2023年12月29日发(作者：2018云天化数学试卷)
2022-2023学年第一学期数学期末复习宝典班级_________姓名_________2022年12月
本学期各章知识结构图21章一元二次方程22章二次函数23章旋转24章圆25章概率26章反比例函数注：本学期区考考试范围是：21章一元二次方程22章二次函数23章旋转24章圆25章概率1
复习专题1:尺规作图一.尺规的含义:(1)几何中,直尺没有刻度,它的作用是:连接、画直线、画射线;(2)圆规的作用是:截取、画弧、画圆.二.对于尺规作图问题的解决策略,大家一起集思广益,总结完善,写在下方方框处三.本学期的尺规作图,大概率会跟圆的相关知识综合,所以对于圆中的必备定理,性质,请你务必花时间,记一记!所属内容定理（公理）名称垂径定理垂径定理推论弧、弦、圆心角性质定理（公理）内容圆性质圆周角定理圆周角推论1圆周角推论2圆内接四边形性质切线判定定理与圆位置切线性质定理关系切线长定理四.请在往年的真题中,掌握尺规作图的方法吧!1.（朝阳）已知：如图，A为⊙O上的一点．求作：过点A且与⊙O相切的一条直线．作法：①连接OA;②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O的一个交点为B，作射线OB；③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；④作直线PA．直线PA即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BA．由作法可知BO=BA=BP．∴点A在以OP为直径的圆上．∴∠OAP=90°（∵OA是⊙O的半径，∴直线PA与⊙O相切（）（填推理的依据）．）（填推理的依据）．2
2.(东城)下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，①作直径AB；②分别以点A,B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC=．∵AB是直径,∴∠ACB=()(填写推理依据)∴△ABC是等腰直角三角形．3.(海淀)“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O（纸片），其半径为r．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；②如图2，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线l于点C；③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A，B处；④取CB的中点M，以点M为圆心，MC为半径画半圆，交射线BA于点E；⑤以AE为边作正方形AEFG．正方形AEFG即为所求．图1图2根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l为⊙O的切线，其依据是________________________________．（2）由②③可知，ACr，ABr，则MC_____________，MA_________（用含r的代数式表示）．（3）连接ME，在Rt△AME中，根据AM2AE2EM2，可计算得AE2_________（用含r的代数式表示）．由此可得S正方形AEFGSo．3
4.（西城）问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB=∠AEB=________°．（∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，________是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．）（填推理的依据）课后作业1.（丰台）下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A在⊙O上．求作：直线PA和⊙O相切作法：如图，①连接AO；②以A为圆心，AO长为半径作弧，与⊙O的一个交点为B；③连接BO；④以B为圆心，BO长为半径作圆；⑤作⊙B的直径OP；⑥作直线PA．所以直线PA就是所求作的⊙O的切线．根据小亮设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接BA．∵OA＝OB，AO=AB．∴OB=AB．∴点A在⊙B上．∵OP是⊙B的直径，∴∠OAP=90°（∴ОA⊥AP．又∵点A⊙O上，∴PA是⊙O的切线（2.（顺义）已知：如图，锐角∠AOB．求作：射线OP，使OP平分∠AOB．作法：①在射线OB上任取一点M；②以点M为圆心，MO的长为半径画圆，分别交射线OA，OB于C，D两点；③分别以点C，D为圆心，大于）（填推理的依据）．）（填推理的依据）．1在∠AOB内部两弧交于点H；CD的长为半径画弧，2④作射线MH，交⊙M于点P；⑤作射线OP．射线OP即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD．由作法可知MH垂直平分弦CD．DP（∴CP）（填推理依据）．∴∠COP=．即射线OP平分∠AOB．4
3.（燕山）已知：如图，射线AM．求作：△ABC，使得点B在射线AM上，C90，A60．作法：①在射线AM上任取一点O;②以点O为圆心，OA的长为半径画圆,交射线AM于另一点B；③以点A为圆心，AO的长为半径画弧，在射线AM上方交O于点C；④连接AC、BC．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明。证明：AB为O的直径，点C在O上，ACB90（___________________________）（填推理依据）．连接OC．OAOCAC，（填推理依据）．A60.
