2024年4月15日发(作者：考研数学试卷百度照片)

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生统一考试

理科数学试题卷

一、单选题

1

．设集合

A={x|x

2

-5x+6>0}

，

B={ x|x-1<0}

，则

A∩B=

A

．

(-∞

，

1)

C

．

(-3

，

-1)

B

．

(-2

，

1)

D

．

(3

，

+∞)

2

．设

z=-3+2i

，则在复平面内

z

对应的点位于

A

．第一象限

C

．第三象限

B

．第二象限

D

．第四象限

uuuv

uuuv

uuuvuuuv

uuuv

3

．已知

AB

=(2,3)

，

AC

=(3

，

t)

，

BC

=1

，则

ABBC

=

A

．

-3

C

．

2

B

．

-2

D

．

3

4

．

2019

年

1

月

3

日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国

航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是

地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星

“

鹊桥

”

，鹊桥

沿着围绕地月拉格朗日

L

2

点的轨道运行．

L

2

点是平衡点，位于地月连线的延长线

上．设地球质量为

M

１

，月球质量为

M

２

，地月距离为

R

，

L

2

点到月球的距离为

r

，

根据牛顿运动定律和万有引力定律，

r

满足方程：

M

1

M

2

M

1

+=(R+r)

.

(R+r)

2

r

2

R

3

3

3

+3

4

+

5

r

3

3

，则

r

的近设

=

，由于

的值很小，因此在近似计算中

2

R

(1+

)

似值为

A

．

M

2

R

M

1

3M

2

R

M

1

B

．

M

2

R

2M

1

M

2

R

3M

1

C

．

3

D

．

3

5

．演讲比赛共有

9

位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从

9

个原始评分中去掉

1

个最高分、

1

个最低分，得到

7

个有效评分

.7

个有效评分与

9

个原始评分相比，不变的数字特征是

A

．中位数

C

．方差

B

．平均数

D

．极差

6

．若

a>b

，则

A

．

ln(a−b)>0

C

．

a

3

−b

3

>0

B

．

3

a

<3

b

D

．

│a│>│b│

7

．设

α

，

β

为两个平面，则

α

∥

β

的充要条件是

A

．

α

内有无数条直线与

β

平行

B

．

α

内有两条相交直线与

β

平行

C

．

α

，

β

平行于同一条直线

D

．

α

，

β

垂直于同一平面

8

．若抛物线

y

2

=2px

（

p>0

）的焦点是椭圆

A

．

2

C

．

4

9

．下列函数中，以

A

．

f(x)=│cos 2x│

C

．

f(x)=cos│x│

10

．已知

a

∈（

0

，

A

．

1

5

x

2

3p

+

y

2

p

=1

的一个焦点，则

p=

B

．

3

D

．

8



为周期且在区间

(

，

)

单调递增的是

2

4

2

B

．

f(x)=│sin 2x│

D

．

f(x)= sin│x│

π

），

2sin2α=cos2α+1

，则

sinα=

2

B

．

5

5

25

5

C

．

3

3

D

．

x

2

y

2

11

．设

F

为双曲线

C

：

2

−

2

=1

（

a>0

，

b>0

）的右焦点，

O

为坐标原点，以

OF

为

ab

直径的圆与圆

x

2

+y

2

=a

2

交于

P

、

Q

两点．若

|PQ|=|OF|

，则

C

的离心率为

A

．

2

C

．

2

B

．

3

D

．

5

12

．设函数

f(x)

的定义域为

R

，满足

f(x+1)=2 f(x)

，且当

x(0,1]

时，

8

f(x)=x(x−1)

.

若对任意

x(−,m]

，都有

f(x)−

，则

m

的取值范围是

9

A

．

−,

4

9

B

．

−,

3

7

C

．

−,

2

5

D

．

−,

3

8

二、填空题

13

．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有

10

个车次

的正点率为

0.97

，有

20

个车次的正点率为

0.98

，有

10

个车次的正点率为

0.99

，则经停

该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为

___________.

14

．已知

f(x)

是奇函数，且当

x0

时，

f(x)=−e

ax

.

若

f(ln2)=8

，则

a=

__________.

15

．

△ABC

的内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

.

若

b=6,a=2c,B=

面积为

__________.

16

．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正

方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是

“

半正多面体

”

（图

1

）

.

半正多

面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体

.

半正多面体体现了数学的对称

美．图

2

是一个棱数为

48

的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，

且此正方体的棱长为

1

．则该半正多面体共有

________

个面，其棱长为

_________

．

π

，则

△ABC

的

3

三、解答题

17

．

BE

⊥

EC

1

.

如图，长方体

ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

的底面

ABCD

是正方形，点

E

在棱

AA

1

上，

（

1

）证明：

BE

⊥平面

EB

1

C

1

；

（

2

）若

AE=A

1

E

，求二面角

B–EC–C

1

的正弦值

.

18

．

11

分制乒乓球比赛，每赢一球得

1

分，当某局打成

10:10

平后，每球交换发球权，

先多得

2

分的一方获胜，该局比赛结束

.

甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发

球时甲得分的概率为

0.5

，乙发球时甲得分的概率为

0.4

，各球的结果相互独立

.

在

某局双方

10:10

平后，甲先发球，两人又打了

X

个球该局比赛结束

.

（

1

）求

P

（

X=2

）；

（

2

）求事件

“X=4

且甲获胜

”

的概率

.

19

．

已知数列

{a

n

}

和

{b

n

}

满足

a

1

=1

，

b

1

=0

，

4a

n+1

=3a

n

−b

n

+4

，

4b

n+1

=3b

n

−a

n

−4

.

（

1

）证明：

{a

n

+b

n

}

是等比数列，

{a

n

–b

n

}

是等差数列；

（

2

）求

{a

n

}

和

{b

n

}

的通项公式

.

20

．

已知函数

f

(

x

)

=lnx−

.

x−1

（

1

）讨论

f(x)

的单调性，并证明

f(x)

有且仅有两个零点；

（

2

）设

x

0

是

f(x)

的一个零点，证明曲线

y=ln x

在点

A(x

0

，

ln x

0

)

处的切线也是曲线

x+1

y=e

x

的切线

.

21

．

已知点

A(−2,0)

，

B(2,0)

，动点

M(x,y)

满足直线

AM

与

BM

的斜率之积为

−

1

.

记

M

的

2

轨迹为曲线

C.

（

1

）求

C

的方程，并说明

C

是什么曲线；

（

2

）过坐标原点的直线交

C

于

P

，

Q

两点，点

P

在第一象限，

PE

⊥

x

轴，垂足

为

E

，连结

QE

并延长交

C

于点

G.

（

i

）证明：

VPQG

是直角三角形；

（

ii

）求

VPQG

面积的最大值

.

22

．在极坐标系中，

O

为极点，点

M(

0

,

0

)(

0

0)

在曲线

C:

=4sin

上，直

线

l

过点

A(4,0)

且与

OM

垂直，垂足为

P.

（

1

）当

0

=

时，求

0

及

l

的极坐标方程；

3

（

2

）当

M

在

C

上运动且

P

在线段

OM

上时，求

P

点轨迹的极坐标方程

.

23

．已知

f(x)=|x−a|x+|x−2|(x−a).

（

1

）当

a=1

时，求不等式

f(x)0

的解集；

（

2

）若

x(−,1)

时，

f(x)0

，求

a

的取值范围

.

参考答案

1

．

A

【解析】

【分析】

先求出集合

A

，再求出交集．

【详解】

由题意得，

A=xx2或x3,B=xx1

，则

AB=

xx1

．故选

A

．

【点睛】

本题考点为集合的运算，为基础题目．

2

．

C

【解析】

【分析】

先求出共轭复数再判断结果

.

【详解】

由

z=−3+

2i,

得

z=−3−2i,

则

z=−3−2i,

对应点（

-3

，

-2

）位于第三象限．故选

C

．

【点睛】

本题考点为共轭复数，为基础题目．

3

．

C

【解析】

【分析】

根据向量三角形法则求出

t

，再求出向量的数量积

.

【详解】







uuur

uuuruuuruuuruuur

22

由

BC=AC−AB=(1,t−3)

，

BC=1+(t−3)=1

，得

t=3

，则

BC=(1,0)

，

uuuruuur

ABgBC=(2,3)g(1,0)=21+30=2

．故选

C

．

【点睛】

本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．

4

．

D

【解析】

【分析】

本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立

的方程，解方程、近似

计算．题目所处位置应是

“

解答题

”

，但由于题干较长，易使考生

“

望而生畏

”

，注重了阅读理

解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．

【详解】

由

=

r

，得

r=

R

R

M

1

M

2

M

1

+=(R+r)

因为

223

，

(R+r)rR

所以

M

1

M

2

M

1

+=(1+

)

，

R

2

(1+

)

2

2

R

2

R

2

M

2

1

5

+3

4

+3

3

23

=

[(1+

)−]=3

即，

M

1

(1+

)

2

(1+

)

2

解得

=

3

M

2

，

3M

1

3

所以

r=

R=

【点睛】

M

2

R.

3M

1

由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二

是复杂式子的变形出错．

5

．

A

【解析】

【分析】

可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．

【详解】

设

9

位评委评分按从小到大排列为

x

1

x

2

x

3

x

4

Lx

8

x

9

．

则①原始中位数为

x

5

，去掉最低分

x

1

，最高分

x

9

，后剩余

x

2

x

3

x

4

Lx

8

，

中位数仍为

x

5

，

A

正确．

②原始平均数

x=

1

(x

1

+x

2

+x

3

+x

4

L+x

8

+x

9

)

，后来平均数

9

1

x=（x

2

+x

3

+x

4

L+x

8

）

7

平均数受极端值影响较大，

x

与

x

不一定相同，

B

不正确

③

S=

1

222

x

1

−x

)

+

(

x

1

−x

)

+L+

(

x

9

−x

)

(

9

222

1

2

s=x

2

−x+x

3

−x+L+x

8

−x

由②易知，

C

不正确．



7

2

()()()

④原极差

=x

9

-x

1

，后来极差

=x

8

-x

2

可能相等可能变小，

D

不正确．

【点睛】

本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解

.

