人教版九年级数学知识点归纳总结

2024年1月16日发(作者：小升初数学试卷石家庄)

九年级数学知识点

第21章 二次根式

一、学习目标

对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：

1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；

2. 了解最简二次根式的概念；

3. 理解并掌握下列结论：

（1）是非负数； （2）； （3）；

4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；

5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。

二、重点

1、二次根式的定义和概念：

（1）定义：一般地，形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，a表示a的算数平方根。

（2）概念：式子a（a≥0）叫二次根式。a（a≥0）是一个非负数。

2、最简二次根式

最简二次根式条件：

（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；

（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

3、二次根式的乘法和除法

运算法则：

乘法法则：abab（a≥0，b≥0）

除法法则：aa（a≥0，b>0）

bb4、二次根式的加法和减法

①同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

②合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

③二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并

5、二次根式的混合运算

①确定运算顺序；②灵活运用运算定律；③正确使用乘法公式；④大多数分母有理化要及时；⑤在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 。

6、分母有理化

分母有理化有两种方法

I.分母是单项式如:

aabab

bbbbII.分母是多项式,利用平方差公式

aa(bc)a(bc) 如

bcbc(bc)(bc)三、难点

二次根式a的简单性质

①a≥0 ;

a≥0 [ 双重非负性 ]

②(a)2a,(a0) (任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式)

③

a2a(对a的值应进行分类讨论)

四、知识网络图表

定义：形如：a(a0)

概念

最简二次根式：（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开尽方的因数或因式。

(a)2a(a0)性质

二次根式

a2a(a为实数）abab(a0,b0)

aa(a0,b0)bb加减法：先将二次根式化成最简的二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

运算

乘法：abab(a0,b0)

混合运算

除法：aa(a0,b0)

bb

第22章 一元二次方程

一、学习目标

1、理解一元二次方程的概念

2、学会一元二次方程的解法

3、了解方程的根与系数的关系

4、掌握一元二次方程的实际应用

二、重点

1、一元二次方程的概念

2、一元二次方程的解法：

① 直接开平方法 ② 因式分解法 ③ 配方法 ④ 公式法

3、根与系数的关系

若x1、x2分别是一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根，则x1x2三、难点

1、运用配方法解一元二次方程

2、一元二次方程的实际应用问题

四、知识网络图表

一元二次方程的应用

数量关系

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程

的根的

情况

公式法

一元二次方程的解法

直接配方法

因式分解法

配方法

一元二次方程的概念

bax1x2c

aax2bxc0(a0)

ax2bxc0(a0),△一元二次方程0,方程有两个不相等的实根;△=0时,方程有两个相等的实根;△0时,方程无实根.

一元二次方程的探索

方程ax2bxc0(a0),的两根为bx1,x2,则x1x2,

acx1x2

a

等量关系

列一元二次方程解应用题

第23章 旋 转

一、学习目标

1、理解旋转、旋转中心、旋转角、中心对称的概念

2、学会找旋转角及画中心对称图形

3、掌握中心对称的性质

4、学会关于原点对称的点的坐标

5、了解图形旋转的应用

二、重点

1、旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

2、旋转对称中心 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。

3、中心对称和中心对称图形的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．

也就是说：

① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

4、中心对称图形

正（2N）边形（N为大于1的正整数），线段，矩形，菱形，圆 ，平行四边形等．

5、中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形是全等形。

②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。

中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点.

