最新数学九年级教材下册变式题(1)

2023年12月12日发(作者：小莉老师讲数学试卷)

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九年级下册·课本亮题拾贝

26．1 二次函数

题目 如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC + BD =

10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？（人教课本

D

C

P1810题）

分析 阅读理解题意，抓住AC与BD的位置关系（AC⊥BD）和

数量关系（AC + BD = 10）去表达四边形ABCD的面积．

A

B

解 设AC与BD相交于O，AC = x，则BD = 10－x（0＜x＜10），

D

因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形

ABCD的面积

O

11111SACODACOB=AC(ODOB)ACBDx(10x)

C

22222B

12121252=x5x(x10x)=(x5)．

A

222225因此，当AC = x = 5，BD = 5时，四边形ABCD的面积最大，为． 戊

2点评 由于多边形的面积一般是转化为三角形的面积解决的，所以当题目文字和图形中有了垂直关系时，自然就联想到三角形的面积等于底乘以高的一半（底与高垂直），借助于主元思想，设AC = x，则BD = 10－x，则就可以统一用x来表达四边形ABCD的面积等一些量．

演变

变式1 （图形变式）已知平面上两条线段AC、BD互相垂直，AC + BD = 10，问当AC、BD的长是多少时，多边形ABCD的面积最大？并画出此时多边形可能具有的形状．

分析 由于四边形具有对角线垂直且相等的特征，所以作出其图形形状（含特殊情况）如下：

D

D

C

(D)

C

D

C

C

A

A

B

B

A

B

A

B

甲 乙 丙 丁

解 如图甲、乙、丙、丁，问题显然．如上图戊，设AC的延长线与BD相交于O，AC

= x，则BD = 10－x，（0＜x＜10），因为四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积

11111S = S△ABD－S△CBD =AOBDCOBD=BD(AOCO)BDAC(10x)x

2222211125=x25x(x210x)=(x5)2．

2222D

25C

因此，当AC = x = 5，BD = 5时，四边形ABCD的面积最大，为．

2说明：如图所示，构成的多边形ABDC，就没有最大值．

根据解答，将题目中的关系特征抽象出来，即得：

A

B

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O 精品文档

变式2 （关系变式）

1已知 x、y都是正数，如果和x + y是定值S，那么当x = y时，积xy有最大值S2．

4这是一个有着十分广泛应用的结论（均值定理）．

11由x + y = S，得y = S－x，代入xy中有，xy = x（S－x）=－x2 + Sx =－(xS)2S2，24结论正确．

变式3 （问题推广）如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为，AC + BD = m，问当AC、BD的长等于多少时，四边形ABCD的面积最大？

解 过A、C作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F是垂足，则

D

四边形ABCD的面积为 S = S△ABD

+ S△CBD

C

1111F

=BD·AE +BD·CF =BD（AE + CF）=BD（AO· sin + CO· sin）

O

2222

E

11=BD（AO + CO）sin =BD·AC·sin，

A

22B

112∴ 当BD = AC =m时，S最大，为msin．

28

26.2 用函数观点看一元二次方程

题目 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），求这条抛物线的对称轴．（人教课本P23

4题）

解 ∵ 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），

a0,a0,∴

a(1)2b(1)c0, 解得

b2a,

a32b3c0,c3a.∴ 抛物线的方程为y = ax2－2ax－3a = a（x2－2x－3）=a（x－1）2－4a（a≠0），

因此，所求抛物线的对称轴为x = 1．

另法 ∵ 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），

∴ 抛物线的方程可设为y = a（x + 1）（x－3），a≠0，

即 y =－a（x2－2x－3）=a（x－1）2－4a（a≠0），

所以，抛物线的对称轴为x = 1．

法三 由于抛物线是关于对称轴对称的，且其对称轴x = h与x轴垂直，

13

1．2点评 本题已知简洁，结论明了，似乎没有什么可挖掘或拓广的．其实题目乃平中见奇，内涵丰富，不但解法多样，而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中，若要画图，还需分a＞0和a＜0讨论．适当改变条件，可得出许多新颖的题目来（如变式4这种开放题）．

