人教版初中数学知识点总结归纳大全

2023年12月29日发(作者：往年会考的数学试卷有哪些)

人教版初中数学知识点总结归纳大全

初中数学知识宝典

知识归纳

第1章 数与式

第1节 实数

知识点内容

按正负分实数的分类，可以分为正实数（正有理数和正无理数）和负实数（负有理数和负无理数）。

数轴是表示实数的图形工具，它由三个要素组成：原点、正方向和单位长度。在数轴上，右边的数总比左边的数大。

相反数是指只有符号不同的两个数，它们互为相反数。在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。

绝对值是一个数在数轴上对应的点到原点的距离。对于实数a，它的绝对值等于a本身（a≥0），或者等于-a（a＜0）。

如果a≠0，则a与它的倒数互为倒数。没有倒数的数是0.如果a、b互为倒数，则它们的积等于1.

实数的大小比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。比较无理数的方法有估算法、平方法和作差法等。

实数的加法按同异号分为两种情况。同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

实数的减法等价于加上这个数的相反数。

实数的乘法按同异号和0的情况分为三种情况。同号两数相乘得正，异号两数相乘得负；任何数与0相乘，积为0.除以一个数（不等于0），等于乘这个数的倒数。

实数的幂运算有同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则。同底数幂的乘法法则是，底数相同的幂相乘，等于底数不变、指数相加的幂。幂的乘方法则是，同一个数的幂的乘方等于底数不变、指数相乘的幂。

代数式是由数和字母及其组合通过运算符号构成的式子。整式是只包含有限个项的代数式。单项式是只有一个项的整式，多项式是有两个或两个以上的项的整式。同类项是具有相同字母部分和相同指数部分的项。

整式的运算法则包括合并同类项法则和去括号法则。合并同类项法则是将同类项合并成一个项，系数相加。去括号法则是将括号中的项乘以括号外的系数，并合并同类项。

在计算代数式的值时，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。如果遇到括号，则先进行括号里的运算。同级运算，应从左到右进行运算。

代数式是由数、字母和运算符号组成的数学表达式，包括单项式和多项式。单项式是由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式，也可以是单独的一个数或一个字母。多项式是由几个单项式相加组成的代数式。在多项式中，相同字母的指数相同的项被称为同类项，可以将它们的系数相加，字母和字母的指数不变。

在运算中，同底数幂的除法可以通过将指数相减来实现。零指数幂等于1.实数的乘法和除法遵循相应的运算规律。实数的乘方可以使用同底数幂的乘法规律来计算。在混合运算中，先进行括号内的运算，再按照乘方、乘除法和加减法的顺序进行。

整式是由整数、字母和乘方运算符号组成的代数式。整式的加减法和乘法遵循相应的运算规律。单项式与单项式相乘，可以将它们的系数相乘，字母和字母的指数相加。单项式与多

项式相乘，可以将单项式中的每一项分别与多项式相乘，再将结果相加。多项式与多项式相乘，可以使用乘法公式进行计算。

因式分解是将一个多项式分解为几个整式的积的形式。因式分解有多种方法，包括提公因式法和公式法等。在因式分解中，要将分解进行到最后，结果不能再分解为止。因式分解与整式的乘法互为逆变形。

分式是形如A/B的式子，其中A和B都是整式且B中含有字母且不为0.分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。分式有意义的条件是B不等于0.在运算中，可以使用通分法将分式化为相同分母的形式，然后进行加减乘除运算。

分式的基本性质

分式的基本性质有两个，分别是变号法则和乘除法的性质。对于变号法则，我们可以用以下公式来表示：

frac{a}{b} times frac{c}{d} = frac{ac}{bd}$

frac{a}{b} div frac{c}{d} = frac{a}{b} times

frac{d}{c}$

其中，$b$、$d$ 不等于 $0$。这两个公式可以帮助我们在分式的乘除运算中进行简化。

对于分式的加减运算，我们要进行分和通分。分式的约分和通分的关键是确定最大公因数和最简公分母。当分式的分母不同时，我们需要进行通分，将它们化为相同的分母；当分式的分子、分母有公因数时，我们可以进行约分，将分式化为最简形式。

