初三数学米勒定理

2024年4月8日发(作者：佛山期末数学试卷)

本次课课堂教学内容：最大视角———米勒定理

故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下

十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视

角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，

因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”

模型建立：

答案：当以AB为弦的圆与该线相切时，切点为顶点的角最大，如左图。要不然∠APB

变成圆外角，圆外角<圆周角<圆内角，如右图。

例题分析：

1

例3.问题发现：如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在

射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是______；若∠AQB＜45°，则点Q

与⊙O的位置关系是_______．

问题解决：如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，

且AB＝1，AD＝

22

，点P是BC边上任意一点．

（1）当∠APD＝45°时，求BP的长度．

（2）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若

2