【压轴题】高一数学上期末试卷附答案

2023年12月4日发(作者：春季高考数学试卷天津)

【压轴题】高一数学上期末试卷附答案

一、选择题

1．已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,上是增函数，若对任意x1,，都有fxaf2x1恒成立，则实数a的取值范围是(

)

A．2,0

2．已知函数f(x)B．,8

C．2,

D．,0

1；则yf(x)的图像大致为（

）

ln(x1)xA． B． C． D．

3．已知函数f(x)lnxln(2x)，则

A．f(x)在（0，2）单调递增

C．y=f(x)的图像关于直线x=1对称

1.14．已知x1.10.1，y0.9，zlog23B．f(x)在（0，2）单调递减

D．y=f(x)的图像关于点（1，0）对称

4，则x，y，z的大小关系是(

)

3C．yzx D．xzy

A．xyz B．yxz

5．设alog43，blog86，c20.1，则（

）

A．abc B．bac C．cab D．cba 6．已知二次函数fx的二次项系数为a，且不等式fx2x的解集为1,3，若方程fx6a0，有两个相等的根，则实数a（

）

A．－1

5B．1 C．1或－1

5D．1或－1

57．把函数fxlog2x1的图象向右平移一个单位，所得图象与函数gx的图象关于直线yx对称；已知偶函数hx满足hx1hx1，当x0,1时，hxgx1；若函数ykfxhx有五个零点，则正数k的取值范围是（ ）

A．log32,1 B．log32,1

C．log62,1

2D．log62,

218．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间tkt（单位：小时）之间的函数关系为PP0e（k为常数，P0为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为（

）（参考数据：取log520.43）

A．8 B．9 C．10 D．14

9．已知函数fxlog0.5x，则函数f2xxA．,1 B．1,

2的单调减区间为( )

D．1,2

C．0,1

10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg

x的定义域和值域相同的是( )

A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝1

x11．曲线y4x21(2x2)与直线ykx2k4有两个不同的交点时实数k的范围是（

）

A．(

53,]

124B．(5,)

12C．(,)1334D．(,53)(,)

124 C． D．12．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（

）

A． B．

二、填空题

13．若关于x的方程4x2xa有两个根，则a的取值范围是_________

14．已知fx为奇函数，且在0,上是减函数，若不等式fax1fx2在x1,2上都成立，则实数a的取值范围是___________. 15．函数fxlog45x2x1的定义域为________.

16．已知函数fx12ax3ax12x1x1的值域为R，则实数a的取值范围是_____.

17．若集合A{x||x1|2}，Bx|x20，则AIB______.

x418．若点(4,2)在幂函数f(x)的图像上，则函数f(x)的反函数f1(x)=________.

3x2,x119．已知函数fx2，若ff02a，则实数xax1,x1a________________.

xfx320．已知函数fx为R上的增函数，且对任意xR都有f4，则f4______.

三、解答题

21．已知函数fxxm1(x0).

x)，不等式flog2x0恒成立，求m的取值范围.

（1）若对任意x(1，（2）讨论fx零点的个数.

a2x222．已知函数f(x)是奇函数.

2x1(1)求a的值;

(2)求解不等式f(x)4;

(3)当x(1,3]时，ftxf(x1)0恒成立，求实数t的取值范围.

22x1123．已知定义域为R的函数f(x)x是奇函数.

2a2（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）判断函数f(x)的单调性，并用定义加以证明.

24．为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入f(x)、种黄瓜的年收入g(x)与大棚投入x分别满足f(x)842x，g(x)1x12.设甲大棚的投入为a，每年两个大棚的总收入为4F(a).（投入与收入的单位均为万元）

（Ⅰ）求F(8)的值.

（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人F(a)最大？并求最大年总收入. 25．设函数fxlog2abxx，且f11,f2log12.

2（1）求a，b的值；

（2）求函数fx的零点；

（3）设gxab，求gx在0,4上的值域.

xx26．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0x100）的0x3030，成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为fx（单位：18002x90，30x100x分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族S的人均通勤时间gx的表达式；讨论gx的单调性，并说明其实际意义．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据偶函数的性质，可知函数在,0上是减函数，根据不等式在x1,上恒成立，可得：xa2x1在1,上恒成立，可得a的范围.

