2024年3月30日发(作者：学前班数学试卷和答案)

正弦定理、余弦定理

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

§正弦定理、余弦定理

目标：使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程；初步运用它们解斜三角形。

并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运

算能力、逻辑推理能力；渗透数形结合思想、分类思想、化归思想；以及从特殊到一般、

类比等方法；进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

二. 重点、难点：

重点：

正弦定理、余弦定理的推导及运用。

难点：

（1）正弦定理、余弦定理的推导过程；

（2）应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。

［学法指导］

学习本节知识时可采用向量法、等积法（面积相等）等不同方法来推导正弦定理；以

加深对定理的理解和记忆；由于已知两边及其中一边的对角；不能唯一确定三角形；此时

三角形可能出现两解、一解、无解三种情况；因此解此类三角形时；要注意讨论。

深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注

意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量；它们分别是三角形的三边和一个角；知

道其中的三个量；便可求得第四个量。当有一个角为90°时；即为勾股定理。因此；勾股

定理可看作是余弦定理的特例。

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具；其主要作用是将已

知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一般地；利用公式a＝2RsinA；b＝

2RsinB；c＝2RsinC（R为ΔABC外接圆半径）；可将边转化为角的三角函数关系；然后利

用三角函数知识进行化简；其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π。

b

2

c

2

a

2

a

2

c

2

b

2

a

2

b

2

c

2

，cosB，cosC

利用cosA

2bc2ac2ab

可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系；然后充分利用代数知识来解决问题。

在三角形中；有一个角的余弦值为负值；该三角形为钝角三角形；有一个角的余弦值为零；

便是直角三角形；三个角的余弦值都为正值；便是锐角三角形。

【例题分析】

例1.

在BC中，已知B30，b503，c150，解三角形并判断三角形的形状。

分析：已知两边及一边对角；可用正弦定理先求出c边的对角C；再用内角和定理求

出角A；然后用正弦定理求出边a。至于三角形的形状；用角或边均可判断。

cb

解：

由正弦定理，得

sinCsinB

c1503

sin30

sinCsinB

b2

503

cb，B30

C60或120

从而A180(6030)90或A180(12030)30

ca

由正弦定理，得

sinCsinA

sinA

ac

sinC

1

当A90时，a1501003

3

2

1

当A30时，a

2

150503

3

2

由边（角）的关系易知

ABC是直角三角形或等腰三角形。

说明：

（1）三角形的形状既可按角分类；又可按边分类；因而判断三角形的形状；既可依角

判断；又可依边判断。

（2）正弦定理实际上包含三个等式：

abbcca

，，

sinAsinBsinBsinCsinCsinA

每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系；因此；正弦定理可以用来解

决两类解三角形的问题：已知两角和任一边；求其他两边和一角。（此时三角形的形状是

确定的；故有唯一解）；已知两边和其中一边的对角；求另一边的对角；从而进一步求出

其他的边和角（此时不能唯一确定三角形的形状；故要注意解的情况）。

例2.

在ABC中，已知ABC，且A2C，b4，ac8，求a、c的长。

分析：先利用正弦定理及A＝2C可用a、c的代数式表示cosC；再利用余弦定理用a、

c的代数式表示cosC；即可建立a、c的等量关系式；又a＋c＝8；解方程组即得a、c。

ac

解：

，且A2C

sinAsinC

ac

sin2CsinC

ac

即

2sinCcosCsinC

a

cosC

2c

a

2

b

2

c

2

且b4

又cosC

2ab

a

2

c

2

16

cosC

8a

aa

2

c

2

16

(1)



2c8a

又ac8

a8c代入(1)式并整理得

5c

2

36c640


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