC

＝

BD

＝

CD

＝

4

，

AD

＝

2

球

O

的表面积为（

A．

）

B．C．30πD．40π

二、填空题（共

4

小题）

.

13．已知向量满足，，，，则与夹角的大小是．

14

．中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线（图中楚河汉界处的“日”字

没有画出），如图，“马”从点

A

处走出一步，只能到达点

B

，

C

，

D

中的一处．则“马”

从点

A

出发到达对方“帅”所在的

P

处，最少需要的步数是．

15．若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜

度．如果在此糖水中添加

m

克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式

数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可得出log

3

2

log

15

10

（用“＞”或“＜”填空）；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式．

16

．四边形

ABCD

内接于圆

O

中，

AB

＝

CD

＝

10

，

AD

＝

6

，∠

BCD

＝

60

°，下面四个结论：

①

四边形

ABCD

为梯形；

②

圆的直径为

14

；

③

△

ABD

的三边长度可以构成一个等差数列；

④

四边形

ABCD

的面积为．

其中正确结论的序号有．

三、解答题（共

5

小题，共

70

分）

17．已知数列{a

n

}的前n项和为．

（

1

）若

{a

n

}

为等差数列，

S

11

＝

165

，

a

3

+a

8

＝

28

，求

{a

n

}

的通项公式；

（2）若数列{S

n

}满足，求S

n

．

，BC＝1，AB＝18．如图，三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

中，AB⊥侧面BB

1

C

1

C，已知

C

1

C

＝

2

，点

E

是棱

C

1

C

的中点．

（

1

）求证：

BC

⊥平面

ABC

1

；

（

2

）求二面角

A

﹣

B

1

E

﹣

A

1

的余弦值．

19．已知函数（e为自然对数的底数）

（

1

）当

m

＝

2

时，求函数

f

（

x

）在点（

0

，

f

（

0

））处的切线方程；

（

2

）当

x∈

（

0

，

+

∞）时，函数

f

（

x

）有两个零点，求

m

的取值范围．

20

．某地区自

2015

年起，开始逐步推行“基层首诊，逐级转诊”的医疗制度，从而全面推

行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为

2000

万，从

1

岁到

101

岁的居民年龄结构的

频率分布直方图如图

1

所示．为了了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了

1000

名年满

18

周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图

2

所

示．

1

）根据图一和图二的信息估计该地区签约率超过

35%

，低于

60%

的人群的总人数．

2

）若以图

2

中年龄在

71

～

80

岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生

的概率，现从该地区年龄在

71

～

80

岁居民中随机抽取

3

人，记抽到的签约人数为

X

，求

X

的分布列及数学期望．

3

）据统计，该地区被访者的签约率约为

43%

．为把该地区年满

18

周岁居民的签约率提

高到

55%

以上，应着重提高图

2

中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解

释．

21．已知椭圆

（

1

）求椭圆

C

的方程；

（

2

）设

A

1

（﹣

a

，

0

），

A

2

（

a

，

0

），

B

（

0

，

b

），点

M

是椭圆

C

上一点，且不与顶点重

合，若直线

A

1

B

与直线

A

2

M

交于点

P

，直线

A

1

M

与直线

A

2

B

交于点

Q

，求证：△

BPQ

为

等腰三角形．

请考生在

22

，

23

两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分

.[

选修

4-4]

坐标系

与参数方程

22

．在花语中，四叶草象征幸运．已知在极坐标系下，方程

ρ

＝

2sin2θ

对应的曲线如图所示，

我们把这条曲线形象地称为“四叶草”．

（1）当“四叶草”中的

的极坐标；

（2）已知A为“四叶草”上的点，求点A到直线

以及此时点

A

的极坐标．

距离的最小值

时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点

（a＞b＞0）的一个焦点为，且过点．

[

选修

4-5]

不等式选讲

23．已知函数f（x）＝|x﹣|+|x+b+c|（a，b，c均为正实数）．

（

1

）当

a

＝

b

＝

c

＝

1

时，求

f

（

x

）得最小值；

（

2

）当

f

（

x

）的最小值为

3

时，求

a

2

+b

2

+c

2

的最小值．

参考答案

一、选择题（共

12

小题）

.