【详解】

Qfx为偶函数且在0,上是增函数

fx在,0上是减函数

对任意x1,都有fxaf2x1恒成立等价于xa2x1

2x1xa2x1

3x1ax1

3x1maxax1min

当x1时，取得两个最值

31a11

2a0

本题正确选项：A 【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.

2．B

解析：B

【解析】

试题分析：设g(x)ln(1x)x，则g(x)x，∴g(x)在1,0上为增函数,在1x0,上为减函数，∴g(x)g00，f(x)f(x)0排除选项A，C，又f(x)10，得x0或1x0均有g(x)1x10中,，得x1且ln(x1)xln(x1)x0x0，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.

考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.

3．C

解析：C

【解析】

由题意知，f(2x)ln(2x)lnxf(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，故C正确，D错误；又f(x)ln[x(2x)]（0x2），由复合函数的单调性可知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A，B错误，故选C．

【名师点睛】如果函数f(x)，xD，满足xD，恒有f(ax)f(bx)，那么函数的图象有对称轴xab；如果函数f(x)，xD，满足xD，恒有2f(ax)f(bx)，那么函数f(x)的图象有对称中心(ab,0)．

24．A

解析：A

【解析】

【分析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接比较.

【详解】

解：Qx1.11.11，0y0.90.91，zlog20.101.1034log210，x，33y，z的大小关系为xyz．

故选A．

【点睛】

本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．D

解析：D

【解析】

【分析】

由对数的运算化简可得alog23，blog236，结合对数函数的性质，求得ab1，又由指数函数的性质，求得c20.11，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，对数的运算公式，可得alog43log231log23log23，

log242blog86又由33log261log26log236，

log28362，所以log23log236log221，即ab1，

由指数函数的性质，可得c20.1201，

所以cba.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得a,b,c的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6．A

解析：A

【解析】

【分析】

设fxaxbxc，可知1、3为方程fx2x0的两根，且a0，利用韦达定2理可将b、c用a表示，再由方程fx6a0有两个相等的根，由0求出实数a的值.

【详解】

由于不等式fx2x的解集为1,3，

即关于x的二次不等式axb2xc0的解集为1,3，则a0.

2由题意可知，1、3为关于x的二次方程axb2xc0的两根，

2由韦达定理得b2c134，133，b4a2，c3a，

aafxax24a2x3a，

由题意知，关于x的二次方程fx6a0有两相等的根，

即关于x的二次方程ax4a2x9a0有两相等的根，

2则4a236a210a222a0，Qa0，解得a【点睛】

21，故选：A.

5本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

7．C

解析：C

【解析】

分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.

详解：曲线fxlog2x1右移一个单位，得yfx1log2x，

所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.

当x∈[0,1]时，hx21，

xy=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.

绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：

klog2411.

log2k，求解不等式组可得：6klog6122即k的取值范围是log62,本题选择C选项.

1．

2

点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．C

解析：C

【解析】

【分析】 1ln51kt，可得出k，然后解不等式e，解出t的取值范54200围，即可得出正整数n的最小值.

【详解】

根据已知条件得出e4kkt由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为PP0e，所以4k，所以0.2e4k，即4kln0.2ln5，所以k180%P0Pe0ln5，

4kt则由0.5%P0P0e，得ln0.005ln5t，

44ln2004log52004log55223812log5213.16，

ln5故正整数n的最小值为14410.

所以t故选：C.

【点睛】

本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

9．C

解析：C

【解析】

函数fxlog0.5x为减函数，且x0,

令t2xx2，有t0，解得0x2.

又t2xx2为开口向下的抛物线，对称轴为x1，所以t2xx2在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，

根据复合函数“同增异减”的原则函数f2xx故选C.

2的单调减区间为0,1.

yfx的复合函数， ygx为内层函点睛：形如yfgx的函数为ygx,

yfx为外层函数.

数,

当内层函数ygx单增，外层函数yfx单减时，函数yfgx也单减；

当内层函数ygx单减，外层函数yfx单增时，函数yfgx也单减；

当内层函数ygx单减，外层函数yfx单减时，函数yfgx也单增.

当内层函数ygx单增，外层函数yfx单增时，函数yfgx也单增；

简称为“同增异减”.

