2003年高考数学试题(江苏)及答案-精编解析版

2024年4月8日发(作者：高三数学试卷概率统计)

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题

第Ⅰ卷

（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1．如果函数

yaxbxa

的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为

2

b

b

b

O

O

b

O

a

O

aaa

(A)

2

(B) (C)

D．－8

D．－

(D)

（ ） 2．抛物线

yax

的准线方程是y=2，则a的值为

A．

1

8

B．－

1

8

C．8

3．已知

x(

A．



2

,0),cosx

7

24

4

,则tan2x

5

724

B．－ C．

247

（ ）

24

7



2

x

1,x0,

4．设函数

f(x)



若f(x

0

)1,

则x

0

的取值范围是



1

2



x0.



x,

（ ）

A．（－1，1）

C．（－∞，－2）∪ （0，+∞）

B．（－1，+∞）

D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA



(

AB



AC

),



[0,),

|AB||AC|

则P的轨迹一定通过△ABC的

A．外心 B．内心

6．函数

yln

（ ）

C．重心 D．垂心

（ ）

x1

,x(1,)

的反函数为

x1

e

x

1

,x(0,)

A．

y

x

e1

e

x

1

,x(,0)

C．

y

x

e1

e

x

1

,x(0,)

B．

y

x

e1

e

x

1

,x(,0)

D．

y

x

e1

7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）

a

3

A．

3

a

3

B．

4

a

3

C．

6

a

3

D．

12

2

8．设

a0,f(x)axbxc,

曲线

yf(x)

在点

P(x

0

,f(x

0

))

处切线的倾斜角的取值范围为

[0,



4

]

，则P

到曲线

yf(x)

对称轴距离的取值范围为

A．[

0,

C．

[0,|

（ ）

1

]

a

2

B．

[0,

2

1

]

2a

b

|]

2a

D．

[0,|

b1

|]

2a

9．已知方程

(x2xm)(x2xn)0

的四个根组成一个首项为

（ ）

A．1 B．

1

的等差数列，则 |m－n|=

4

3

8

3

4

C．

1

2

D．

10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（

7

，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标

为



2

，则此双曲线的方程是

3

x

2

y

2

1

B．

43

（ ）

x

2

y

2

1

A．

34

x

2

y

2

1

C．

52

x

2

y

2

1

D．

25

11．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P

0

沿与AB夹角

为

θ

的方向射到BC上的点P

1

后，依次反射到CD、DA和AB上的点P

2

、P

3

和P

4

（入射角等于反射角）.

设P

4

的坐标为（x

4

，0）.若1< x

4

<2，则tan

θ

的取值范围是 （ ）

A．

(,1)

1

3

B．

(,)

12

33

C．

(,)

21

52

D．

(,)

22

53

12．一个四面体的所有棱长都为

2

，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A．3π B．4π C．

33

π D．6π

第Ⅱ卷

（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.

13．

(x

2

1

9

)

展开式中x

9

的系数是

2x

14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分

层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆

15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜

色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法

有 种.（以数字作答）

16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题

①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.

其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.

（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）

18．（本小题满分12分）

已知函数

f(x)sin(



x



)(



0,0







)

上R上的偶函数，其图象关于点

M(

上是单调函数，求



和ω的值.

3





且在区间

[0,]

,0)

对称，

2

4

19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA

1

=2，D、E分别是CC

1

C

1

与A

1

B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.

（Ⅰ）求A

1

B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A

1

到平面AED的距离.

B

1

D

A

1

E

G

C

K

B

F

20．（本小题满分12分）

A

已知常数

a0

，向量

c(0,a),i(1,0).

经过原点O以

c



i

为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以

i2



c

为方向向量的直线相交于点P，其中



R.

试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.

若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分12分）已知

a0,n

为正整数.

（Ⅰ）设

y(xa)

n

,证明y



n(xa)

n1

；

（Ⅱ）设

f

n

(x)x

n

(xa)

n

,对任意na,证明f

n1



(n1)(n1)f

n



(n).

22．（本小题满分14分）

设

a0,

如图，已知直线

l:yax

及曲线C：

yx

，C上的点Q

1

的横坐标为

a

1

（

0a

1

a

）.从C上的点Q

n

（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点

P

n1

，再从点

P

n1

作直线平行于y

轴，交曲线C于点Q

n+1

.Q

n

（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列



a

n



.

（Ⅰ）试求

a

n1

与a

n

的关系，并求



a

n



的通项公式；

y

（Ⅱ）当

a1,a

1



2

c

r

2

r

1

Q

1

O

Q

3

Q

2

l

1

1

时，证明



(a

k

a

k1

)a

k2



；

32

2

k1

n

（Ⅲ）当a=1时，证明



(a

k1

n

k

a

k1

)a

k2

1

.

3

a

1

a

2

a

3

x

2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

13．



21

14．6,30,10 15．120 16．①④

2

三、解答题

17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.

解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.

（Ⅰ）

P(A)0.90,P(B)P(C)0.95

，

P(A)0.10,P(B)P(C)0.50.

因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)

P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)

20.900.950.050.100.950.950.176

答：恰有一件不合格的概率为0.176.

解法一：至少有两件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)

0.900.05

2

20.100.050.950.100.05

2

0.012

解法二：三件产品都合格的概率为

P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.900.95

2

0.812

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为

1[P(ABC)0.176]1(0.8120.176)0.012.

答：至少有两件不合的概率为0.012.

（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分

解：由

f(x)是偶函数,得f(x)f(x),

即sin(



x



)sin(



x



),

所以cos



sin



xcos



sin



x

对任意x都成立,且



0,所以得cos



0.