2024年1月17日发(作者：数学试卷改题标准)
深圳实验学校初中部2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1−2,,3,221. 在中，是无理数的是（ ）
A.
−2
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义判断即可；
【详解】解：∵-2，2，2是有理数，3是无理数，
故选：
C．
【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π．
2.
下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
1B.
12 C.
3 D. 2
A.
科克曲线
【答案】A
【解析】
B.
笛卡尔心形线 C.
阿基米德螺旋线 D.
赵爽弦图
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.
下列运算中，正确的是（ ）
A. 3a2 +2a2 =5a4
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 3a2 +2a2 =5 a 2，故该选项不正确，不符合题意；
B. a9÷a3=a6，故该选项不正确，不符合题意；
C.
B. a9÷a3=a3 C.
2+3=5 D.
（﹣3x2）3=﹣27x6
2+3≠5，故该选项不正确，不符合题意；
D.
（﹣3x2）3=﹣27x6，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，正确的计算是解题的关键．
4.
如图,
在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=kykx+3的图象大致是（
）
和=xA. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【详解】解：A、由函数y=B、由函数y=k的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；
xkC、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；
xkD、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．
x故选：A．
k的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；
x【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
5.
某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到30(1+x)=50，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：由题意可得，
30(1+x)2=50，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
6.
如图，在平面直角坐标系中，C为AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（
）
2B. 30（1﹣x）2＝50
D. 30（1﹣x2）＝50
A. 4
【答案】C
【解析】
B. 5 C. 6 D. 7
【分析】根据CD∥OB得出AC1ACCD=，根据C、D两点纵坐标，根据AC:OC=1:2，得出=AO3AOOB分别为1、3，得出OB=6，即可得出答案．
【详解】解：∵CD∥OB，
∴ACCD，
=AOOB∵AC:OC=1:2，
∴AC1=，
AO3∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴CD=3−1=2，
∴21=，
OB3解得：OB=6，
∴B点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出=解题的关键．
7.
如图，在ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于ACAOCD1=，是OB31BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作2直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为（
）
A. 25
【答案】C
【解析】
B. 22 C. 19 D. 18
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AB=7，AC=12，
∴
△ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8.
如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（
）
A. AB=BE
【答案】B
【解析】
B. BE⊥DC C.
∠ADB=90° D. CE⊥DE
【分析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键．
9.
一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=2m）、B（m，1），则△OAB的面积（
）
A. 3
【答案】D
【解析】
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵A（-∴m=(-B.
m1的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-xm13
4C.
7
2D.
15
41) • ( -2m)=2，
m1m，-2m）在反比例函数y=的图像上，
mx2，
x∴反比例函数的解析式为y=∴B（2，1），A（-1，-4），
2把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD
=111×3×2+×3×
22215=．
4故选：D．
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
10.
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y=k(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A，F，且xAF=EF，ABE的面积为18，则k的值为（
）
A. 6
【答案】B
【解析】
B. 12 C. 18 D. 24
【分析】先证明OB∥AE，得出S△ABE=S△OAE=18，设A的坐标为（a，标，可得S△OAE=2×3a×1k=18，求解即可．
ak），求出F点的坐标和E点的坐a【详解】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，
∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，∵AF=EF，
∴F点的纵坐标为k），
ak，
2ak），
2a代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=2×3a×解得k=12，
故选：B．
1k=18，
a【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S△ABE=S△OAE=18是解题关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11.
因式分解：a2﹣3a=_______．
【答案】a（a﹣3）
【解析】
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【详解】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为a（a﹣3）．
12.
设x1，x2是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实数根，则x1+x2−x1x2的值为 ___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实数根，
−2，x1x2=−3，
∴x1+x2=−2+3=1．
则原式=−2−(−3)=故答案为：1．
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
13.
如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方x−2≤n10是关于x的不等式组程．若方程x−1=的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
2n−2x<03【答案】1≤n<3
【解析】
【分析】解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式组可得答案．
【详解】解：解方程1x−1=0得x=3，
3x−2≤n∵x=3为不等式组的解，
2n−2x<01≤n∴，解得1≤n<3，
2n−6≤0即n的取值范围为：1≤n<3，
故答案为：1≤n<3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．
14.
如图，已知直线y=k1x与双曲线y=后，点B落在点C处，双曲线y=k1交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°xk1k2经过点C，则的值是_____．
kx2
【答案】−
【解析】
【分析】连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，根据旋转的性质得到△ABC是等边三角形，根据反比例函数和正比例函数的对称性得出OA=OB，即可得出CO⊥AB，证得△BOM∽△OCN，得到13S∆BOMOB21)=(=，根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．
S∆CONOC3【详解】解：连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵直线y=k1x与双曲线y=∴OA=OB，
∴CO⊥AB，∠BCO=2∠ACB=30°，
∴tan30=°1k1交于A，B两点，
xOB=OC3
，3∵∠BOC=90°，
∴∠BOM+∠CON=90°，
∵∠BOM+∠MBO=90°，
∴∠CON=∠MBO，
∵∠BMO=∠ONC=90°，
∴△BOM∽△OCN，
S∆BOMOB21()==∴，
S∆CONOC3∵S∆BOM=1−k12=1，
∴13k22∴1111|||k1|=−k1，S==kk2，
∆CON22222k11=−，
k231故答案为：−．
3【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了旋转的性质，反比例函数与正比例函数的对称∆BOM)性，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，证得=(=SS∆CONOBOC21是解题的关键．
315.