10．D

解析：D

【解析】 试题分析:因函数y10lgx的定义域和值域分别为考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．

,故应选D．

11．A

解析：A

【解析】

试题分析：y4x21(2x2)对应的图形为以0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线ykx2k4过定点()5，过点2,1时2,4，直线与半圆相切时斜率k12533斜率k，结合图形可知实数k的范围是(,]

4124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法

12．A

解析：A

【解析】

由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A.

考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.

二、填空题

13．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般

1解析：(,0)

4【解析】

【分析】

令t2x0,4x2xa,可化为t2ta0,进而求t2ta0有两个正根即可.

【详解】

令t2x0,则方程化为:t2ta0

Q方程4x2xa有两个根,即t2ta0有两个正根,

14a01x1x210,解得:a0.

4xxa012故答案为:

(,0).

【点睛】

本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.

1414．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题

解析：a0

【解析】

【分析】

根据fx为奇函数，且在0,上是减函数，可知ax1x2，即a11，令x11，根据函数y1在x1,2上单调递增，求解a的取值范围，即可.

xx【详解】

y1Qfx为奇函数，且在0,上是减函数

fx在R上是减函数.

∴ax1x2，即a1令y11.

x11，则y1在x1,2上单调递增.

xx若使得不等式fax1fx2在x1,2上都成立.

则需a11110.

xmin1故答案为：a0

【点睛】

本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.

15．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次

解析：0,5

【解析】

【分析】

根据题意，列出不等式组【详解】

要使函数fxlog45x2x1有意义，

5x0，解出即可.

x2105x0需满足x，解得0≤x5，即函数的定义域为0,5，

210故答案为0,5.

【点睛】

本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数ytanx，需满足x集.

2k,kZ等等，当同时出现时，取其交16．【解析】【分析】根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得

1解析：0,

2【解析】

【分析】

根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a的取值范围.

【详解】

当x1时,fx2x1,此时值域为1,

若值域为R,则当x1时.fx12ax3a为单调递增函数,且最大值需大于等于1

12a01,解得0a

即212a3a1故答案为:0,

【点睛】

本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.

1217．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式

解析：1,2

【解析】

【分析】

先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合A,B，然后根据交集概念求解AIB的结果.

【详解】

因为x12，所以-1

x4x4则AIB1,2.

故答案为：1,2.

【点睛】

解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.

18．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式

解析：x2(x0)

【解析】

【分析】

根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解．

【详解】

因为点(4,2)在幂函数fxx(R)的图象上，所以24，解得1，

2所以幂函数的解析式为yx，

则xy，所以原函数的反函数为f故答案为：f【点睛】

本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

12112(x)x2(x0)．

(x)x2(x0)

19．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题

解析：2

【解析】

【分析】

利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a的值.

【详解】

由题意得：f0323，f333a1103a，

02所以由ff0103a2a，

解得a2.

故答案为：2.

【点睛】 本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.

20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知

解析：82

【解析】

【分析】

采用换元法结合函数的单调性计算出fx的解析式，从而即可求解出f4的值.

【详解】

令fx3t，所以fx3t，

xx又因为ft4，所以3tt4，

又因为y3t4是R上的增函数且3114，所以t1，

所以fx31，所以f43182.

x4t故答案为：82.

【点睛】

本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知fgx的解析式，可考虑用换元的方法（令gxt）求解出fx的解析式.

三、解答题

21．（1）m1111；（2）当m或m时，有1个零点；当m或m0或4444111m时，有2个零点；当0m或m0时，有 3个零点

444【解析】

【分析】

（1）利用不等式恒成立，进行转化求解即可，

（2）利用函数与方程的关系进行转化，利用参数分离法结合数形结合进行讨论即可．

【详解】

解：（1）由flog2x0得，log2x当x(1,)时，log2x0

变形为log2xlog2xm0，即mlog2xlog2x

22m10

log2x11而log2xlog2xlog2x

2422当log2x所以m12即x2时，log2xlog2x2max1

41

4（2）由fx0可得xxxm0(x0)，变为mxxx(x0)

211x,x0x2x,x024gxxxx令

22xx,x011x,x024作ygx的图像及直线ym，由图像可得:

11或m时，fx有1个零点.

