2024年4月8日发(作者：莒县教师编招聘数学试卷)
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003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学
（理工农医类）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式
1
1
sin
cos
[sin(
)sin(
)]
S
台侧
(c
c)l
其中
c
、
c
分别表示
2
2
1
cos
sin
[sin(
)sin(
)]
上、下底面周长，
l
表示斜高或母线长.
2
1
4
cos
cos
[cos(
)cos(
)]
球体的体积公式：
V
球
R
3
，其中R
2
3
1
sin
sin
[cos(
)cos(
)]
表示球的半径.
2
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷
（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的
1．已知
x(
2
，0），
oscx
4
，则
tg2x
（ ）
5
24
（A）
7
（B）
7
（C）
24
（D）
7
24
24
7
8sin
2．圆锥曲线
的准线方程是 （ ）
2
cos
（A）
cos
2
（B）
cos
2
（C）
sin
2
（D）
sin
2
2
x
1
x0
3．设函数
f(x)
1
，若
f(x
0
)1
，则
x
0
的取值范围是 （ ）
2
x0
x
（A）（
1
，1） （B）（
1
，
）
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（C）（
，
2
）
（0，
） （D）（
，
1
）
（1，
）
4．函数
y2sinx(sinxcosx)
的最大值为 （ ）
（A）
12
（B）
21
（C）
2
（D）2
5．已知圆C：
(xa)
2
(y2)
2
4
（
a0
）及直线
l
：
xy30
，当直线
l
被C截得
的弦长为
23
时，则
a
（ ）
（A）
2
（B）
22
（C）
21
（D）
21
6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
3
8
2
9
（A）
2
R
（B）
R
2
（C）
R
2
（D）
R
2
2
3
4
7．已知方程
(x
2
2xm)(x
2
2xn)0
的四个根组成一个首项为
1
的的等差数列，则
4
|mn|
（ ）
3
（A）1 （B）
3
（C）
1
（D）
8
2
4
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（
7
，0），直线
yx1
与其相交于M、N两点，
MN中点的横坐标为
2
，则此双曲线的方程是 （ ）
3
22
xy
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
（A）
1
1
（C）
1
（D）
1
（B）
25
4352
34
3
1
9．函数
f(x)sinx
，
x[,]
的反函数
f(x)
（ ）
22
（A）
arcsinx
x[1
，1] （B）
arcsinx
x[1
，1]
（C）
arcsinx
x[1
，1] （D）
arcsinx
x[1
，1]
10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB
的中点
P
0
沿与AB的夹角
的方向射到BC上的点
P
1
后，依次反射到CD、DA和AB上
的点
P
2
、
P
3
和
P
4
（入射角等于反射角），设
P
4
的坐标为（
x
4
，0），若
1x
4
2
，则tg
的取值范围是 （ ）
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（A）（
1
，1） （B）（
3
2
1
2
21
，） （C）（，） （D）（
2
，）
3
3
3
52
5
222
C
2
C
3
2
C
4
C
n
11．
lim
（ ）
n
n(C
1
C
1
C
1
C
1
)
234n
（A）3 （B）
1
（C）
3
1
（D）6
6
12．一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）
（A）
3
（B）
4
（C）
33
（D）
6
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学
（理工农医类）
第Ⅱ卷
（非选择题共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上
9
13．
(x
2
1
)
9
的展开式中
x
系数是
2x
14．使
log
2
(x)x1
成立的
x
的取值范围是
15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有
2
5
4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
1
3
种（以数字作答）
4
16．下列5个正方体图形中，
l
是正方体的一条对
角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，
能得出
l
面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）
P
M
P
P
N
l
M
l
N
l
M
N
M
P
l
N
l
M
N
P
① ② ③ ④ ⑤
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三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知复数
z
的辐角为
60
，且
|z1|
是
|z|
和
|z2|
的等比中项，求
|z|
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，底面是等腰直角三
C
B
ACB90
，角形，侧棱
AA
1
2
，D、E分别是
CC
1
与
A
1
B
的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
（I）求
A
1
B
与平面ABD所成角的大小（结果用反三角
函数值表示）
（II）求点
A
1
到平面AED的距离
19．（本小题满分12分） 已知
c0
，设
A
D
E
G
C
K
A
F
B
P：函数
yc
x
在R上单调递减 Q：不等式
x|x2c|1
的解集为R
如果P和Q有且仅有一个正确，求
c
的取值范围
20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台
风中心位于城市O（如图）的东偏南
(
arccos
2
）
10
方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北
y
O
海
岸
线
北
东
x
45
方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径
为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该
城市开始受到台风的侵袭？
r
P
45
P
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21．（本小题满分14分）
已知常数
a0
，在矩形ABCD中，
AB4
，
BC4a
，O为AB的中点，点E、F、
G分别在BC、CD、DA上移动，且
BE
CF
DG
，P为GE与OF的交点（如图），问是
BCCDDA
否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若
存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明
理由
22．（本小题满分12分，附加题4 分）
y
D
F
P
G
A
O
B
x
C
E
（I）设
{a
n
}
是集合
{2
s
2
t
|
0st
且
s,tZ
}中所有的数从小到大排列成的数列，
即
a
1
3
，
a
2
5
，
a
3
6
，
a
4
9
，
a
5
10
，
a
6
12
，…
将数列
{a
n
}
各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3
5 6
9 10 12
— — — —
…………
⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
⑵求
a
100
（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）
设
{b
n
}
是集合
{2
r
2
s
2
t
|0rst
，且
r,s,tZ}
中所有的数从小到大排列成的数
列，已知
b
k
1160
，求
k
.
2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
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