2024年3月26日发(作者：深圳小升初数学试卷题型)
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数学分析三大基本思想之逼近
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说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结
论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。
从本章开始，计划用三篇文章来介绍数学分析中的三大基本思想，即逼近、
变换和分解。
对数学分析普遍的看法是，上手容易，难以精通，易学难精。除了数学分析
科目本身博大精深外（想想数分后续科目复变、实变、ODE和PDE），造成这
种现象的原因之一是数学分析中的技巧特别多，初步统计包括逼近（放缩和夹
逼）、变换（等价无穷小和不定积分换元）、分解（级数和累次积分）、反演、递
推、RMI原理、对称、引入参变量（收敛因子）、极端法、归纳法、构造法和计
算两次法等等。这些方法技巧，本身也是宝贵的数学思想，它们分散在数学分
析的若干定理和经典习题当中，单独拿出来都能写一篇文章。这方面读者可以
参考谢惠民的《数学分析习题课讲义》一书，写得很全面。
但凡事大都有主要矛盾，学数学分析也应该抓主要思想。根据笔者这些年对
数学分析的体会，感觉有三大基本思想是数学分析的核心，逼近、变换和分解。
围绕微分、积分和级数这三大主题，展开上述三大基本思想，构成了数学分析
的主干。不论是初学者，还是重温者，抓住上面的主干，就有了方向。本章先
介绍数学分析第一大基本思想：逼近。
数学分析处理的对象涉及无穷，因而必须考虑极限。而如何严格描述极限
过程呢？为此，引入了
ε−δ
语言（相当于公理），所讨论的极限，即
ε−δ
意义
下的极限。本文所讨论的逼近，也是
ε−δ
意义下的逼近。出于对几何直观的偏
爱，笔者更喜欢用
x
n
→x
0
（箭头）表示逼近过程，而不是用
|
x
n
−x
0
|
<ε.
谈及分析中的逼近，免不了涉及不等式，这也是分析难学的原因之一。毕
竟，不等式比等式难处理多了，而且经常要分段估计（如三段法）。逼近是一种
重要的思想，用简单的近似复杂的，用熟悉的近似陌生的，这种思想绝非数学
独有。
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回想极限的定义、连续的定义、定积分的定义，都体现了数学中的逼近思
想。当然，极限和连续可以用拓扑的方法定义，但失去了直观性。学数学分析
还是尽量采用直观的方法为好，至少在水平达到一定程度之前如此。
逼近的常见技巧是放缩和夹逼，方法的框架很简单，但具体应用时需要与
具体问题相结合。本文重点介绍逼近的思想在数学分析中的体现，下面用两个
例子来说明。
第一个例子：闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近。
这是魏尔斯特拉斯的多项式逼近连续函数定理，学过数分的人都知道。多数
教材对这个定理的证明采用伯恩斯坦多项式的构造方法。这里我们不去探讨证
明过程，重点说明一个有趣的数学证明思路，想法来自概率论。考虑独立重复
的伯努利实验，它有两个结果
A,B
，出现结果
A
的概率为
x
，出现结果
B
的概
率为
1−x
. 则
n
次独立重复实验中，恰好出现
k
次的结果
A
的概率为
kk
P
n
(
k
)
=
C
n
x
(1
−
x
)
n
−
k
显然，
Σ
P
n
(
i
)
=
1
. 这种概率分布也叫二项分布。固定
n
和
x
不动，将
P
n
(k)
视作变量
k
的函数。这个函数在
nx
（不一定是整数）附近有一尖峰，在两侧迅
速递减。于是直观上可以设想，对这样的
nx
≈
k
（以下默认），
P
n
(
k
)
比较接近
于1（在和式
Σ
P
n
(
i
)
=
1
中权重较大）。因此，下面的加权逼近想法就自然了：
ik
Piff
()()
⎯⎯→
()
≈
f
(
x
)
∑
n
nn
i
=
1
i
ii
x
(1
−
x
)
n
−
i
，则利用初等不等式放缩技巧可以证记多项式
B
n
(
f
,
x
)
=
∑
f
()
C
n
n
i
=
0
明：当
n
→∞
时，多项式序列
B
n
(
f
,
x
)
一致逼近连续函数
f(x)
.
注：证明细节可参考张筑生老师的《数学分析新讲》第三册。
也有教材采用高级工具来证明，如核函数方法。细节见卓里奇的《数学分
析》第二册，或者《新讲》第三册含参数积分章节。笔者在网上看到一位台湾
数学老师介绍多项式逼近连续函数的好文章，重点就是介绍“核函数”法来构
造逼近多项式（推荐读读）：
本质上，这种核函数法利用了广义函数中的狄拉克函数序列性质，可参考
n
n
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