演变

∴ 对称轴必过点A（－1，0）、B（3，0）的中点，为h－（－1）= 3－h，得h变式1 已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D．（1）若△ABC是直角三角形，则a = ；（2）若△ABD是直角三角形，则a = ．

解 在草稿纸上画出大致图象，可知

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（1）若△ABC是直角三角形，则直角顶点只能是C，∴ C（0，c），即C（0，－3a），于是（－3a）2 = 1×3，解得a =±1．

（2）若△ABD是直角三角形，则直角顶点只能是D，∴ D（0，－4a），

1于是由 2︱（－4a）︱= 4，解得a =±．

2变式2 已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D．问是否存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上？

解 假设存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上，则圆心E必在抛物线的对称轴x = 1上，于是令E（1，m），则︱DE︱=︱m + 4a︱，︱AE︱=︱BE︱=4m2，︱CE︱2=1(m3a）．由E到A、B、C、D的距离相等，得

2︱m + 4a︱=4m2=1(m3a），

经求解知，不存在非零常数a，使上式成立，因此表明，不存在非零常数a，使A、B、C、D在一个圆上．

变式3 已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的公共点是A（－1，0）、B（3，0），与y轴的公共点是C，顶点是D．若四边形ABDC的面积为2，求抛物线的解析式．

解 作出示意图，设对称轴与x轴的交点为E．

y

x=1

11则 △BDE的面积为EB·DE =×2×︱4a︱= 4︱a︱；

22113△AOC的面积为AO·CO =×1×︱3a︱=︱a︱；

222-1

O

3

x

117直角梯形OCDE的面积为（CO + DE）· OE =（︱3a︱+︱4a︱）· 1 =︱a︱；

22237从而四边形ABDC的面积等于 4︱a︱+︱a︱+︱a︱= 9︱a︱= 18，∴ a =±2．

22因此，抛物线的解析式为y = 2x2－4x－6 或 y =－2x2 + 4x + 6．

变式4 已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图，

你能根据图象所提供的信息得出哪些结论呢？试一试．

（1）（2009丽水）已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）

的图象如图所示，给出以下结论：

① a＞0 ② 该函数的图象关于直线x = 1对称

③ 当x =－1或x = 3时，函数y的值都等于0

其中正确结论的个数是（ ）．B

A．3 B．2 C．1 D．0

-1

O

3

x

y

x=1

（2）（2009南充）抛物线y = a（x + 1）（x－3）（a≠0）的对称轴是直线（ ）．A

A．x = 1 B．x =－1 C．x =－3 D．x = 3

（3）（2009南宁）已知二次函数y = ax + bx + c（a≠0）的图象

如图所示，有下列四个结论：① b＜0 ② c＞0 ③ b2－4ac＞0

④ a－b+c＜0 其中正确的个数有（ ）．C

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（4）（2009宁夏）二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图

所示，对称轴是直线x = 1，则下列四个结论错误的是（ ）．D

．．A．c＞0 B．2a + b = 0 C．b2－4ac＞0 D．a－b + c＞0

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2y

-3

y

O

1

x=1

x

-1

O

3

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（5）（2009庆阳）如图为二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）

的图象，给出下列说法：

① ab＜0 ② 方程ax2 + bx + c = 0的根为x1 =－1，x2 = 3

③ a + b + c＞0 ④ 当x＞1时，y随x值的增大而增大

⑤ 当y＞0时，－1＜x＜3

其中，正确的说法有 ．①②④

（请写出所有正确说法的序号）

y

-1

O

x=1

3

x

（6）（2009内江）如图所示，已知点A（－1，0），B（3，0），

C（0，t），且t＞0，tan∠BAC = 3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：y = k（x + 1）的一个交点．

