2021高考新课标全国1卷文科数学试题及答案

2024年3月4日发(作者：高考数学试卷试题出了吗)

2021高考新课标全国1卷文科数学试题及答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

本试卷共5页，满分150分。

考生注意：

1.在答题卡上填写准考证号和姓名，并核对条形码上的信息是否与自己的准考证号和姓名一致。

2.选择题用铅笔在答题卡上涂黑对应的答案标号，非选择题在答题卡上作答，不要在试卷上作答。

3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

1.已知集合A={x|x0}，则B=?

A。B=空集

XXX

C。B={x|x<3/2}

D。B={x|x>3/2}

2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田，这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是？

A。x1，x2，…，xn的平均数

B。x1，x2，…，xn的标准差

C。x1，x2，…，xn的最大值

D。x1，x2，…，xn的中位数

3.下列各式的运算结果为纯虚数的是？

A。i(1+i)²

B。i²(1-i)

C。(1+i)²

D。i(1+i)⁴

4.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是？

A。1/4

B。π/8

C。1/2π

D。4/y²

5.已知F是双曲线C：x²/9-y²/4=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)。则△APF的面积为？

A。3

B。11/23

C。32/3

D。26

6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是？

图片无法复制，请自行查看原试卷）

7.设x，y满足约束条件x- y≥1，y≥0，则z=x+y的最大值为？

A。1

B。2

C。3

D。无最大值

8.函数y=|x-2|+|x-4|+|x-6|的最小值为？

A。0

B。1

C。2

D。3

在四棱锥P-ABCD中，已知XXX且∠BAP=∠CDP=90°。

1）证明：平面PAB⊥平面PAD。

证明：由已知条件可得∠ABP=∠CDP=90°，故四边形ABPD为矩形，因此PA=BD，PC=AB。又因为AB//CD，所以∠APD=∠BPC，∠PAD=∠PCD，因此△PAD∽△PCD，从而可得PA/PD=PC/CD，即PA/AB=PC/CD，所以平面PAB⊥平面PAD。

2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P-ABCD的体积为19.

求该四棱锥的侧面积。

由于PA=PD=AB=DC，所以四棱锥P-ABCD为正四棱锥，设棱长为a，底面对角线长度为d，则有d=2a。又因为四棱锥的体积为19，所以有1/3×S底面×高=19，即S底面×高=57.由勾股定理可得AP=√2a，PD=√2a，AD=2a，PC=2a，CD=2a√2.根据正四棱锥的侧面积公式，可得四棱锥P-ABCD的侧面积为S侧面=2a√(a^2+d^2/4)=2a√(5a^2/4)=a√(10a^2)。

代入d=2a和S底面×高=57，可得a=3√3，因此S侧面=9√30.故该四棱锥的侧面积为9√30.

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 XXX从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）。下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序

零件尺寸

抽取次序

1

9.95

9

2

10.12

10

9.91

3

9.96

11

4

9.96

12

5

10.01

13

9.22

6

9.92

14

7

9.98

15

8

10.04

16

9.95

1）求(x

i

i)(i=1,2,…,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）。

首先求出零件尺寸的平均数x和样本标准差s，有x=9.97，s=0.212.然后根据样本相关系数公式，可得：

r=∑(xi-x)(yi-y)/[√(∑(xi-x)^2)√(∑(yi-y)^2)]= -0.008

r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。

2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。

ⅰ）从这一天抽检的结果看，学.科网是否需对当天的生产过程进行检查？

根据样本标准差s，可得3s=0.636，因此(x-3s,x+3s)=(9.334,10.606)。从数据中可以看出，所有的零件尺寸都在这个范围内，因此不需要对当天的生产过程进行检查。

ⅱ）在(x-3s,x+3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差。（精确到0.01）

将零件尺寸按从小到大的顺序排列，可以得到：9.22.9.91.9.92.9.95.9.95.9.96.9.96.9.98.10.01.10.04.10.12.可以发现，9.22明显是一个离群值，因此将其剔除。剩余的15个零件尺寸的平均数为x=9.97，样本标准差为s=0.19.因此，剔除离群值后，该生产线当天生产的零件尺寸的均值为9.97，标准差为0.19.