二次根式

二次根式是形如 $sqrt{a}$ 的式子，其中 $a$ 是非负数。二次根式的值也是非负数，即 $sqrt{a} geq 0$。最简二次根式是指被开方数中不含开得尽方的因数或因式的二次根式。例如，$sqrt{8}$ 的最简形式为 $2sqrt{2}$。

在二次根式的运算中，我们需要注意运算顺序和有理数的运算顺序相同。对于加减法，我们需要先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；对于乘除法，我们可以直接进行计算。在混合运算中，我们需要先进行括号内的运算，再按照运算顺序进行计算。

一元一次方程和二元一次方程组

解一元一次方程的一般步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 $1$。对于二元一次方程组，我们可以使用消元法或代入法进行求解。消元法是通过将一个方程中的某个未知数消去，得到另一个只含有一个未知数的方程，然后再通过代入法求解。代入法是将一个方程中的某个未知数用另一个未知数表示出来，然后代入另一个方程中求解。

一般步骤：

1)化为同分母，将分式方程化为整式方程；

2)解所得的整式方程；

3)验根；

4)得出结论。

解实际问题的一般步骤：

1)审题；

2)设未知数；

3)列分式方程；

4)解分式方程；

5)检验解的正确性和实际意义；

6)作答。

解一元二次方程的一般步骤：

1)审题；

2)设未知数；

3)列一元二次方程；

4)解方程；

5)检验解的正确性和实际意义；

6)作答。

不等式的基本性质包括大小关系的传递性、加减性和乘除性。一元一次不等式的解集是由一个不等号确定的数轴上的一段区间，解法包括移项、分段讨论和图像法等。一元一次不等式组的解集是由多个不等式的解集的交集或并集确定的数轴上的一段区间，解法包括代入法和消元法等。常见的不等式组包括线性规划、等式约束和非线性不等式组等。

一般步骤：

一组含同一未知数的一元二次不等式的解集，是各个不等式解的公共部分。

口诀：

如果不等式是x≥b，那么解集很大；

如果不等式是x≤a，那么解集很小；

如果不等式是a≤x≤b，那么解集在中间找；

如果不等式无解，那么解集就是小小；

如果不等式取不了，那么解集就是无解。

列不等式（组）解实际问题的一般步骤是：审题、设未知数、找关系、列不等式、解不等式、验证答案。

函数与平面直角坐标系的知识点包括平面直角坐标系的定义、几何意义，任意一点与有序实数对的一一对应关系，各象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，点与点之间的距离，点的平移规律，点的对称及点坐标的变化规律，函数、常量、变量的概念，自变量的取值范围，解析法、列表法、图象法等。

2)二次函数的图象关于直线x=-b/2a对称；

3)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；

4)二次函数的零点是指函数值为0的点，可以用求根公式求得；

5)二次函数的顶点坐标是(-b/2a。c-b^2/4a)。

二次函数的图象和性质

a的符号

开口方向

经过的象限

a＞0

向上

经过第一、

四象限

a＜0

向下

经过第二、

三象限

二次函数的顶点坐标和零点

顶点坐标

零点

b/2a。c-b^2/4a)

求根公式：x＝(-b±√(b^2-4ac))/2a

待定系数法确定二次函数的表达式

设二次函数的表达式为y＝ax^2＋bx＋c，代入已知点的坐标，列出方程组，解出a、b、c的值，得到函数表达式。

改写后：

一次函数的概念是指函数y=kx+b（其中k、b为常数，且k≠0）。特殊地，当b=0时，函数y=kx就成为正比例函数。一次函数的图像经过不同象限，其走势也不同。通过待定系数法，可以确定一次函数的表达式，同时正比例函数只需要一个点的坐标（除原点外）即可确定表达式。

反比例函数的概念是指函数y=k/x（其中k为常数，且k≠0），自变量x的取值不能为0.反比例函数的图像也经过不同象限，通过待定系数法可以确定其表达式，同时系数k代表着函数图像的特征。

二次函数的概念是指函数y=ax^2+bx+c（其中a、b、c为常数，且a≠0）。二次函数的图像是由两个分支组成的双曲线，其开口方向和经过的象限取决于a的符号。二次函数的顶点坐标和零点可以通过求根公式求得，同时也可以通过待定系数法确定其表达式。