① 求抛物线的解析式；② 对于动点Q（1，n），求PQ + QB的最小值；③ 若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值．

（限于篇幅，解答略去，下同）

（7）（2009武汉）如图，抛物线y = ax2 + bx－4a经过A（－1，0）、

y

C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．

C

① 求抛物线的解析式；

② 已知点D（m，m + 1）在第一象限的抛物线上，

求点D关于直线BC对称的点的坐标；

A

O

③ 在②的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，

且∠DBP = 45，求点P的坐标．

B

x

（8）（2009安顺）如图，已知抛物线与x交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．

① 求抛物线的解析式；② 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；③ △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．

（9）（2009威海）如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（－1，0），（3，0）．（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

① 求抛物线的解析式；

y

D

② 求当AD + CD最小时点D的坐标；

B

③ 以点A为圆心，以AD为半径作⊙A．

ⅰ）证明：当AD + CD最小时，直线BD与⊙A相切．

ⅱ）写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：___________．A

E

（10）（2009牡丹江）如图二次函数y = x2

+ bx + c的图象

经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．

① 试确定b、c的值；

② 过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛

物线的顶点，试确定△MCD的形状．

2O

y

C

x

1

（11）（2009十堰）如图，已知抛物线y = ax + bx + 3（a≠0）

O

x

与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．

① 求抛物线的解析式；

② 设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

③ 如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最y

大值，并求此时E点的坐标．

y

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C

C

A

B

B

M

A

O

x

B

A

O

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26.3 实际问题与二次函数

题目 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（人教课本P25探究1）

分析 调整价格包括涨价和降价两种情况．看看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（300－10x）件，销售额为（60 + x）（300－10x）元，买进商品需要付40（300－10x）元，因此所得利润y =（60 + x）（300－10x）－40（300－10x）．

解 （1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y随x的变化为：

y =（60 + x）（300－10x）－40（300－10x），自变量x的取值范围是0≤x≤30．

22∴ y =－10x + 100x + 6000 =－10（x－5） + 6250，

因此当x = 5时，y的最大值为6250．

（2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润y随x的变化为：

y =（60－x－40）（300 + 20x），自变量x的取值范围是0≤x≤20．

∴ y =－20x2 + 100x + 6000 =－20（x－2.5）2 + 6125，

因此当x = 2.5时，y的最大值为6125．

（3）每件60元销售（即不涨不降），每星期可卖出300件，其利润y =（60－40）×300

= 6000元．

综上所述，当商品卖价定位45元时，一周能获得最大利润6250．

点评 本问题是一道较复杂的市场营销问题，不能直接建立函数模型，需要采用分情况讨论，建立函数关系式，在每个不同情况下，必须注意自变量的取值范围，以便在这个取值范围内，考查函数的性态（最大最小，变化情况，对称性，特殊点等）和图象，然后比较选择，作出结论．

演变

变式1 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支付20元的各种费用．房间定位多少时，宾馆利润最大？（课本28页第6题）

解 设每个房间每天的定价增加10x元，则有x个房间空闲，于是宾馆利润

y =（180 + 10x）（50－x）－20（50－x），其中0≤x≤50．

∴ y =－10（x2－34x－800）=－10（x－17）2

+ 10890．

当x = 17时，y取得最大值10890元，即房价定为350元∕间时，宾馆利润最大．

变式2 （2008绵阳）青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元∕天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元∕天·间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？

解 设每天的房价为60 + 5x元，则有x个房间空闲，已住宿了30－x个房间．

于是度假村的利润 y =（30－x）（60 + 5x）－20（30－x），其中0≤x≤30．

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∴ y =（30－x）· 5 ·（8 + x）= 5（240 + 22x－x2）=－5（x－11）2

+ 1805．

因此，当x = 11时，y取得最大值1805元，即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大．

另法 设每天的房价为x元，利润y元满足

x601．

y(x20)(30)=x246x840（60≤x≤210，是5的倍数）55法三 设房价定为每间增加x元，利润y元满足

x1．

y(60x20)(30)=x222x1200（0≤x≤150，是5的倍数）55变式3 （2009武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

