高阶时滞微分方程的Ulam稳定性

第4曲阜师范大学学报7卷

第4期Vol.47 No.4

2021年10月Journal of Qufu Normal UniversitOct.2021y

:/.1001-5337.2021.4.001j高阶时滞微分方程的Ulam稳定性*王淑一,

孟凡伟(曲阜师范大学数学科学学院,山东省曲阜市)273165,文章利用自共轭微分算子研究高阶时滞微分方程的U首先给出了方程解的存在唯一

摘要:lam稳定性.性结果,在此基础上利用不等式结果得到了方程的Ulam稳定性.关键词:自共轭微分算子;Ulam稳定性;Gronwall-Bellman不等式()中图分类号:O175.13

文献标识码:A

文章编号:104-0001-070

引

言[]2019年,Zada1证明了下列高阶时滞微分方程的Ulam稳定性()()()(){,{,…,{),,un(s)s,u0}u1}un-1}s∈[ss=g(0,0+η],u(s)s)s∈[ss.=χ(0-0]ζ,[]3 1990年,Meng证明了下列高阶方程解的渐近性,Lnu+g(s,u)r(s)={()11d1dd1d·…其中Ln是自共轭微分算子:且n≥=()wnsdswn-1(s)dsdsw1(s)dsw0(s)受以上启发,我们利用自共轭微分算子研究高阶时滞微分方程的Ulam稳定性.考虑自共轭微分算子形式下的高阶微分方程1d1dd1d…,其中自共轭微分算子Ln=n≥2;wj(s)>0是连续函数,00,η]ζ,[,[),C(ssssλ(s)≤s,s∈[ss.0,0+0-0+0,0+η]ζ,η]η]…,]当wj(此时即是文献[中的方程.s)=1,n时,1j=1,)的U]本文的主要目的是利用自共轭微分算子得到高阶时滞微分方程(推广了文献[中2lam稳定性,1的结果.{…,,…,),,Lnu(s)s,L0u,Ln-1u,L0u(λ)Ln-1u(λ)s∈[ss=g(0,0+η],,u(s)s)s∈[ss=χ(0-0]ζ,()21

预备知识及引理,,,令J1=[ssJ2=[ssJ3=[ssC(J1,ℝ)表示从J1到ℝ的连续函数全体构0-0+0,0+0-0]ζ,η]η]ζ,成的巴拿赫空间,且其范数为‖u‖=su|u(s)|.ps∈J1 *收稿日期:2020-12-29),)基金项目:国家自然科学基金(山东省自然科学基金(G11671227ZR2019MA034.,:第一作者:王淑一,女,硕士;研究方向:常微分方程;1997-E-mail1183068808@.q:E-mailfwmen@.g,通信作者:孟凡伟,男,博士,教授,博士生导师;研究方向:常微分方程稳定性理论、定性理论、差分方程定性理论;1963-Copyright©博看网. All Rights Reserved.

曲阜师范大学学报(自然科学版)

2 2021年])的形式解.根据文献[中的结果,我们给出方程(32定义1.1

若u(s)是下列方程的解则u(s)满足…,,…,),Lnu(s)s,L0u,Ln-1u,L0u(λ)Ln-1u(λ)s∈J2,ì=g(ïï,u(s)s)s∈J3,í=χ(ïï,…,χ(Lju(ssn-1,î=Lj0)0)j=1,ì…,Is,sw1,wj)+0;ï∑Cjj(ïj=0ïsu(s)=íI(,;,…,…,,…,)wn-1)wn(τ)τ,L0u,Ln-1u,L0u(λ)Ln-1u(λ)dτ,s∈J2,g(ïs0n-1sτw1ïï,χ(s)s∈J3,îI1,0=s其中(,;,…,)…,IwJ1=wJk(r)Ir,τ;wJk-1,wJ1)dr,ksτwJk1(-kn-1∫…,},…,…,Jk∈{1,2,n-1s,τ≥0且Is,τ;wJk,wJ1)r)Is,r;wJk,wJ2)dr.=wJ1(k(k1(-…,,…,)v(s)s,L0v,Ln-1v,L0v(λ)Ln-1v(λ)s∈J2,|Ln-g(|≤θ,v(s)s)s∈J3,|-χ(|≤θ,)的解u(其中θ>0,且存在(2s)和常数K>0使得|u(s)s)θ,s∈J1,则方程(2)具有-v(|≤K·Hers-Ulam稳定性.y定义1.3

若v(s)是下列微分不等式的解)的解u(,其中σ(且存在(则方程s)≥0,2s)和常数Kg,0使得|u(s)s)σ(s)∀s∈J1,-v(|≤Kg,σ>σ·()具有H2ers-Ulam-Rassias稳定性.y定义1.2

若v(s)是下列微分不等式的解τ{∫τ{∫s{…,,…,),v(s)s,L0v,Ln-1v,L0v(λ)Ln-1v(λ)s)s∈J2,|Ln-g(|≤σ(,v(s)s)s)s∈J3,|-χ(|≤σ([]nn引理1.算子ψ:若∃使得ψ在Y上是严格压缩算子,则ψ和41

设(Y,d)是度量空间,Y→Y.n∈ℕ,ψ在Y上具有相同的不动点.(,[,[),引理1.若u(5Gronwall引理)

令u(s)b(s)∈C(a,+∞]0,+∞)T≥0是常数.s)满足上是不减函数,且w(l(s)在[0,+∞)s)满足hbτdτa∫,u(s)≤Tes∈[a,.+∞]*,引理1.其中FΓ={则y∈6

设(Y,d,≤)是有序度量空间,Γ:Y→Y是不减Picard算子,Y,yΓ}y≤**Γ(⇒⇒y)y≤yΓ;y≥Γ(y)y≥yΓ.[],,,,引理1.若d(72

假设w(s)d(s)l(s)m(s)n(s)是[0,+∞)到[0,+∞)上的连续函数.s)和,u(s)≤T+b(τ)u(τ)dτ,s∈[a,+∞]as则∫s())],w(s)≤d(s)s)[m(τ)wa(τ)τ)wb(σ(τ)dτ,s∈[0,+l(+n(+∞)0以及初始条件∫ss∈0+∞h,)≤d(,r(σ(s)s)s∈[0,+∞)其中h≠0,h≥a≥0,h≥b≥0,h,a,b是常数,σ(s)是[0,+∞)上的连续函数,σ(s)≤s,-∞<β={}:[]则inf)σ(s)≤0且r(s)0→[0,+∞)是连续函数,β,[,1,],w(s)r(s)s∈[0=β,w(s)≤d(s)s)U(s)ex+l(p(τ)dτ))(V(∫ght©博看网. All Rights Reserved.

第4期等:高阶时滞微分方程的U

王淑一,3lam稳定性

其中U(s)=bbæaaö÷l(,V(s)s)s)s)H>0是任意常数.=çHhm(+Hhn(èhøh∫saabb--h-ahahhh-bhbhhéæöæöç÷+n(ç÷ê()())(mτHHdττHHdτ)++ê0ëèhøèhøhhùúdτ,úû2

主要结果(:S1)n-1在陈述主要定理之前,我们给出下列假设.(0)()