2024年4月5日发(作者：近五年江苏中考数学试卷)

数学十字相乘法因式分解

一、

x

2

(pq)xpq

型的因式分解

特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数

的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到：

x

2

(pq)xpq

x

2

pxqxpq(x

2

px)(qxpq)

x(xp)q(xp)(xp)(xq)

因此：

x

2

(pq)xpq(xp)(xq)

利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。

[例1]（1）

x

2

3x2

（2）

x

2

7x6

[例2] （1）

x

2

x2

（2）

x

2

2x15

二、一般二次三项式

ax

2

bxc

的分解因式

大家知道，

(a

1

xc

1

)(a

2

xc

2

)a

1

a

2

x

2

(a

1

c

2

a

2

c

1

)xc

1

c

2

。

反过来，就可得到：

a

1

a

2

x

2

(a

1

c

2

a

2

c

1

)xc

1

c

2

(a

1

xc

1

)(a

2

xc

2

)

我们发现，二次项系数

a

分解成

a

1

a

2

，常数项

c

分解成

c

1

c

2

，把

a

1

,a

2

,c

1

,c

2

写成

a

1

a

2

1

，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到

ac

c

c

2

12

a

2

c

1

，那么

ax

2

bxc

就可以分

解成

(a

1

xc

1

)(a

2

xc

2

)

.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相

乘法。

[例3] 把下列各式因式分解。

（1）

2x

2

7x3

（2）

6x

2

7x5

（3）

5x

2

6xy8y

2

[例4] 将

(xy)

2

3(xy)40

分解因式

[例5] 把

x

2

y

2

5x

2

y6x

2

分解因式

[例6] 将

81x

5

y

5

16xy

分解因式

注意：多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提

出公因式。（2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式

法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。（3）要分解到每个多项式不能再分

解为止。

【模拟试题】

一. 填空题：

1.

x

2

3x28

2.

x

2

2xy35y

2

3.

20x

2

43xy14y

2

(4x7y)

（ ） 4.

18x

2

19x5

（ ）（ ）

5.

35m

2

n

2

11mn6

－（ ）（ ） 6.

611a35a

2

（ ）（ ）

7.

kx

2

5x6

（

3x2

）（ ）

k

8.

m43xy14y

2

(4x7y)(5x2y)

，则

m

9.

20x

2

43xym(4x7y)(5xn)

，则

m

，

n

10. 分解因式

(x

2

3x)

4

8(x

2

3x)

2

16

。

二. 选择题：

1.

x

2

10x16

分解因式为（ ）

A.

(x2)(x8)

B.

(x2)(x8)

C.

(x2)(x8)

D.

(x2)(x8)

2.

x

2

13xy30y

2

分解为（ ）

A.

(x3y)(x10y)

B.

(x15y)(x2y)

C.

(x10y)(x3y)

D.

(x15y)(x2y)

3. 把

6x

2

29x35

分解因式为（ ）

A.

(2x7)(3x5)

B.

(3x7)(2x5)

C.

(3x7)(2x5)

4. 把

x

2

m

2

4mn4n

2

分解因式为（ ）

A.

(xm2n)(xm2n)

C.

(xm2n)(xm2n)

B.

(xm2n)(xm2n)

D.

(xm2n)(xm2n)

D.

(2x7)(3x5)

5. 在下列二次三项式中，不是

x

2

(pq)xpq

型式子的是（ ）

A.

x

2

12x20

三. 解答题：

1. 将下列各式因式分解。

（1）

x

2

5x6

（2）

x

2

x30

（3）

x

2

30x144

（4）

2526aa

2

（5）

x

2

3xy2y

2

（6）

x

2

11x18

2. 将下列各式因式分解。

（1）

m

4

18m

2

17

（2）

3x

4

7x

2

y

2

20y

4

（3）

3b

2

14b5

（4）

2x

2

x3

（5）

2x

2

5x7

（6）

3a

2

2a1

3. 因式分解。

（1）

(x

2

7x)

2

10(x

2

7x)24

（2）

x

4

2x

2

(y

2

z

2

)(y

2

z

2

)

2

4. 已知

15x

2

47xy28y

2

0

，求

5. 已知

a

2

ab6b

2

0

（

a0

，

b0

），求

6. 已知

a

2

9b

2

2a6b20

，求

2a3b

的值。

B.

x

2

9x100

C.

x

2

13x14

D.

x

2

9x52

x

的值。

y

ba

的值。

ab


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