2024年3月30日发(作者：数学试卷分析期中试卷)

正弦定理与余弦定理

知识集结

知识元

正弦定理公式

知识讲解

1．正弦定理

【知识点的知识】

1．正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理

内容

＝2R

（ R是△ABC外接圆半径）

变形

①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

形式

②sinA＝，sinB＝，sinC＝；

③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；

④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝

csinA

解决

①已知两角和任一边，求另一角和其他

三角 两条边；

形的

②已知两边和其中一边的对角，求另一

问题 边和其他两角

在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

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余弦定理

a

2

＝b

2

+c

2

﹣2bccosA，

b

2

＝a

2

+c

2

﹣2accosB，

c

2

＝a

2

+b

2

﹣2abcosC

cosA＝，

cosB＝，

cosC＝

①已知三边，求各角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和

其他两角

图形

A为锐角 A为钝角或直角

关系式

解的个

数

a＝bsinA

一解

bsinA＜a＜b

两解

a≥b

一解

a＞b

一解

由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．

2、三角形常用面积公式

1．S＝a•h

a

（h

a

表示边a上的高）；

2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．

3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．

【正余弦定理的应用】

1、解直角三角形的基本元素．

2、判断三角形的形状．

3、解决与面积有关的问题．

4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面

都要用到解三角形的知识

（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就

可解决．

解题关键在于明确：

①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两

个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；

②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用

正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达

的一点之间的距离问题．

（2）测量高度问题：

解题思路：

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