如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．则OC的值是___________．
OF
【答案】22
【解析】
【分析】根据轴对称和矩形的性质，得∠FGE=设AD=2a，AB=2b，∠COF=°90；90°，∠GEC=90°，根据勾股定理和一元一次方程的性质计算，得OF=2a，从而完成求解.
2【详解】由折叠性质可得：DG∠FGO，=OG=AG，AE=OE=BE，OC=BC，∠DGF=
∠AGE=∠OGE，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，∠FOG=∠D=90°
∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°，∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°，∠COF=180°−∠FOG=90°
设AD=2a，AB=2b，则DG=OG=AG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3OG=3a
2在直角CGE中，CG=GE2+CE2，
∴(3a)=a2+b2+b2+(2a)
∴b=222a
在直角COF中，设OF=DF=x，则CF=2b−x=22a−x
∴x2+(2a)=解得：x=2(22a−x
)22a
2∴OF=2a
2∵OC=CG−OG=3a−a=2a
OC=∴OF2a=22
2a2故答案为：22．
【点睛】本题考查了矩形、轴对称、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形、勾股定理的性质，从而完成求解.
三、解答题（共55分）
﹣16.
计算：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（2）1﹣8．
1【答案】2-2
【解析】
【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（2）1﹣8
﹣1
=1+2-1+2-22
=2-2．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．
xx2−417.
先化简，再求值：﹣1）÷2，其中x＝﹣4．
（x−2x−4x+4【答案】【解析】
【分析】先将能够分子分母因式分解，再根据分式的运算法则进行化简，最后将x的值带去即可．
2,−1
x+2x−(x−2)(x−2)2
【详解】原式＝x−2(x−2)(x+2)＝2x−2
x−2x+22
＝x+2当x＝﹣4时，
原式＝2＝﹣1．
−4+2【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练地掌握分式的运算法则将分式进行约分化简是解题的关键．
18.
为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是
，圆心角β＝
度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
【答案】（1）50，144；
（2）见解析
（3）480
（4）1
6【解析】
【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
（3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
（1）本次调查的样本容量是：
10÷20%=50，
则圆心角β=360°×20= 144°，
50故答案为：50，144；
【小问2详解】
成绩优秀的人数为：
50-2-10-20=18(人)，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
1200×20=480（人）
50答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
【小问4详解】
画树状图如下，
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为21=
126【点睛】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
=AB8,=AD4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C）19.
如图，在矩形ABCD中，，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE=a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC//AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
【答案】（1）BF=2a
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠BAD=∠ABC=∠D=90°，然后可证ADE∽ABF，进而根据相似三角形的性质可求解；
（2）如图，连接AC，由题意易证四边形AGCE是平行四边形，然后可得=BCABBG1=，进而可证BF2ABC∽FBG，则可证AC⊥GE，最后问题可求证．
【小问1详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∵∠ABF=∠D=90°，
∴ADE∽ABF，
∴ADDE，
=ABBF=AB8,=AD4，DE=a，
∵=∴BFDE⋅AB=2a；
AD【小问2详解】
证明：由题意可得如图所示：
连接AC，
BC=4,AB=CD=8,∠ABC=°90，
在矩形ABCD中，AB//CD，AD=∴∠ABC=∠FBG=90°，
∵GC//AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG=CE，
∴BG=DE=a，
∵BF=2a，
∴=GBBFa1=，
2a2
∵BC1=，
AB2∴=BCABBG1=，
BF2∵∠ABC=∠FBG=90°，
∴ABC∽FBG，
∴∠FGB=∠ACB，
∵∠GFB+∠FGB=90°，
∴∠GFB+∠ACB=90°，
∴AC⊥GE，
∴四边形AGCE是菱形．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键．
20.
某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）①w=−0.8m+60；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【解析】
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为(30−m)台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得90m+100(30−m)≥2830，然后可得15≤m≤17，进而根据一次函数的性质可进行求解．
−0.8m+60≤48
【小问1详解】
解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
540600=，
xx+10解得：x=90；
经检验：x=90是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
【小问2详解】
解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为(30−m)台，
∴w=1.2m+2(30-m)=-0.8m+60；
②由题意得：90m+100(30−m)≥2830−0.8m+60≤48，
解得：15≤m≤17，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为w=−0.8×17+60=46.4，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．
21.