1.无需改写，原文无明显问题。

2.双曲线的两个分支无限接近于x轴和y轴，但不会与它们相交。双曲线关于直角坐标系的原点对称。

3.从反比例函数y＝kx的图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。在每个象限内，随着x的增大，y的值也会增大或减小，具体取决于k的正负。可以通过已知点的坐标求出反比例函数系数k，然后得出函数的表达式。

4.抛物线的图象开口向上或向下，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x＝－b/2a。抛物线的系数a，b，c和图象的关系很多，如a的符号决定抛物线的开口方向，ba，b的符号共同决定对称轴的位置，c的符号决定抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴或原点。抛物线与x轴的交点个数取决于判别式Δ＝b2－4ac的值，有两个交点当Δ＞0，有一个交点当Δ＝0，没有交点当Δ＜0.可以通过已知顶点或对称轴、最大(小)值、抛物线与x轴的两个交点等条件选取不同的抛物线表达式。可以通过平移抛物线的图象来得到不同位置的抛物线。

本文介绍了关于几何图形中线、角、相交线等基本概念和性质。其中，重点讲解了平行线的性质和判定方法，以及命题的结构和真假命题的概念。

在实际问题中，我们可以通过抽象出二次函数来解决最值问题。利用二次函数的最值公式，可以有效地解决实际二次函数的综合运用问题。

对于二次函数综合几何图形问题，需要充分抓住几何图形的特点并结合二次函数图象的特点，才能有效解决问题。在动点问题中，需要弄清楚在动的过程中，什么变了，什么没变，动中求静才能有效解决问题。

在几何图形中，线、角、相交线等基本概念和性质非常重要。例如，两点可以确定一条直线，两点之间的线段最短。如果两个角的和为90度，则它们互为余角；如果两个角的和为180度，则它们互为补角。同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。对顶角相等。如果两条直线互相垂直，则它们上面的角是直角。

在平行线的性质和判定方面，需要注意以下几点。在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。平行线之间的距离相等。如果一条直线与另一条直线平行，则

它们夹在两条平行线间的平行线段相等。如果一条直线与另一条直线垂直，则它们夹在两条平行线间的垂线段相等。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

最后，需要注意命题的结构和真假命题的概念。正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题；每个命题都有它的逆命题，但每个真(假)命题的逆命题不一定是真(假)命题。

推理中正确的命题称为定理，而逆命题被证明为真命题的定理称为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。要判断一个命题是否为真，通常需要从命题的条件出发，根据已知条件的逆命题来判断。证明是指从定义、基本事实、定理（包括推论）出发，一步一步推导得出结论的过程。证明方法包括反证法，即先假设命题不成立，再通过推理得出矛盾，从而证明命题成立。

三角形的稳定性指的是当三角形的三边长度确定时，三角形的形状和大小也就确定了。三角形的三边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。三角形的三个内角之和等于180度，而外角等于与它不相邻的两个内角之和。三角形中的重要线段包括角平分线、中线和高，而三角形的外心、内心和重心分别是外接圆、内切圆和三条中线的交点。全等三角形的对应边、对应角相等，周长和面积也相等。全等三角形的判定方法包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL，而AAA和SSA不能判定两个三角形全等。在等腰三角形中，两边相等，而在直角三角形中，有一个角为直角。中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，即“在同一个三角形中，等边对等角”。此外，等腰三角形还有三线合一和对称性两个性质。三线合一指的是等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和高线互相重合；对称性则指等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高（底边上的中线或顶角的平分线）所在的直线。

等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，各个内角都等于60°。此外，等边三角形还有对称性，有3条对称轴。

判定等边三角形有三种方法：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

线段垂直平分线和角平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等，角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，斜边上的中线长等于斜边长的一半，30°角所对的直角边等于斜边的一半。判定直角三角形有四种方法：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理；如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

多边形的性质：多边形是由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形。从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线的条数为

n（n－3）/2；n边形的内角和为(n－2)×180°（n≥3）；任何多边形的外角和都为360°。正多边形是各边相等、各角相等的多边形，中心指的是一个正多边形的外接圆的圆心。