解 （1）y =（210－10x）（50 + x－40）=－10x2 + 110x + 2100（0＜x≤15且x为整数）．

2（2）y =－10（x－5.5） + 2402.5，∴ 当x = 5.5时，y有最大值2402.5．

∵ 0＜x≤15，且x为整数，当x = 5或x = 6时，y = 2400（元）．

∴

当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

（3）当 y = 2200时，－10x2 + 110x + 2100 = 2200，解得x = 1或x = 10．

∴ 当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．

变式4 （2009黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去．

（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式．

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由．

1解 （1）y1 = 100 + x，y2x．

211（2）y =（100 + x）（100－x），即 y =－（x－50）2 + 11250，

22因为提价前包房费总收入为100×100 = 10000．

当x = 50时，可获最大包房收入11250元，因为11250＞10000．又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元．

变式5 （2009烟台）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

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（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

x2解 （1）根据题意，得y(24002000x)(84)，即yx224x3200．

50252（2）由题意，得x224x32004800，整理，得 x2－300x + 20000 = 0．解这个方25程，得x1 = 100，x2 = 200．要使百姓得到实惠，取x = 200，所以，每台冰箱应降价200元．

22（3）yx224x3200=(x150)25000，当每台冰箱的售价降价150元时，2525商场的利润最大，最大利润是5000元．

变式6 （2009济宁）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件．

（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？

（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？

解 （1）（130－100）×80 = 2400（元）．

（2）设应将售价定为x元，则销售利润

y(x100)(80130x20)=－4x2 + 1000x－60000 =－4（x－125）2 + 2500．

5当x = 125时，y有最大值2500，∴ 应将售价定为125元，最大销售利润是2500元．

变式7 （2009滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

（3）请画出上述函数的大致图象．

27.1 图形的相似

题目 如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸再如此对折下去，得到的矩形都相似吗？（人教课本P41

8题）

a．沿较长边的中点对折，2得到了两个矩形都和原来的矩形相似，从而有两个小矩形是全等的，和原来的矩形相似的比解 设矩形纸片的较长边为a，较短边为b，则a＞b，且b＞精品文档 精品文档

a:b = b:a，所以a:b =2:1，为原来矩形的长宽比．

2再折下去，得到的矩形都相似．

点评 矩形是有一个角为直角的平行四边形（长方形）．它具有平行四边形的所有性质（它既然是特殊的平行四边形，那么它就应该有自己特有的性质）；矩形是轴对称图形，有2条对称轴（非正方形）；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．