如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝k（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点Ex和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤k的解集：
．
x5ON的最小值．
5（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+【答案】（1）y＝【解析】
【分析】（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．
（2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△EFB计算即可．
（3）写出在第一象限，直线的图象在反比例函数的图象的下方的自变量x的取值范围即可．
（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠NOD=NJ=ON•sin∠NOD=重合时，HN+5，推出534535ON的最小值为4．
；（2）S△OEF＝；（3）0＜x＜或x＞3．（4）HN+54x855ON，推出NH+ON=NH+NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK555ON的值最小，最小值=HK的长，由此即可解决问题．
5【详解】解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，
∴B（3，4），
∵OD＝DB，
∴D（3，2），
2k3∵y＝经过D（，2），
x2∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝3．
x（2）如图①中，连接OE，OF．
由题意E（3，4），F（3，1），
43131﹣2×3×1﹣2×3×（3﹣）
44∴S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB
＝12﹣2×4×＝145．
8（3）观察图象可知：在第一象限内，关于x的不等式kx+b≤故答案为0＜x＜3或x＞3．
4k3的解集为：0＜x＜或x＞3．
4x（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．
由题意OB＝OH＝5，
∴CH＝OH﹣OC＝5﹣3＝2，
∴BH＝BC2+CH2＝42+22＝25，
∴sin∠CBH＝∵OM⊥BH，
∴∠OMH＝∠BCH＝90°，
CH5＝，
5BH
∵∠MOH+∠OHM＝90°，∠CBH+∠CHB＝90°，
∴∠MOH＝∠CBH，
∵OB＝OH，OM⊥BH，
∴∠MOB＝∠MOH＝∠CBH，
∴sin∠NOD＝5，
55ON，
5∴NJ＝ON•sin∠NOD＝∴NH+5ON＝NH+NJ，
55ON的值最小，最小值＝HK的长，
5根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+∵OB＝OH，BC⊥OH，HK⊥OB，
∴HK＝BC＝4，
∴HN+5ON是最小值为4．
5【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题．
22.
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,DE⊥CF，则的值为___________；
DECF=AD7,=CD4，点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE⊥BD，（2）如图2，在矩形ABCD中，则CE的值为___________；
BD【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂
线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DEAB=CFAD；
【拓展延伸】
90°,AD=9,tan∠ADB=，将△ABD
沿BD翻折，点A落（4）如图4，在RtABD中，∠BAD=在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB,AD上，连接DE,CF,DE⊥CF．
13①求DE的值；
CF②连接BF，若AE=1，直接写出BF的长度．
【答案】（1）1
（2）4
73529
，②35（3）见解析
（4）①【解析】
【分析】（1）证明AED∽DFC，根据全等三角形的性质得到DE=CF，得到答案；
（2）证明DEC∽ABD，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，证明DEA∽CFH，列出比例式，证明结论；
（4）①过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，根据正切的定义得到AH1=，②根据勾股定理分别求出AH,DH，根据三角形的面积公式求出CG，再计算即可．
DH3【小问1详解】
解：如图1，设DE与CF交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∠FDC=90°,AD=CD，
∴∠A=∵DE⊥CF,
∴∠DGF=°90，
∴∠ADE+∠CFD=90°=∠ADE+∠AED，
∠AED,
∴∠CFD=∠FDC∠A=∠AED,
在△AED和△DFC中，∠CFD=AD=CD∴AED≌DFC(AAS),
∴DE=CF，
∴DE=1；
CF【小问2详解】
解：如图2，设BD与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∠EDC=90°,
∴∠A=∵CE⊥BD,
∴∠DGC=°90，
=90°,∠ADB+∠CDG=90°,
∴∠CDG+∠ECD∴∠ECD=∠ADB，
∵∠CDE=∠A，
∴DEC∽ABD，
∴=CEBDDC4=，
AD7故答案为：4．
7【小问3详解】
证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∠H=∠A=∠B=90°,
∴∠G=∴四边形ABCH为矩形，
∴AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°,
∠FDG=∠ADE,∠A=∠H=90°,
∴∠FCH=∴DEA∽CFH,
DEAD=，
CFCHDEAD=∴，
CFAB∴∴DEAB=CFAD；
【小问4详解】
解：①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，
∵CF⊥DE,GC⊥AD,
∴∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90°,
∴∠FCG=90°,
∠ADE,∠BAD=∠CGF=∴DEA∽CFG,
∴DEAD=，
CFCG1,AD=9,
313=ABCB=,ADCD,AC⊥BD,
由对折可得：在RtABD中，tan∠ADB=∴AB=3，
,
在RtADH中，tan∠ADH=∴AH1=，
DH3设AH=a，则DH=3a，
∵AH2+DH2=AD2,
∴a2+(3a)=92，
2910（负值舍去），
1027910，
10，DH=∴AH=10109AC2=AH10,
∴=511AC⋅DHAD⋅CG,
∵S∆ADC2219271∴×10×10=×9CG,，
2510227∴CG=，
5∴a=
95DEAD===∴CFCG273；
592790°,
②AC=10,CG=,∠AGC=55∴AG=AC2−CG2=(927910)2−()2=,
555由①得DEA∽CFG，
∴DEAE=，
CFFGDE5=，AE=1，
又∵CF3∴FG=3，
5936−=,
555∴AF=AG−FG=∴BF=AB2+AF2=6332+()2=29.
55【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．
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