2024年3月9日发(作者：初一数学试卷反思50)

第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

问题中的变化率可用式子

f(x

2

)f(x

1

)

表示,称为函数f从x

1

到x

2

的平均变化率

x

2

x

1

若设

xx

2

x

1

,

ff(x

2

)f(x

1

)

<这里

x

看作是对于x

1

的一个\"增量\"可用x

1

+

x

代替x

2

,同样

fyf(x

2

)f(x

1

)

>则平均变化率为

f(x

2

)f(x

1

)f(x

1

x)f(x

1

)

yf



x

2

x

1

x

xx

在前面我们解决的问题：

1、求函数

f(x)x

在点〔2,4处的切线斜率。

2

yf(2x)f(x)

4x

,故斜率为4

xx

2

2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是

Vt1

,求

tt

o

时的瞬时速度。

V

v(t

o

t)v(t

o

)

2t

o

t

,故斜率为4

tt

二、知识点讲解

上述两个函数

f(x)

和

V(t)

中,当

x

<

t

>无限趋近于0时,

一个常数。

归纳：一般的,定义在区间〔

a

,

b

上的函数

f(x)

,

x

o

(a，b)

,当

x

无限趋近于0

VV

<>都无限趋近于

tx

时,

y

f(x

o

x)f(x

o

)

无限趋近于一个固定的常数A,则称

f(x)

在

xx

o

处可导,并

xx

称A为

f(x)

在

xx

o

处的导数,记作

f\'(x

o

)

或

f\'(x)|

xx

o

,

函数y=f在x=x

0

处的瞬时变化率是:

\'

\'

我们称它为函数

yf(x)

在

xx

0

出的导数,记作

f(x

0

)

或

y|

xx

0

,即

说明：〔1导数即为函数y=f在x=x

0

处的瞬时变化率

〔2

xxx

0

,当

x0

时,

xx

0

,所以

f

(x

0

)lim

x0

f(x)f(x

0

)

xx

0

当点

P

n

沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线

PP

n

趋近于确定的位置,这个确定位置

的直线PT称为曲线在点P处的切线.

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函数y=f在x=x

0

处的导数等于在该点

(x

0

,f(x

0

))

处的切线的斜率,

即

f

(x

0

)lim

x0

f(x

0

x)f(x

0

)

k

x

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标;

②求出函数在点

x

0

处的变化率

f

(x

0

)lim

x0

f(x

0

x)f(x

0

)

k

,得到曲线在点

x

(x

0

,f(x

0

))

的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

由函数f在x=x

0

处求导数的过程可以看到,当时,

f

(x

0

)

是一个确定的数,那么,当x

变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f的导函数.记作：

f

(x)

或

y

,

即:

f

(x)y

lim

x0

f(xx)f(x)

。

x

函数

f(x)

在点

x

0

处的导数

f

(x

0

)

、导函数

f

(x)

、导数之间的区别与联系。

1函数在一点处的导数

f

(x

0

)

,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它

是一个常数,不是变数。

2函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f的导函数

\'

3函数

f(x)

在点

x

0

处的导数

f(x

0

)

就是导函数

f

(x)

在

xx

0

处的函数值,这也是 求函数

在点

x

0

处的导数的方法之一。

1．函数

yf(x)c

的导数

根据导数定义,因为

yf(xx)f(x)cc

0

xxx

y

所以

y

limlim00

x0

x

x0

函数 导数

yc

y

0

y

0

表示函数

yc

图像〔图3.2-1上每一点处的切线的斜率都为0．若

yc

表示路程关

于时间的函数,则

y

0

可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态．

2．函数

yf(x)x

的导数

因为

yf(xx)f(x)xxx

1

xxx

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