1

．已知集合

A

＝

{1

，

2

，

3

，

4}

，

B

＝

{x|1

＜

x

＜

3}

，则

A

∩

∁

R

B

＝（

A

．

{1

，

3

，

4}B

．

{1

，

4}C

．

{3

，

4}

）

D

．

{4}

解：

∁

R

B

＝

{x|x

≥

3

或

x

≤

1}

，

则

A

∩

∁

R

B

＝

{3

，

4

，

1}

，

故选：

A

．

2．下面是关于复数z＝的四个命题：

．

P

1

：

z

的实部为﹣

1

；

P

2

：

z

的虚部为

1

；

P

3

：

z

的共轭复数为

1+i

；

P

4

：

|z|

＝

其中真命题为（

A

．

P

1

∨

P

3

解：z＝＝

）

B

．￢

P

2

∨

P

3

＝＝1+i，

C

．

P

3

∧

P

4

D

．

P

2

∧

P

4

则

P

1

：

z

的实部为﹣

1

为假命题，

P

2

：

z

的虚部为

1

为真命题，

P

3

：

z

的共轭复数为

1

﹣

i

，

则

P

3

为假命题，

P

4

：

|z|

＝为真命题，

则

P

1

∨

P

3

为假命题，￢

P

2

∨

P

3

为假命题，

P

3

∧

P

4

为假命题，

P

2

∧

P

4

为真命题，

故选：

D

．

3

．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两

等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助

线），当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（）

A．B．

C．D．

解：根据几何体的直观图：由于直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，

该几何体的俯视图为有对角线的正方形．

故选：

B

．

4．已知角α的终边在直线

A．B．

上，则

C．

的值为（）

D．

），∴tanα＝解：∵角α的终边在直线

＝

则

故选：

A

．

，

上，在α的终边上任意取一点P（1，

＝﹣sin2α＝﹣＝﹣＝﹣，

5

．

2020

年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产党的正确领导下防控及时，

措施得当，很多企业的生产所受影响甚微．我国某电子公司于

2020

年

6

月底推出了一款

领先于世界的

5G

电子产品．现调查得到该

5G

产品上市时间

x

和市场占有率

y

（单位：

%

）

的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴

1

代表

2020

年

8

月．

2

代表

2020

年

9

月……，5代表2020年12月．根据数据得出y关于x的线性回归方程为＝0.042x+．若

用此方程分析并预测该产品市场占有率的变化趋势，则该产品市场占有率最早何时能超

过

0.5%

（精确到月）（）

A

．

2021

年

5

月

B

．

2021

年

6

月

C

．

2021

年

7

月

D

．

2021

年

8

月

解：根据表中数据，计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，

＝×（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）＝0.1，

代入回归方程得0.1＝0.042×3+，解得＝﹣0.026，

所以线性回归方程为＝0.042x﹣0.026，

由

0.042x

﹣

0.026

＞

0.5

，解得

x

≥

13

，

预计上市

13

个月时，即最早在

2021

年

8

月，市场占有率能超过

0.5%

．

故选：

D

．

6．

A

．﹣

2

解：

＝（

1

﹣

x

）

4

（

1+x

﹣

2

则x

2

的项为1×

即

x

2

的系数为

2

，

故选：

B

．

7

．古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同

学用平行于母线

PA

且过母线

PB

的中点

M

的平面去截圆锥，所得截线为如图所示的抛

物线．若该圆锥的高

PO

＝

1

，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（）

的展开式中x

2

的系数为（

B

．

2

＝[（1﹣

），

（﹣x）＝2x

2

，

）（1+

）

D

．

10

）

2

＝（1﹣x）

4

（1﹣）

2

C

．﹣

10

）]

