运用米勒定理简解最大角问题

2024年4月8日发(作者：数学试卷飞机每小时飞行多少米)

运用米勒定理简解最大角问题

1.米勒问题和米勒定理

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什

么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上

100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问

题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：

米勒问题：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，角

ACB最大？

对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。

米勒定理：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形

ABC的外圆与边相切于点时，角ACB最大。

／

证明：如图1，设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角ACB是圆外角，角ACB

／

是圆周角，易证角ACB小于角ACB，故角ACB最大。

图１

根据切割线定理得，，即，于是我们有：角ACB最大等价于三角形ABC的外圆与边相切

于点

等价于等价于

。

2.米勒定理在解题中的应用

最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几

何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用

米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从

而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化

力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。

2.1用米勒定理确定最大视角的点的位置

例1（1986年全国高考数学试题理科第五大题）如图2，在平面直角坐标系中，在轴的

正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。

图２

分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，

是一道难得的好题。若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题

简解：设，由米勒定理知，当且仅当时，最大，故点的坐标为

例2 如图3，足球场长100米，宽60米，球门长7.2米,有一位左边锋欲射门,应在

边的何处才使射门角度最大?

解：依题意，由米勒定理知当（米） 时，最大。故边锋应在边距约米处射门才能使射

门角度最大。

图3 图4

图5

例3（2004年全国数学竞赛试题）在直角坐标系中，给定两点，在轴的正半轴上求一点，

使最大，则点的坐标为＿＿＿＿。

解：如图4，设直线与轴相交于点，则，因为，所以，所以，所以，由两点间的距离公

式得，由米勒定理知，当且仅当时，最大，此时点的坐标为。

2.2用米勒定理探索最大视角的条件

例4（2010年高考江苏理科第17题）某兴趣小组要测量电视塔的高度（单位：），如

示意图5，垂直放置的标杆的高度，仰角。

（1）该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值；

（2）若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调查整标杆到电视塔的中距离（单位：），

使之差较大，可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大？

解：（2）设，由米勒定理知，当且仅当即①时，最大。又由得，②，①②得，，将其

代入①得，，所以，故当为时，最大。

点评：第（2）问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，本解法以米勒定理和

相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求解，综合性强能力立意高有一定难度。

2.3用米勒定理求最大视角或其三角函数值

例5（2001年希望杯数学竞赛培训题）是椭圆的左右焦点，是椭圆的准线，点，，求的

最大值。

解：如图6，易求得，不妨设为左准线交轴于点，则其方程为，，由米勒定理知，当且

仅当时，最大。当最大值时，，因为，

由差角的正切公式得，，所以

最大值为。

图6

更一般地我们有如下结论：

例6 设是椭圆的左右焦点，是椭圆准线上的动点，，椭圆的离心率是，则为锐角且（当

且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。

证明：设准线交轴于点，则。由米勒定理知，当且仅当

时， 为锐角且最大。当最大值时，，

又，由差角的正切公式得，

，

所以。故为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。

点评：由例6结论知，当取最大值时有或，易求得最大值为。

2.4用米勒定理求视角最大时有关线段之比

例7（2006年全国高中数学竞赛题）已知椭圆的左右焦点是，点在直线上，当最大时，

求：。

解：如图7，设直线与轴相交于点，

图7

易求得，则，由米勒定理知，当且仅当时，最大，此时的外拉圆与直线相切于点，由弦切角

定理得，又，所以，所以。

点评：本解法不仅用到米勒定理的结论，而且还要熟悉定理证明的几何背景及图形间的

内在联系，用相似三角形对应边成比例求线段比，运算量小解法简单快捷。

2.5用米勒定理求视角最大时的综合问题

例8 设是椭圆的短轴顶点，是椭圆焦点相应的长轴顶点。证明当且仅当椭圆为黄金椭

圆（离心率的椭圆）时，最大，且最大角的正弦值为。

解：如图8，由米勒定理知，当且仅当时，最大。故，所以，所以，即，

图8

即①，解得，故当且仅当椭圆为黄金椭圆时，

ABF

最大。

设

ABF

=q，，

则，

所以

。

另外我们求最大角的正弦值还可用正弦定理切入，在中，由正弦定理得，

，下面解法同上，略。

点评：本题以椭圆为载体，重点考查椭圆的离心率等有关知识，考查三角公式、恒等变

形和推理论证能力。本解法在求最大角的正弦值时需要很强的化归意识，即要有明确的化简

目标，先把用表示正弦值转化为用离心率来表示，最终化成关于的一次式。这里充分利用①

式的各种变式，进行恰到好处的恒等变形是本解法的巧妙之所在