演变

为变式1 已知一个矩形长与宽的比为2，如果将矩形沿较长边的中点对折，得到的两个全等的小矩形，那么它们都和原来的矩形相似．

变式2 将一张矩形纸片沿过其中心的直线对折，得到两个图形（直角三角形或直角梯形）全等（相似，相似比等于1）．

说明 此种情况的折法不需要长宽比的限制．

变式3 （2009济宁）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形

中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形

相似，则留下矩形的面积是（ ）．C

A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2

变式4 （2009山西）如图（1），把一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长m

为（ ）．A

n

mmnnn

A． B．m－n C． D．

222

变式5 （2009济南）如图，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 5．

过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（ D ）．

E

A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4

A

变式6 （2009凉山）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，

使C落在C′ 处，BC′ 交AD于E，则下列结论不一定成立的是（ C ）．

O

A．AD = BC′ B．∠EBD =∠EDB

B

AEC′

C．△ABE∽△CBD D．sinABE

EDE

A

变式7 （2009台湾）如图，过P点的两直线将矩形ABCD

分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP:PC

=

B

AD:AB

= 4:3．

A

下列对于矩形是否相似的判断，何者正确？（ ）．A

A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似

甲

乙

C．丙、乙相似 D．丙、丁相似

变式8 （2009杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别

是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，

精品文档

B

丙

P

丁

C

n

D

C

D

C

D 精品文档

那么x的值（ ）．B

A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个

变式9 （2009安徽）如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）

剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．

．．．．．．（1）画出拼成的矩形的简图；（2）求解 （1）

④

①

②

③

x y

x的值．

yx

②

y

①

x

x

y

③ ④

y

说明：其它正确拼法可相应赋分．

（2）由拼图前后的面积相等得：[(xy)y]y(xy)2，

xx因为y≠0，整理，得

()210，

yy解得

x51（负值不合题意，舍去）．

y2xyx，以下同解法一． 另法 由拼成的矩形，可知(xy)yy

27．2 相似三角形

题目 如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．（课C

本49页练习第2题）

分析 利用它们的对应角分别相等，证明它们相似．

证明 略．

点评 这个问题可以表述为：直角三角形被斜边上的高分成的

两个直角三角形和原三形相似，这也是直角三角形相似的常用判定方法．

该图形是平面几何中最基本的图形之一，称为母子三角形．

演变

变式1 如原题目和图形，求证：A

D

B

111．

222CDACBC解 由 Rt△ACD∽Rt△ABC∽Rt△CBD 得

AC2 = AD · AB，BC2 = BD · AB，CD2 = AD · BD，

A

C

AC2BC2AC2BC2111∴

CD，因此 ．

ABABAC2BC2CD2AC2BC22D

B

精品文档 精品文档

变式2 如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且ADCD，求∠C的大小．（课本P57页15题）

CDBD解 由已知条件可得 Rt△ACD∽Rt△CBD，从而∠A与∠BCD互余，∠BCD与∠ACD互余，故 ∠C = 90．

变式3 如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2 = PA · PB．（课本P72C

页8题）

A

证明 连结AC，BC， ∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴ △CPA∽△BPD，可得

O

D

P

B

PCPA，从而 PC2 = PA · PB．

PBPC变式4 （2009牡丹江）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，

一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（ ）．C

CDDB① ∠1 =∠A ② ③ ∠B +∠2 = 90

ADCD④ BC:AC:AB = 3:4:5 ⑤ AC · BD = BC · AD

A

A．1 B．2 C．3 D．4

C

2

1

D

B

变式5 （2009梧州）如图，正方形ABCD中，E为AB的

中点，AF⊥DE于点O，则D

O

A

E

C

F

B

AO等于（ ）．D

DO121 C． D．

332A．25

3 B．变式6 （2009山西）在Rt△ABC中，∠ACB = 90，BC = 3，AC = 4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）．B

3725A． B． C．

266 D．2

A

E

C

B

变式7 （2009呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，

CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形的个数有（ ）．A

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

O

D

变式8 （2009东营）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB = AC = 3，BC = 4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．12或2

7A

E

D

F

变式9 （2009长春）如图，在矩形ABCD中，点E、F

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B

C 精品文档

分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB = 6，AE = 9，DE

= 2，求EF的长．

解 ∵ 四边形ABCD是矩形，AB = 6，

∴ ∠A =∠D = 90，DC = AB = 6．

又 ∵ AE = 9，∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 BE =AE2AB29262117．

∵ △ABE∽△DEF，

∴

ABBE6117117，即

， 解得 EF =．

2EF3DEEF变式10 （2009常德）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．

解 △ABE 与△ADC相似．

在△ABE与△ADC中，

∵ AE是⊙O的直径，∴ ∠ABE = 90，

∵ AD是△ABC的边BC上的高，∴ ∠ADC = 90，∴ ∠ABE =∠ADC．

又 ∵ 同弧所对的圆周角相等，∴ ∠BEA =∠DCA，∴ △ABE∽△ADC．

变式11 （2009泰安）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB = 90，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．