正多边形有以下几个重要的性质：(1)边相等，内角相等；(2)对边平行，对角相等；(3)外角和为360°，内角和为(n-2)×180°；(4)半径为正多边形外接圆的半径；(5)中心角为每一边所对的圆心角，边心距为中心到正多边形的一边的距离。

平行四边形有以下几个重要的性质：(1)对边相等且平行；(2)对角相等且互补；(3)对角线互相平分；(4)中心对称；(5)有一组对边分别平行的四边形，一组对边平行且相等的四边形，两组对边分别相等的四边形，两组对角分别相等的四边形，对角线互相平分的四边形。

特殊的平行四边形包括矩形、菱形和正方形。矩形有一个角是直角，或有三个角是直角，或两条对角线相等；菱形有对边平行且相等，四个角都是直角，每条对角线平分一组对角；正方形有一组邻边相等且有一个角是直角，或有一组邻边相等，或有一个角是直角的菱形，或对角线相等且互相垂直平分的四边形。

圆有以下基本概念：等圆是半径相等的两个圆；半圆是圆的任意一条直径的两个端点分圆成的两条弧；弧是圆上任意两点间的部分，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；弦是圆上连接两点的线段，直径是一条弦的特殊情况；弦心距是弦两端点到圆心的距离；圆心角是以圆心为顶点的角，圆周角是圆上的一段弧所对应的角。

确定圆需要知道圆心和半径，可以通过给出圆上三点或圆上一点和切线的斜率来确定圆。圆的面积公式为πr²，其中r为圆的半径。

Connecting two points on a circle with a line segment is

called a chord。A chord that passes through the center of the circle

is called a diameter。The distance from the center of the circle to a

chord is called the chord\'s distance from the center。An angle

whose vertex is at the center of the circle is called a central angle。An angle whose vertex is on the circle and whose XXX-collinear

points determine a circle.

XXX。it is perpendicular to the chord it subtends.

XXX circle。equal XXX to equal arcs and chords。If two

pairs of corresponding measurements are equal een two circles。XXX.

The measure of an arc is equal to the measure of its

corresponding central angle。The measure of a central angle is

equal to half the measure of the arc it XXX inscribed angle of 90

XXX.

XXX。and XXX.

In terms of n。a point can be inside。on。or outside a circle

depending on the distance een the point and the center of the XXX

intersecting lines have different numbers of common points with a

XXX discussed。including the XXX at the point of tangency。and any line through the point of XXX line must pass through the

center of the circle.

XXX circles are presented。including the length of a chord

and the area of a XXX.

Finally。the basics of compass-and-straightedge ns are

introduced。including constructing equal line segments。angles。angle bisectors。perpendicular lines。XXX.

常数a，纵坐标都加上(或减去)一个常数b，那么这个图形就发生了平移变换，平移的向量为(a,b)

平移变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等。对应线段相等且平行，对应点的连线平行且相等，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同。

在平面直角坐标系内，如果把一个图形绕着一个点旋转θ度，那么图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了θ度。旋转中心到对应点的距离相等，对应点到旋转中心的连线与旋转轴垂直。任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度都等于旋转的角度。

轴对称图形是指一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合的图形。对称轴垂直平分连结两个对称点

的线段。成轴对称的两个图形是全等图形，对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。

中心对称图形是指一个图形绕着一个点旋转180°后，能够和原来的图形互相重合的图形。对称中心平分连结两个对称点的线段。如果一个图形绕着一个点旋转180°后，能够和另一个图形互相重合，那么就称这两个图形关于该点成中心对称。

在进行坐标变换时，平移变换的向量为(a,b)，旋转变换的中心为(x0,y0)，旋转角度为θ度。

对应线段成比例，那么这两个图形是相似的。相似变换是一种保持形状和大小比例不变的变换，包括平移、旋转、翻转和位似变换。在平面直角坐标系内，相似变换可以用矩阵来表示。比例线段是指四条线段成比例的情况，它有基本性质、合比性质和等比性质。黄金分割是指点P将线段AB分成黄金比例的两个线段，其中黄金比的比值为约0.618.相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形，它有周长、面积、高、角平分线和中线之间的比例关系。如果两个图形满足对应点的直线相交于一点且对应线段成比例，那么这两个图形是相似的。

