华罗庚学校数学教材11鸡兔同笼问题

2024年4月3日发(作者：河南高二会考数学试卷历年)

华罗庚学校数学教材11鸡兔同笼问题

第十一讲 鸡兔同笼问题

例1 （古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只

脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2

（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？

显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是

28，兔的只数是46-28=18。

解：①鸡有多少只？

（4×6-128）÷（4-2）

=（184-128）÷2

=56÷2

=28（只）

②免有多少只？

46-28=18（只）

答：鸡有28只，免有18只。

我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔

的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的

脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，

就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔

同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡

的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

当然，也可以先假设全是鸡。

例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而

是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？

假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，

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鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数

比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只

兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差

数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）

=80（只）。

解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

100-20=80（只）。

答：鸡与兔分别有80只和20只。

例3红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少

7人，三个班各有多少人？

分析1 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多

少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分

析求解。

结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，

则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，

请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是

多少？

解法1：

一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3

=44（人）

二班：44+5=49（人）

三班：49-7=42（人）

答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。

分析2 假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要

多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？

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