（1）求证：FD2

= FB · FC；

（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．

证明 （1）∵ E是Rt△ACD斜边中点，

∴ DE = EA，∴ ∠A =∠ADE．

∵ ∠BDF =∠ADE，∴ ∠BDF =∠A．

∵ ∠FDC =∠CDB +∠BDF = 90 +∠BDF，

∠FBD =∠ACB +∠A = 90 +∠A，∴ ∠FDC =∠FBD．

∵ F是公共角，∴ △FBD∽△FDC，∴

（2）GD⊥EF．

∵ DG是Rt△CDB斜边上的中线，∴ DG = GC，∴ ∠CDG =∠DCG．

由（1）得 ∠DCG =∠BDF，∴ ∠CDG =∠BDF．

∵ ∠CDG +∠BDG = 90，∴ ∠BDG +∠BDF = 90，∴ DG⊥EF．

精品文档

C

G

E

D

B

F

A

A

E

O

D

C

B

E

FBFD，∴ FD2

= FB · FC．

FDFC精品文档

27.3 位似

题目 如图，四边形ABCD的坐标分别为A

（－6，6），B（－8，2），C（－4，0），D（－2，

4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比

B

A

A′

D

D′2

B′

C

C′

O

2

x

y

1为的位似图形．

2分析 问题的关键是要确定位似图形各个

顶点的坐标．根据位似图形的坐标规律性，点A

的对应点A′ 的坐标为（－6×11，6×），即

22（－3，3）．类似的，可以确定其它顶点的坐标．

解 如图，利用位似图形中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′（－3，3），B′（－4，1），C′（－2，0），D′（－1，2）．依次连接点A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′就是要求四边形ABCD的位似图形．

点评 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．

演变

变式1 试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

解 在平面直角坐标系中，作出四边形ABCD，知点A、B、C、D分别在四条直线y = 6，x =－8，y

= 0，x =－2所构成的一个正方形四边上，且对应排列，可知四边形ABCD是正方形，边长为．

224225，中心在（－5，5）变式2 求四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的面积．

（答案：20平方单位和5平方单位）

变式3 求四边形ABCD的对角线的交点坐标到原点的距离？

解 四边形ABCD的对角线的交点的横坐标为－5，纵坐标为3，于是它到原点的距离为(5)23234．

变式4 试作出四边形ABCD关于原点、点（0，2）、x轴、直线y = x的对称图形．（略）

1x2）

25223xx2） 变式6 求过点A、B、D的二次函数的解析式． （答案：y126变式5 求过点B、C的一次函数的解析式． （答案：y精品文档 精品文档

变式7 求过点D的反比例函数与线段BC的交点坐标．（答案：（2(51)，51））

变式8 （2009舟山）△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的象是△A′B′C．设点B的对应点B′ 的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）．D

A．1a

2 B．111(a1) C．(a1) D．(a3)

222变式9 （2009宜宾）若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）．A

A．8 B．6 C．4 D．2

28．1 锐角三角函数

题目 在Rt△ABC中，∠C = 90，BC = 5，sinA = 0.7，求cosA、tanA的值．（课本P85页8题）

解 作出示意图，把已知和图形结合起来．

∵ ∠C = 90，∴

sinA22B

5

A

C

BCBC550， 即

AB．

ABsinA0.775从而

ACABBC()5，

(107)7727∴

cosAAC551751BC577，tanA．

AB75010AC55151点评 （1）解答直角三角形的边角关系题目时，首先要抓住在哪一个直角三角形中（为防止出借，常常要根据题意作出图形，并由图想式），然后联想锐角三角函数的定义，写出边角关系式；最后结合勾股定理、直角三角中锐角互余和已知条件求解．在运算过程中，要注意因数分解、约分等策略，不要急着化简．

（2）根据锐角三角函数的定义，可知sin2A + cos2A = 1，tanAsinA，据此可立得结cosA论．所以本题在锐角三角形前提下，已知条件∠C = 90，BC = 5是多余的．