设曲线C在点M处的切线斜率为k，则由题意可得：

k = tan(θ)，其中θ为C在M处的切线与x轴正方向的夹角；

k = tan(π/2 - θ)，其中π/2 - θ为AM与x轴正方向的夹角；

由于AM⊥BM，所以k = BM/AM；

又因为C在M处的切线与直线AB平行，所以k = AB的斜率；

综上所述，k = BM/AM = tan(θ) = tan(π/2 - θ) = AB的斜率；

解得tan(θ) = -1/3，即θ = arctan(-1/3)；

又因为x = 3cos(θ)，所以x = 3cos(arctan(-1/3))；

化简得x = (9/10)；

又因为y = sin(θ)，所以y = sin(arctan(-1/3))；

化简得y = (-3/10)；

因此，C与l的交点坐标为(9/10.-3/10)。

当f(x)单调递增时，有f\'(x)。0；

根据f\'(x) = e^(2x - a) (2 - ax)，可得2 - ax。0，即a < 2/x；

当f(x)单调递减时，有f\'(x) < 0；

根据f\'(x) = e^(2x - a) (2 - ax)，可得2 - ax。2/x；

又因为f(x) ≥ 0，所以e^(2x - a) ≥ a2x；

代入x = 1，可得e^(2 - a) ≥ a2；

解得a ≤ -2或a ≥ ln(2)；

综合可得a ∈ (-∞。-2] ∪ [ln(2)。+∞)。

当a = 1时，f(x) = -x^2 + x + 4，g(x) = |x + 1| + |x - 1|；

当x ≤ -1时，f(x) < 0，g(x) = -2x；

当-1 < x ≤ 1时，f(x) ≥ 0，g(x) = 2x；

当x。1时，f(x) < 0，g(x) = 2x；

综上所述，当a = 1时，不等式f(x) ≥ g(x)的解集为(-∞。-1] ∪ [1.+∞)；

当不等式的解集包含[-1.1]时，即-1 ≤ x ≤ 1时，有-f(x) +

g(x) = 2x^2 - x - 4 ≤ 0；

解得a ∈ [-2.4/3]。

2021年全国高考文科数学试题及答案

题目1：已知四棱锥P-ABCD，其底面ABCD为矩形，AB=3，AD=8，侧棱PA=PD，PA与底面的交点E，PE=x/3，且四棱锥P-ABCD的体积为V，求x的值。

解析：由题设得x=2，因此PA=PD=2，AD=BC=2√2，PB=PC=2√2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为6+2√3.

题目19：某工厂一天生产了16个零件，样本数据如下表所示，其中xi表示第i个零件的尺寸（单位：mm），求这一天生产的零件尺寸是否随生产过程的进行而系统地变大或变小。

解析：（1）由样本数据得(xi,i)(i=1,2.16)的相关系数为r≈-0.18.由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。（2）（i）由于x=9.97，s≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查。（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为10.02，尺寸的均值的估计值为10.02.剔除第13个数据，剩下数据的样本方

差为0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.09.

题目20：已知函数y=（x+2）²/4，点A（x1，y1），点B（x2，y2），线段AB的中点为N，过点B且垂直于AB的直线交函数y=（x+2）²/4于点M，求线段MN的长度。

解析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠x2，y1=（x1+2）²/4，y2=（x2+2）²/4，x1+x2=4，（2y2-y1）/(x2-x1)=1，因此直线AB的斜率k=1.设M（x3，y3），由题设知y3=1，解得x3=2，于是M（2，1）。设直线AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点为N（2，2+m），|MN|=|m+1|。将y=x+m代入y=（x+2）²/4，得x²-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0，即m>-1时，x1,2=2±2√(m+1)。从而|AB|=2|x1-x2|=4√(m+1)，|MN|=|m+1|。

2021高考新课标全国1卷文科数学试题及答案

题设知|AB| = 2|MN|，即 4 2(m+1) = 2(m+1)，解得 m=7.所以直线 AB 的方程为 y=x+7.

1）函数 f(x) 的定义域为 ( -∞。+∞ )，f\'(x) = 2e^(2x-a)。

①若 a=0.则 f(x)=e^(2x)。在 ( -∞。+∞ ) 单调递增。

②若 a>0.则由 f\'(x)=0 得 x=lna。当 x∈( -∞。lna ) 时，f\'(x)0，所以 f(x) 在 ( -∞。lna ) 单调递减，在 ( lna。+∞ ) 单调递增。

③若 a0，故 f(x) 在 ( -∞。ln(-a) ) 单调递减，在 ( ln(-a)。+∞ ) 单调递增。

2）①若 a=0.则 f(x)=e^(2x)。所以 f(x)≥1.

②若 a>0.则由 (1) 得，当 x=lna 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(lna)=-alna。从而当且仅当 -a^2lna≥0.即 a≤1 时，f(x)≥1.

③若 a<0.则由 (1) 得，当 x=ln(-a) 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(ln(-a))=a^2[ln(-a)]。从而当且仅当 a[ln(-a)]≥0.即 a≥-2e^4 时 f(x)≥1.

综上，a 的取值范围为 [ -2e^4.1 ]。

3）曲线 C 的方程为 x^2/9 + y^2/16 = 1.

①当 a=-1 时，直线 l 的方程为 x+4y-3=0.解得 x=3 或

y=1/4.

②当 a≠-1 时，直线 l 的方程为 x+4y-a-4=0.C 上的点

(3cosθ,sinθ) 到 l 的距离为 d=|3cosθ+4sinθ-a-4|/sqrt(17)。当 a≥-4

时，d 的最大值为 (a+9)/17，所以 a=8 或 a=-16.当 a<-4 时，d

的最大值为 (-a+1)/17，所以 a=-8.

综上，a 的取值为 -16.-8.8.

解：（1）当a=1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.当x1时，该式化为x^2+x-4≤0，从而1

2）当x∈[-1,1]时，g(x)=2-(1+√17)/2=-(1-√17)/2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥-(1-√17)/2.