4

（1﹣

（﹣x）

2

+x

A．B．3C．D．

解：由题意可得，

M

为

BP

的中点，

O

为

AB

的中点，

则△

ABP

中，

OM

为中位线，有

AP

∥

OM

，

截圆锥的平面平行于母线

PA

，且

M

点位于该平面上，

因此，知点

O

也位于该平面上，平面过点

O

，

且|OM|＝|AP|＝＝•＝1，

同时，由对称性，知截得的抛物线的对称轴为

OM

，焦点在

OM

上，

抛物线与底面交点

E

，

x

E

＝

|OM|

＝

1

，

y

E

＝

|OA|

＝，

以

OM

为

x

轴，

M

为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为

y

2

＝

2px

，

则抛物线过点

E

（

1

，

所以（

），

）

2

＝2p•1，解得p＝，

所以焦点到准线的距离为p＝．

故选：

D

．

8．关于函数，下面4个判断错误的有（）

①

函数

f

（

x

）的图像是中心对称图形；

②

函数

f

（

x

）的图像是轴对称图形；

A

．

①③B

．

②③C

．

②④D

．

③④

③

函数

f

（

x

）在

x∈

（

1

，

+

∞）单调递增；

④

函数

f

（

x

）在

x∈

（﹣

1

，

0

）单调递减．

解：①函数y＝x

3

﹣

将y＝x

3

﹣

是奇函数，关于原点对称，

的图象向右平移1个单位得到f（x），则f（x）关于（1，0）对称，即函

数

f

（

x

）的图像是中心对称图形；故

①

正确，

②

由

①

知函数为中心对称，不是轴对称，故函数

f

（

x

）的图像是轴对称图形错误；故

②

错误，

③函数y＝x

3

﹣是奇函数，关于原点对称，在（0，+∞）上，为增函数，在（﹣∞，

0

）上为增函数，

则函数

f

（

x

）在

x∈

（

1

，

+

∞）单调递增，正确，故

③

正确，

④

函数

f

（

x

）在

x∈

（﹣

1

，

0

）单调递增，故

④

错误，

故选：

C

．

9．将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移

数的图象关于点

值是（

A．

）

B．C．D．

个单位长度后，

个单位长度后，得到的函

上的最小对称，则函数g（x）＝cos（x+φ）在

解：将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移

得到的函数y＝sin（2x﹣

∴2×﹣

+φ）的图象关于点对称，

+φ＝kπ，k∈Z，

令k＝0，可得φ＝

当x∈

故选：

C

．

，故函数g（x）＝cos（x+

，x+∈[﹣，

）．

＝，]，故g（x）的最小值是cos

10．若数列{a

n

}满足a

1

＝2，

A

．﹣

2B

．﹣

1

，则该数列的前2021项的乘积是（

C

．

2D

．

1

）

解：由递推关系式，得a

n+2

＝＝＝﹣，

则a

n+4

＝﹣＝a

n

，

∴

{a

n

}

是以

4

为周期的一个周期数列．

则计算可得a

1

＝2，a

2

＝﹣3，a

3

＝﹣，a

4

＝，a

5

＝2，…，

∴

a

1

a

2

a

3

a

4

＝

1

，

∴

a

1

•

a

2

•…•

a

2020

•

a

2021

＝

a

2021

＝

a

1

＝

2

．

故选：

C

．

11．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线交

于

A

，

B

两点，

F

是该双曲线的焦点，且满足

|AB|

＝

2|OF|

，若△

ABF

的面积为

4a

2

，则双

曲线的离心率为（

A

．

）

B

．

C

．

D

．

3

解：如图，由对称性可知，

O

为

AB

的中点，

∵

|AB|

＝

2|OF|

，∴

|OA|

＝

|OB|

＝

|OF|

，

∴以

AB

为直径的圆的方程为

x

2

+y

2

＝

c

2

，

设

|AF|

＝

m

，

|BF|

＝

n

，则

m

﹣

n

＝

2a

．

△ABF的面积S

△

ABF

＝m•n＝4a

2

，且m

2

+n

2

＝|AB|

2

＝4c

2

，

联立，得，

故（

4a

）

2

+

（

2a

）

2

＝

4c

2

，解得

e

＝

故选：

B

．

（

e

＞

1

）．

12

．四面体

ABCD

的四个顶点都在球

O

上，且

AB

＝

AC

＝

BC

＝

BD

＝

CD

＝

4

，

AD

＝

2

球

O

的表面积为（

A．

）

B．C．30πD．40π

，则

解：如图，取

BC

，

AD

的中点

M

，

N

，连结

AM

，

MD

，

MN

，

因为

AB

＝

AC

＝

BC

＝

BD

＝

CD

＝

4

，

所以

AM

＝

MD

＝，又

AD

＝

2

，

故

AM

2

+MD

2

＝

AD

2

，则∠

AMD

＝

90

°，

所以△

AMD

为等腰直角三角形，

所以

MN

＝

AN

＝

ND

＝，

取

MN

上一点

O

，连结

OC

，

OB

，

OA

，

OD

，

因为

OB

＝

OC

，

OA

＝

OD

，只需使得

OC

＝

OD

，则点

O

为三棱锥外接球的球心，

设

OM

＝

x

，则

ON

＝

所以

所以

故球O的表面积为

故选：

B

．

，

．

，

，解得，