4411当m或m0或m时，fx有2个零点:

44当m当0m11或m0时，fx有 3个零点.

44

【点睛】

本题考查不等式恒成立以及函数的单调性的应用，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．

22．(1)a2;(2)x0xlog23【解析】

【分析】

(1)由奇函数的性质得出a的值；

x32(2)结合f(x)的解析式可将f(x)4化为x0，解不等式即可得出答案；

212(3)利用函数f(x)在x(1,3]上的单调性以及奇偶性将ftxf(x1)0化为;(3)t,1

4tx21x，分离参数t结合二次函数的性质得出实数t的取值范围.

【详解】 a2x2a22xa2x2(1)根据题意，函数f(x)

f(x)xxx211212∴a2.

22x22x132x2x1(2)f(x)4，即x2，即x2x0

x21212121xx32210即，解得：12x3，得0xlog23.

x21022x222x244(3)f(x)

2xxx212121故f(x)在x(1,3]上为减函数

f(tx2)f(x1)0，即f(tx2)f(x1)f(1x)

11111即tx1x，t2

xxx2422又x(1,3]，111,1，故t

x341.

4综上t,【点睛】

本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题.

23．（Ⅰ）【解析】

【分析】

（1）函数的定义域为R，利用奇函数的必要条件，f(0)0，求出a，再用奇函数的定义证明；

（2）判断f(x)在R上单调递增，用单调性的定义证明，任取x1x2，求出函数值，用作差法，证明fx1fx2即可.

【详解】

1

（Ⅱ）在R上单调递增，证明见解析

2x1解：（Ⅰ）∵函数f(x)x是奇函数，定义域为R，

2a2∴f(0)0，即110，

1a22x12x1解之得1，此时f(x)x

2122(2x1)2x112xf(x)f(x)，

xx221212f(x)为奇函数，a=1； 2x12x1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)x，

21222x1设x1,x2R，且x1x2，

12x12x21fx1fx2x1x2

221212x12x2x2112x21

∵x1x2，∴2x12x2，

∴fx1fx20，即fx1fx2

故f(x)在R上单调递增.

【点睛】

本题考查函数奇偶性的应用，注意奇偶性必要条件的运用，减少计算量但要加以证明，考查函数单调性的证明，属于中档题.

24．（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元.

【解析】

【分析】

（I）根据题意求得Fa的表达式，由此求得F8的值.

（II）求得Fa的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得Fa的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入.

【详解】

（Ⅰ）由题意知F(a)842a所以F(8)11(20a)12a42a25，

44184282539（万元）.

4（Ⅱ）依题意得故F(a)令t2,a…2剟a18.

220a…1a42a25(2剟a18).

41212a，则t[2,32]，G(t)t42t25(t82)57，

44显然在[2,32]上G(t)单调递增，

所以当t32，即a18时，F(a)取得最大值，F(a)max44.5.

所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元.

【点睛】 本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查含有根式的函数的最值的求法，属于中档题.

25．（1）a4,b2（2）xlog2【解析】

【分析】

（1）由f11,f2log212解出即可

（2）令fx=0得4x2x1，即2xxx15（3）gx0,240

2()22x10，然后解出即可

（3）gx42，令2xt，转化为二次函数

【详解】

f1log2ab1ab2（1）由已知得，即，

2222ab12f2logablog1222解得a4,b2；

（2）由（1）知fxlog242xx，令f(x)=0得4x2x1，

即2x22x10，解得2x15，

2又2x0,2x1515，解得xlog2；

22xx（3）由（1）知gx42，令2xt，

11则gtttt，t1,16，

2422因为gt在t1,16上单调递增

()所以gx0,240，

100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见26．(1)

x45，解析.

【解析】

【分析】

（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；

（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．

【详解】

（1）由题意知，当30x100时，

fx2x18009040，

x即x265x9000， 解得x20或x45，

100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

∴x45，（2）当0x30时，

gx30x%401x%40当30x100时，

x；

10180x213gx2x90x%401x%x58；

x5010x4010∴gx2；

x13x585010当0x32.5时，gx单调递减；

当32.5x100时，gx单调递增；

说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；

有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；

当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．

【点睛】

本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．