位似图形是指两个图形的对应角度相等，且对应边的长度之比相等。如果两个图形的任意一对对应点到它们的位似中心的距离之比等于相似比，那么这两个图形就是位似图形。

在直角三角形中，除直角外还有三条边和两个锐角。解直角三角形的过程是通过已知元素求出所有未知元素。其中，三边之间的关系为a²+b²=c²，锐角之间的关系为∠A+∠B=90°，边角之间的关系为sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b。

解直角三角形的应用包括仰角、俯角、坡度、坡角和方向角。其中，仰角是视线在水平线上方的角，俯角是视线在水平线下方的角，坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，坡角是坡面与水平面的夹角，方向角是从观测点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角。

解直角三角形的一般步骤包括弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型，将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，选择合适的边角关系式，得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义。

三视图是指一个物体从不同方向看到的图形，包括主视图、俯视图和左视图。其中，长对正表示主视图与俯视图的长相等且相互对正，XXX表示主视图与左视图的高相等且相互平齐，宽相等表示俯视图与左视图的宽相等且相互平行。例如，正方体的三视图都是正方形，圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆。

1.圆锥的三视图包括两个三角形和一个圆形。

2.球的三视图都是圆形。

3.投影可以分为平行投影和中心投影，其中平行投影是由平行光线形成的投影，中心投影是由同一点（点光源）发出的光线形成的投影。

4.常见几何体的三视图之间存在对应关系。

5.在统计与概率中，数据的收集可以通过全面调查或抽样调查进行，其中常用的抽样方法是简单随机抽样。

6.在抽样调查中，要考察的全体对象组成总体，被抽查的那些个体组成一个样本，样本中个体的数目可以表示为样本容量。

7.平均数是用来反映数据集中程度的量，可以通过一组数据的加权平均数或中位数来计算。

8.加权平均数可以根据权重不同而有所不同，而中位数是一组数据中处于中间位置的数。

9.众数是一组数据中出现次数最多的数据。

10.方差是用来反映数据离散程度的量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小。

11.频数是每个对象出现的次数，频率是频数与数据总数的比。

12.统计图表可以用来显示数据的具体情况、百分比、变化趋势和分布情况。

13.绘制频数分布直方图的步骤包括计算最大值与最小值的差、决定组距与组数、列频数分布表和画频数分布直方图。

一般来说，在进行大量重复试验时，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)就等于p，即P(A)=p=n/m。当n趋近于无穷大时，P(A)趋近于p。同时，当n=m时，P(A)的概率为1，表示事件A一定会发生；当n=0时，P(A)的概率为0，表示事件A不可能发生。

在数据分析中，我们需要对数据进行整理和描述，以便更好地理解和分析数据。其中，频数和频率是两个重要的概念。频数指的是某个数值在数据集中出现的次数，而频率则是指某

个数值在数据集中出现的频率，即频率=频数/总数。为了更加直观地呈现数据，我们可以采用条形统计图、扇形统计图、折线统计图等方式进行数据的可视化呈现。

在数据整理和描述的过程中，频数分布和直方图也是常用的工具。频数分布是指将数据按照一定的区间进行分组，并统计每个区间内数据出现的频数，以便更好地观察数据的分布情况。而直方图则是将频数分布用柱状图的形式进行展示。

在概率论中，我们需要了解概率事件的类型和计算方法。确定性事件指的是一定会发生或一定不会发生的事件，其概率分别为1和0.而不确定性事件（也称为随机事件）则是指可能发生也可能不发生的事件，其概率介于0和1之间。我们可以通过频率来估计概率，即P(A)≈n/N，其中n为事件A发生的次数，N为总的试验次数。同时，我们还可以通过公式来计算概率，如P(A)=m/n。

综上所述，概率是一种描述随机事件发生可能性的数学工具，其计算方法包括频率估计和公式计算。在数据分析中，我

们需要对数据进行整理和描述，并采用可视化工具进行展示，以便更好地理解和分析数据。