6

．

C

【解析】

【分析】

本题也可用直接法，因为

ab

，所以

a−b0

，当

a−b=1

时，

ln(a−b)=0

，知

A

错，

ab

，因为

y=3

x

是增函数，所以

3

a

3

b

，故

B

错；因为幂函数

y=x

3

是增函数，所以

a

3

b

3

，

知

C

正确；取

a=1,b=−2

，满足

ab

，

1=ab=2

，知

D

错．

【详解】

取

a=2,b=1

，满足

ab

，

ln(a−b)=0

，知

A

错，排除

A

；因为

9=3

a

3

b

=3

，知

B

错，排除

B

；取

a=1,b=−2

，满足

ab

，

1=ab=2

，知

D

错，排除

D

，因为幂函数

y=x

3

是增函数，

ab

，所以

a

3

b

3

，故选

C

．

【点睛】

本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和

运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．

7

．

B

【解析】

【分析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面

面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．

【详解】

由面面平行的判定定理知：

内两条相交直线都与

平行是

/

/

的充分条件，由面面平

行性质定理知，若

/

/

，则

内任意一条直线都与

平行，所以

内两条相交直线都与

平行是

/

/

的必要条件，故选

B

．

【点睛】

面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，

如：

“

若

a

,b

,a//b

，则

/

/

”

此类的错误．

8

．

D

【解析】

【分析】

利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于

p

的方程，即可解出

p

，或者利用检验排除

2

，

0

）的方法，如

p=

2

时，抛物线焦点为（

1

，

0

），椭圆焦点为（

±

，排除

A

，同样可排除

B

，

C

，故选

D

．

【详解】

22

xy

p

+=1

的一个焦点，所以因为抛物线

y

2

=2px(p0)

的焦点

(,0)

是椭圆

2

3pp

p

3p−p=()

2

，解得

p=8

，故选

D

．

2

【点睛】

本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．

9

．

A

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，

即可做出选择．

【详解】

因为

y=sin|x|

图象如下图，知其不是周期函数，排除

D

；因为

y=cosx=cosx

，周期

为

2

，排除

C

，作出

y=cos2x

图象，由图象知，其周期为



，在区间

(,)

单调递增，

42

2

A

正确；作出

y=sin2x

的图象，由图象知，其周期为

B

，故选

A

．

，在区间

(,)

单调递减，排除

42

2

【点睛】

利用二级结论：①函数

y=f(x)

的周期是函数

y=f(x)

周期的一半；②

y=sin

不是周期函数；

10

．

B

【解析】

【分析】

利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为

1

关系得出答案．

【详解】

2

Q2sin2=cos2+1

，

4sincos=2cos.Q

0,

,cos0

．

2

x

1

sin0,2sin=cos

，又

sin

2

+cos

2

=1

，

5sin

2

=1,sin

2

=

，又

5

sin

0

，

sin

=

【点睛】

5

，故选

B

．

5

本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正

负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角

函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．

11

．

A

【解析】

【分析】

准确画图，由图形对称性得出

P

点坐标，代入圆的方程得到

c

与

a

关系，可求双曲线的离心

率．

【详解】

设

PQ

与

x

轴交于点

A

，由对称性可知

PQ⊥x

轴，

|PA|=

又

QPQ=|OF|=c

，

A

为圆心

|OA|=

c

,PA

为以

OF

为直径的圆的半径，

2

c

．

2

cc

P

,

，又

P

点在圆

x

2

+y

2

=a

2

上，

22

c

2

c

2

c

2

c

2

222

+=a

，即

=a,e=

2

=2

．

2a

44

e=2

，故选

A

．

【点睛】

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，

避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点

问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

12

．

B

【解析】

【分析】

本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析

出临界点位置，精准运算得到解决．

【详解】

Qx(0,1]

时，

f(x)=x(x−1)

，

f(x+1)=2 f(x)

，

f(x)=2f(x−1)

，即

f(x)

右移

1

个

单位，图像变为原来的

2

倍．

如图所示：当

2x3

时，

f(x)=4f(x−2)=4(x−2)(x−3)

，令

4(x−2)(x−3)=−

整理得：

9x

2

−45x+56=0

，

(3x−7)(3x−8)=0,x

1

=

8

，

9

78

,x

2

=

（舍），

33

7

7

8

x(−,m]

时，

f(x)−

成立，即

m

，

m

−,

，故选

B

．

3

9

3

【点睛】

易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到

2

倍，导致

题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学

建模能力．

13

．

0

．

98.

【解析】

【分析】

本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．

【详解】

由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为

100.97+200.98+100.99=39.2

，其中

高铁个数为

10+20+10=40

，所以该站所有高铁平均正点率约为

【点睛】

39.2

=0.98

．

40


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