2024年4月6日发(作者：数学试卷下册期中综合能力测评)
专题
04
对角互补模型（从全等到相似）
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知
识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注
重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模
型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.对角互补模型（全等模型）
【模型解读】
四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。常见含90°、120°（60°）及任意角
度的三种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个
三角形全等.
【常见模型及结论】
1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.
则可得到如下几个结论：∠CD＝CE，∠OD＋OE＝OC，∠
SS
3
OC
2
.
4
CODCOE
2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.
则可以得到如下几个结论：∠CD＝CE，∠OD＋OE＝
1
OC，∠
SSSOC
2
.
ODCEOCDCOE
2
3）全等型—
2
和
180
2
如图3，已知∠AOB＝
2
，∠DCE＝
180
2
，OC平
：
分∠AOB.
则可以得到以下结论：∠CD＝CE，∠OD＋OE＝2OC·cos，∠
S
OCD
S
COE
OC
2
sin
cos
.
1
．（
2021·
贵州黔东南
·
中考真题）在四边形
ABCD
中，对角线
AC
平分
∠BAD
．
，
∠ABC
＝
∠ADC
＝
90
．求证：
AD
＋
AB
＝
AC
；
（探究发现）（
1
）如图
①
，若
∠BAD
＝
120
．
①
猜想
AB
、
AD
、
AC
三
，
∠ABC
＋
∠ADC
＝
180
（拓展迁移）（
2
）如图
②
，若
∠BAD
＝
120
条线段的数量关系，并说明理由；
②
若
AC
＝
10
，求四边形
ABCD
的面积．
【答案】（
1
）见解析；（
2
）
①AD
＋
AB
＝
AC
，见解析；
②
253
【分析】（
1
）根据角平分线的性质得到
∠DAC
＝
∠BAC
＝
60
o
，然后根据直角三角形中
30
o
是
斜边的一半即可写出数量关系；（
2
）
①
根据第一问中的思路，过点
C
分别作
CE∠AD
于
E
，
CF∠AB
于
F
，构造
AAS
证明
∠CFB
∠CED
，根据全等的性质得到
FB
＝
DE
，结合第一问结论
即可写出数量关系；
②
根据题意应用
60
o
的正弦值求得
CE
的长，然后根据
111
S
＝
ADCE
＋
ABCF
＝
AD
＋
AB
CE
的数量关系即可求解四边形
四边形
ABCD
222
ABCD
的面积．
【详解】（
1
）证明：
∠AC
平分
∠BAD
，
∠BAD
＝
120
o
，
∠∠DAC
＝
∠BAC
＝
60
o
，
∠∠ADC
＝
∠ABC
＝
90
o
，
，
11
∠∠ACD
＝
∠ACB
＝
30
o
，
∠AD
＝
AC，AB＝AC
．
∠AD
＋
AB
＝
AC
，
22
（
2
）
①AD
＋
AB
＝
AC
，理由：过点
C
分别作
CE∠AD
于
E
，
CF∠AB
于
F
．
∠AC
平分
∠BAD
，
∠CF
＝
CE
，
∠∠ABC
＋
∠ADC
＝
180
o
，
∠EDC
＋
∠ADC
＝
180
o
，
∠∠FBC
＝
∠EDC
，
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