演变

变式1 在Rt△ABC中，∠C = 90，BC = 5，sinA = 0.7，解这个直角三角形．（见上）

变式2 已知△ABC是锐角三角形，且sinA = 0.7，求cosA、tanA的值．

解 画出满足sinA = 0.7一个△ABC（示意图），在AB上取AD = 1，过D作DE⊥AC精品文档

D

1

B 精品文档

于E，则在Rt△ADE中，

得

DE = AD sinA = 0.7，∴

AEAD2DE20.51，

因此

cosAAE51DE0.770.51，tanA．

AD10AE0.5151变式3 （2009湖州）在Rt△ABC中，∠ACB = Rt∠，BC = 1，AB = 2，则下列结论正确的是（ ）．D

A．sinA331 B．tanA C．cosB D．tanB3

222变式4 （2009益阳）先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）．B

55 C．5sin D．

cossin3变式5 （2009温州）△ABC中，∠C = 90，AB = 8，cosA =，则AC的长是 ．6

4A．5cos B．28.2 解直角三角形

题目 多年来，很多船只、飞机都在大西洋的一个区域内

神秘失踪，这个区域称为百慕大三角．根据图中标出的百慕大

三角的位置，计算百慕大三角的面积（精确到100 km，sin64

= 0.8988，cos64 = 0.4384）（课本97页第10题）

分析 解决这个问题的难点在于如何构造直角三角形．

结合文字和图形，理解、区分 “百慕大岛”与“百慕大三角”，弄清楚方位角的大小和关联．

解 由图中所标的有关数据，可知，AB

= 1700，AC

= 2720，A

= 62 + 54 = 116，延长CA，过B作BD⊥CA，D为垂足，则 BAD

= 180－116 = 64．

在Rt△ABD中，BD

=

AB

sinBAD，

∴ 百慕大三角ABC的面积

11=CDBDADBD=

S△BCD－S△BAD

22111=(CDAD)BDACBDACABsinBAD

2221=27201700sin6420780122.078106（km2）．

2B

C

D

A

2另法 同上法，延长BA，过C作CE⊥BA于E，

11则SABCSBCESACE =BECEAECE

22精品文档

B

A

E

C 精品文档

11=(BEAE)CEABACsinCAE．

22法三 过A作FG直于南北走向线（如图），则在Rt△ABG中，AB

= 1700，AC

= 2720，ABG

= 62，所以

AG

=

AB

= sin 62，BG

=

AB

cos

62．

同理，AF

=

AC

sin

54，CF

=

AC

cos 54．

于是百慕大三角ABC的面积

S = S直角梯形BCFG―SRt△ABG―SRt△ACF

111=(BGCF)(AGAF)BGAGAFCF

222111=(BGAGBGAFCFAGCFAF)BGAGAFCF

22211=(BGAFCFAG)=(ABcos62ACsin54ACcos54ABsin62)

221=ABAC(sin54cos62cos54sin62)

211=ABACsin116=17002720sin1162.078106（km2）．

22G

B

C

A

F

点评 利用解直角三角形的知识解决实际问题的基本思路为：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题（常常需要作垂线），选用锐角三角函数解有关量，得出答案（注意验证）．