三、难点

对中心对称性质的应用

四、知识网络图表

平移及性质

旋转及性质 中心对称 图案设计

图形旋转

中心对称图形 识别及应用

平移及性质

关于原点对称的点的坐标

第24章 圆

一、学习目标

1、理解圆的几何定义与圆有关的概念

2、掌握垂径定理、切线的判定定理、切线长定理以及圆周角定理

3、学会判断点、直线、圆与圆的位置关系

4、会计算弧长、扇形的面积及圆锥的侧面积和全面积

二、重点

1、几何中圆的定义

①几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

②轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

③集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

2、圆的相关量

①圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值。

②圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

③圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

④内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

⑤扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

⑥圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

3、圆和其他图形的位置关系

①圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

②直线与圆有3种位置关系：

a.无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；

b.圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：

AB与⊙O相离 PO＞r；

AB与⊙O相切 PO＝r；

AB与⊙O相交 PO＜r。

③两圆之间有5种位置关系：

a.无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；

b有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；

c.有两个公共点的叫相交。

两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：

外切P=R+r 外离P＞R+r

相交R-r＜P＜R+r

内切P=R-r 内含P＜R-r

4、圆的平面几何性质和定理

1、有关圆的基本性质与定理

⑴圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

⑵有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）

④直角三角形△ABC内接圆⊙O的半径为 (a+b-c)/2；

⑤直角三角形△ABC外接圆⊙O的半径为 c/2。

5、有关的性质和定理

①切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

②切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

③垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

④圆周角定理： 在同圆或等圆中，相等弧（弦）所对的圆周角相等，等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

⑤切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

6、有关圆的计算公式

①圆的周长C2rd ②圆的面积SR2

nr1nr2③扇形弧长l ④扇形面积S ，Slr.

1802360⑤圆锥侧面积Srl ⑥圆锥全面积Sr(rl)

三、难点

⒈垂径定理的理解及应用 ⒉圆周角定理的理解及应用 ⒊切线判定定理的理解及应用 ⒋切线长定理的理解及应用 ⒌直线与圆的位置关系的判断

四、知识网络图表

与圆有关的位置关系

圆

圆的定义,弧、弦等概念

垂径定理及其推论 圆的对称性

基本性质

弧、弦、弦心距、圆心角关系定理及其推论

圆周角定理及其推论

不共线的三点确定一个圆

确定圆的条件

三角形的外接圆

点在圆上dr

点和圆的位置关系

点在圆外dr

点在圆内dr

切线长定相交dr

判理

定

三直线与圆的位置关系

相切dr

性角形的相离dr

质

内切圆

外离dRr

圆相离

与内含dRr

圆的相切

外切dRr

相切的两位圆的连心置内切dRr

线过切点

关系 相交

相交RrdRr

相交的两圆的连心线垂直平分相交弦

轴截面

圆锥

侧面积

全面积

扇形的弧长、面积

正多边形的有关计算

正多边形的半径、边心距、正多边形的内角、中心角、外角、正多边形的周长、正三、六、十二边形

正四、八边形

正多边形和圆

圆内接正多边形

正多边形与圆圆内接正多边形作法----等份圆

lnR

180S扇形nR21lR

3602其中l为弧长，R为半径

S侧S展开的扇形

S全S底S侧

第25章 概率的初步

一、学习目标

1、理解概率、必然事件、随机事件、不可能事件的概念

2、学会运用列举法求随机事件的概率

二、重点

1、概率的概念

2、理解必然事件、随机事件、不可能事件

3、列举法求概率的方法

①列表法求概率

②树状图

三、难点

用列举法求随机事件的概率

四、知识网络图表

现实生活中存在大量随机事件

随机事件发生的可能性是有大小

列表法求概率

随机事件发生的可能性------概用列举法求概率

用树形图(树状图)求概率

率的计算P(A)m:,试验有nn

种结果发生,事件A包含(所发

生的)其中的m种结果 用频率估计概率 模拟实验 实物代替

第26章 二次函数

一、学习目标

1、理解二次函数的概念

2、学会画二次函数的图象

3、掌握二次函数的性质

4、学会函数图象的平移

5、能够运用二次函数解决实际问题

二、重点

1、二次函数的解析式

①一般式：yax2bxc(a0) (a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

②顶点式：ya(xh)2k(a0)

③交点式（与x轴）：ya(xx1)(xx2)(a0)

2、抛物线的性质

①二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

②a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a还可以决定开口大小,a越大开口就越小,a越小开口就越大。

③抛物线是轴对称图形。对称轴为直线xb.

