2024年3月30日发(作者：今年无锡中考数学试卷难吗)
三余弦定理及应用
三余弦定理：如图所示，斜线
AB
在平面内的射影为
BC
，则线面角的大小
为
，平面内任一点
D
，则
DBC
，这样就有：
cosABDcos
cos
.
在立体几何中，一旦涉及到图形翻折最值问题，很多学生往往不知所措.所
以，很有必要对一些常见的翻折最值问题在通性通法上加以总结，这样既可以
提升学生对这类问题的解题能力，更能帮助他们提升空间想象能力，提高解题
兴趣.下面的这类翻折最值问题就是一类可以总结出通性通法的题型，解决它的
关键就是上面的三余弦定理.
例1.点
D
是直角
ABC
斜边
AB
上一动点，
AC5,
BC4,
将直角
ABC
沿着
CD
翻折，使
B
DC
与
ADC
构成直二面角，则翻折后
AB
的最小值是
_______
．
解析：如图，在平面图内，假设
ACD
，
BCD
垂直于面
ACD
，则
BCD
得：
cos
ACB
\'
cos
cos(
1
根据三余弦定理可
即为
B
\'
C
与面
ACD
所成角，
2
1
)
sin2
,
22
翻折后，由于面
B
\'
CD
，
2
5
2
4
2
AB
\'
另一方面，在
ACB
中，由余弦定理可得
cos
ACB
，结合上式
40
\'
\'
2
可得：
2
5
2
4
2
AB
\'
1
\'
cos
ACB
sin2
AB
\'
4110sin2
，故
|
AB
\'2
|
min
21
.
402
2
点评：可以看到，通过三余弦定理以及余弦定理，建立几何体的某边长和翻折
角度之间的函数关系，是解决最值的关键.
y
2
例2.（2021成都七中三诊）双曲线
4
x
点
M
是
1
的左右焦点分别为
F
1
,F
2
，
3
2
双曲线右支上一点且满足
MF
1
MF
2
0
.点
N
在线段
F
1
F
2
上且满足
F
1
N
F
1
F
2
.
现将
MF
1
F
2
沿着
MN
折成直二面角
F
1
MNF
2
.若折叠后
F
1
F
2
距离最小，则
（
A.
1
5
）
B.
2
5
C.
3
5
D.
4
5
解析：如图，设
F
2
MN
,
F
1
MN
，由三余弦定理可得：
2
1
cos
F
1
MF
2
cos
cos(
)
sin2
22
13
F
1
F
2
2
1
另一方面：由余弦定理可知：
cos
F
1
MF
2
sin2
，这样可得：
122
F
1
F
2
2
136sin2
，故
|F
1
F
2
|
min
7
当且仅当
3
角平分线，最后由角平分线定理可知
.
5
时成立.即
MN
为
F
2
MF
1
的
4
下面给出两个练习题
2
练习1.在
ABC
中，已知
AB23,BC26,CA23
，
D
为边
AC
上一点，
将
ABC
沿
BD
折起，得到三棱锥
ABCD
.若该三棱锥的顶点
A
在底面
BCD
上
的射影
M
恰好落在线段
BC
上，则线段
BM
的取值范围为_________.
练习2.已知
a
，
b
为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形
ABC
的直角
边
AC
所在直线与
a
，
b
都垂直，斜边
AB
以直线
AC
为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线
AB
与
a
成60°角时，
AB
与
b
成30°角；
②当直线
AB
与
a
成60°角时，
AB
与
b
成60°角；
③直线
AB
与
a
所成角的最小值为45°；
④直线
AB
与
a
所成角的最小值为60°.其中正确的是________．(填写所有正
确结论的编号)
3
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