演变

111变式1 如图，△ABC的面积为

SbcsinAcasinBabsinC，即三角形的面积222等于任意两边与它们夹角的正弦的积的一半．

解 作三角形的高BD．

BD在Rt△BDA中，sinA，则

BD =

AB sinA．

AB1∵

SACBD，

2111∴

SACBDACABsinAbcsinA．

22211同理，ScasinB，SabsinC．

22A

c

B

a

b

D

C

变式2 △ABC中，已知两边AC =

b，BC =

a和夹角C，试用a、b、C来表示AB．

解 过B作BD⊥AC，垂足为D，则D在AC或其延长线上．不妨设D在AC上．

在Rt△BCD中，有

BD =

a sinC，CD =

a cosC，

∴

AD =

b－a cosC．

在Rt△ABD中，由勾股定理，得

AB2 =

AD2 +

BD2，

∴

AB =（b－a cosC） +（a sinC）

=

b2 +

a2（cos2C + sin2C）－2ab cosC

精品文档

2222B

a

A

b

D

C 精品文档

=

a2

+

b2－2ab cosC．

变式3 （2009宁波）在坡屋顶的设计图中，AB =

AC，屋顶的

宽度为10米，坡角

这35，则坡屋顶的高度h为 米．3.5

变式4 （2009成都）某中学九年级学生在学习“直角三角形的

边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测

量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB

的顶点A的仰角为30，然后向教学楼前进60米到达点D，又

测得点A的仰角为45．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的

高度．（计算过程和结果均不取近似值）（答案：30 + 303）

变式5 （2009江苏）如图，在航线l的两侧分别有观测点

北

东

A

C

D

B

B

76

A和B，点A到航线l的距离为2 km，点B位于点A北偏东60

方向且与A相距10 km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76

方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5 min后该轮船行至点

C D

60

A

北

东

E

l

A的正北方向的D处．

（1）求观测点B到航线l的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1 km∕h）．

（答案：（1）3 km（2）40.6 km∕h）

变式6 （2009洛江）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东

60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行

一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处．求此

时轮船所在的B处与灯塔P的距离（结果保留根号）．（答案：406）

变式7 （2009中山）如图所示，A、B两城市相距100 km．

现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经

测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北

偏西45的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，

50 km为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公

路会不会穿越保护区？为什么？ （答案：不会穿越保护区）

变式8 （2009黄石）三楚第一山——东方山是黄石地区的

精品文档

P



P

E

30

F

45

A

B

C

B

发射架

山顶

600米

A 精品文档

佛教圣地，也是国家AAA级游览景区．它的主峰海拔约为600米，

主峰AB上建有一座电信信号发射架BC，现在山脚P处测得峰顶

的仰角为，发射架顶端的仰角为，其中tan求发射架高BC． （答案：25 m）

29.2 三视图

50

35，tan，

58题目 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐

的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的

面积．（课本121页例6）

分析 对于某些立体图形，沿着其中一些线（例如棱柱

的棱）剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形 ——

展开图．在实际的生产中，三视图和展开图往往结合在一起使用．

100

50

100

解决本题的思路是，由三视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图，从而计算面积．

解 由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱（如图）．

密封罐的高为50 mm，底面正六边形的直径为100 mm，边长为50 mm，下图是它的展开图．

由展开图可知，制作一个密封罐

所需钢板的面积为

6×50×50 + 2×6×= 6×502（1 +1×50×50 sin 60

23）≈ 27990（mm2）．

2点评 由主视图可知，物体正面是矩形及其组合体；由俯视图可知，由上向下看物体是正六边形；由左视图可知，物体的侧面是矩形及其组合体，综合各视图可知，物体是正六棱柱．所以由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形．

演变

变式1 求一个密封罐的体积．

精品文档 精品文档

解

V63502501875003（mm3）．

4变式2 若该工厂现有每张面积为X（50×50）的原材料板，共100张，……

变式3 城市道路中有使用正六棱柱的铺路石，密密匝匝地铺满路面，以给人舒适地行走．如图，……

变式4 制造一个这样的正六棱柱体罐子，需要多少成本？

变式5 （2009芜湖）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与侧视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，侧视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（ ）．C

A．320cm B．395.24 cm C．431.76 cm D．480 cm

实物图

20cm

主视图

60 cm

20cm

俯视图

变式6 （2008南充）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ）．A

变式7 （2009钦州）如图中物体的一个视图（a）的名称为 ．（答案：主视图）

变式8 （2009临沂）如图是一个包装盒的三视图，

则这个包装盒的体积是（ ）C

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从正面A．

B．

C．

D．

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A．192 cm3

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．1152 cm3 ．2883cm3．3843cm3 B C D