2024年4月15日发(作者：戴氏数学试卷高中)

排列组合

知识要点

1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；

3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和

逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联

系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有

多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所

在的先后顺序有关。

一般地，从

n

个不同的元素中取出

m

(

mn

)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做

从

n

个不同元素中取出

m

个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺

序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然

元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从

n

个不同的元素中取出

m

(

mn

)个元素的所有排列的个数，叫做从

n

个不同的元素的

排列中取出

m

个元素的排列数，我们把它记做

P

n

m

．

根据排列的定义，做一个

m

元素的排列由

m

个步骤完成：

步骤

1

：从

n

个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有

n

种方法；

步骤

2

：从剩下的(

n1

)个元素中任取一个元素排在第二位，有(

n1

)种方法；

……

步骤

m

：从剩下的

[n(m1)]

个元素中任取一个元素排在第

m

个位置，有

n（m1）nm1

(种)方法；

由乘法原理，从

n

个不同元素中取出

m

个元素的排列数是

nn1）（.n2）（nm1）

，即

P

n

m

（

，这里，

mn

，且等

n（n1）（n2）（nm1）

号右边从

n

开始，后面每个因数比前一个因数小

1

，共有

m

个因数相乘。

二、排列数

n1）（n2）321

． 一般地，对于

mn

的情况，排列数公式变为

P

n

n

n（

表示从

n

个不同元素中取

n

个元素排成一列所构成排列的排列数．这种

n

个排列全部取

出的排列，叫做

n

个不同元素的全排列．式子右边是从

n

开始，后面每一个因数比前一个因

数小

1

，一直乘到

1

的乘积，记为

n!

，读做

n

的阶乘，则

P

n

n

还可以写为：

P

n

n

n!

，其中

n!n（n1）（n2）321　

。

三、组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学

中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，

我们将着重研究有多少种分组方法的问题。

一般地，从

n

个不同元素中取出

m

个(

mn

)元素组成一组不计较组内各元素的次序，

叫做从

n

个不同元素中取出

m

个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两

个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合

中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从

n

个不同元素中取出

m

个元素(

mn

)的所有组合的个数，叫做从

n

个不同元素中取

出

m

个不同元素的组合数．记作

C

n

m

。

一般地，求从

n

个不同元素中取出的

m

个元素的排列数

P

m

n

可分成以下两步：

第一步：从

n

个不同元素中取出

m

个元素组成一组，共有

C

n

m

种方法；

第二步：将每一个组合中的

m

个元素进行全排列，共有

P

m

m

种排法．


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