2a④对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

b4acb2,⑤抛物线有一个顶点P，坐标为P (

)

2a4a当xb时，P在y轴上；当b24ac0时，P在x轴上。

2a⑥二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

⑦一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

Ⅰ.当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是b0-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

2ab0-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

2a Ⅱ.当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

⑧常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）

⑨二次函数的增减性

b时，y随x的增大而减小；2abb当x时，y随x的增大而增大．若a<0，当x时，y随x的增大而增大；2a2ab当x时，y随x的增大而减小．抛物线yax2bxc(a0)的最值：如果2a抛物线yax2bxc(a0)，若a>0，当x4acb2ba>0(a<0)，则当x时，y最小(大)值=．

2a4a3、二次函数yax2，ya(xh)2k(a0)，yax2bxc(a0) (各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

函数解析式 开口方向 对称轴

x0（y轴）

顶点坐标

（0,0）

(0,

k)

(h,0)

(h,k)

b4acb2(，)

2a4ayax2

yax2k

2yaxh

当a0时

开口向上

当a0时

开口向下

x0（y轴）

xh

xh

yaxhk

2yax2bxc

4、二次函数与一元二次方程

bx

2a二次函数（以下称函数）yax2bxc(a0)

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax2bxc0(a0）此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根；函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

抛物线yax2bxc(a0)的图象与坐标轴的交点：

Δ＞0，图象与x轴交于两点：（bb，0）和（，0）；

2a2ab，0）；

2aΔ＝0，图象与x轴交于一点：（Δ＜0，图象与x轴无交点；

5．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

yax2bxc(a0)

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：ya(xh)2k(a0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：ya(xx1)(xx2)(a0)．

6．二次函数的应用

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

三、难点

1、二次函数性质的应用

2、二次函数的实际应用问题

四、知识框图

第27章 相 似

一、学习目标

1、认识相似三角形

2、掌握相似三角形的判断方法

3、理解位似图形及图象的作法

二、重点

1、相似三角形的认识

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 .

2、相似三角形的判定方法

根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

①.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证

明方法需要平行线分线段成比例的证明）

②.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；

③.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

④.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

3、绝对相似三角形

①两个全等的三角形一定相似。

②两个等腰直角三角形一定相似。

③两个等边三角形一定相似。

④直角三角形相似判定定理

⑤斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

4、相似三角形的性质

①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

②相似三角形周长的比等于相似比。

③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相似三角形的特例

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：

形状完全相同，相似比是k=1。

全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。

因此，相似三角形包括全等三角形。

6、位似

概念：相似且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做

位似。

位似一定相似但相似不一定位似

三、难点

1、相似三角形判定定理的几何应用

2、相似三角形判定定理的实际应用

四、知识框图

第28章 锐角三角函数

一、学习目标

1、理解直角三角形三边的关系

2、理解锐角三角函数的概念

3、掌握解直角三角形

4、学会用锐角三角函数解决实际问题

二、重点

1、锐角三角形的概念

⑴、正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，

即tanA=∠A的对边/∠A的邻边。

①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；

②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；

③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

⑵、正弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，

即sinA=∠A的对边/斜边；

⑶、余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，

即cosA=∠A的邻边/斜边；

⑷、余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，

即cotA=∠A的邻边/∠A的对边；

2、记住特殊角的三角函数值表

3、锐角三角函数的性质

当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。

4、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：

（1）三边之间的关系：a2+b2=c2；

（2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；

（3)边与角之间的关系：sinα等；

三、难点

1、对锐角三角函数概念的理解

2、解直角三角形

3、锐角三角函数的应用

四、知识框图

第29章 投影与视图

一、学习目标

1、理解投影、平行投影、中心投影及正投影的概念

2、学会三视图的画法

二、重点

1、什么是投影？平行投影、中心投影及正投影？ 2、总结画三视图的方法

三、难点

作三视图

四、知识框图