所以△ABC为所求作的三角△AOC为等边三角形（___________________________）形．4.（昌平）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P．点P即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD．∵AB＝AC，∴点C在⊙A上．∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________．∴∠BAC＝1∠CAD．∵点D，P在⊙A上，2∴∠CPD＝1∠CAD．（_____________________________________）（填推理的依据）2∴∠APC＝∠BAC5.(门头沟)已知：如图1，在△ABC中，AB=AC．求作：⊙O，使得⊙O是△ABC的外接圆．AABCBDC图1图2作法：作∠BAC的平分线交BC于D；①如图2，②作线段AB的垂直平分线EF；③EF与AD交于点O；④以点O为圆心，以OB为半径作圆．∴⊙O就是所求作的△ABC的外接圆根据上述尺规作图的过程，回5
答以下问题：(1)使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵AB=AC，∠BAD=∠DAC，∴∵AB的垂直平分线EF与AD交于点O，∴OA=OB，OB=OC．（∴OA=OB=OC．∴⊙O就是△ABC的外接圆6.（平谷）如图，A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线.（1）①连接OA并延长，使AB=OA;②作线段OB的垂直平分线；使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l(保留作图痕迹)；(2)直线l即为所求作的切线，完成如下证明.证明：在⊙O中，∵直线l垂直平分OB∴直线l经过半径OA的外端，且_______________________________________________∴直线l是⊙O的切线(_______________________________________________)(填推理的依据).7.(通州)已知：A，B是直线l上的两点求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且AC=BC，ACB30．作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；④连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形．∴AOB60．∵A，B，C在⊙O上，∴∠ACB＝（填推理的依据）））1∠AOB（______________________________________________________）（填推理的依据）．2∴ACB30．由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC（____________________________________________________）（填推理的依据）．∴△ABC就是所求作的三角形8.（大兴）下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程.已知：如图，钝角∠AOB.求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.6
作法：如图，①在射线OA上任取一点D；②以点O为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；③分别以点D,E为圆心，大于1DE长为半径作弧，在∠AOB内，两弧相交于点C；2.由作图步骤③可知CD＝.④作射线OC.则OC为所求作的射线.完成下面的证明.证明：连接CD，CE由作图步骤②可知OD＝∵OC=OC，∴△OCD≌△OCE.∴∠AOC＝∠BOC(9.（密云）下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC交AC于点D．求作：∠BPC，使∠BPC=∠BAC．1作法：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接EF交BD于点O；2)(填推理的依据)②以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；③在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．所以∠BPC=∠BAC．根据小玟设计的尺规作图过程.（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA、OC．∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD．∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线)，∴OB=．∴OB=OA．∴⊙O为△ABC的外接圆．）（填推理的依据）∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC（7
复习专题二：圆知识回顾：请你根据以下垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及其推论的基本图形，写出对应的结论：一、与圆有关的角度计算：1、如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD等于（A）30°（B）40°（C）50°（D）60°2、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（A）22.5°（B）45°（C）90°（D）67.5°3、如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB于E，如果∠CAB=20°，那么∠AOD等于A．120°B．140°C．150°D．160°4、如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P=50°，则∠ACB＝°．旧知回顾：请你根据以下切线的性质、切线长定理的基本图形，写出对应的结论：oA二、与圆有关的求线段长：1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为2、如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．若∠OBA=30°，PA=3，则AB的长为.．l3、如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为A．8B．162C．42D．22旧知回顾：弧长计算公式：______扇形面积公式：_________、圆锥侧面积的公式：圆锥全面积的公式：8
三、扇形弧长、扇形面积、圆锥全面积、正多边形和圆应用：1、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是2、在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的弧长为．.3、用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．4、颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是5、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正边形．米．AB的三等分点，图中所有阴影部分的面积之和6、如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．如果点C、D是是cm2．旧知回顾：请你根据以下切线的判定的基本图形，写出对应的结论：(1)有(2)无，连，作,证，证;四、与圆有关的综合题1、如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．（1）求证：AB是⊙O的切线（2）若⊙O的半径为4，PC＝25，求线段AB的长．2、如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB于E，连接AC，过A作AFAC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BGDF，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线；（2）若DFA30，DF=4，求FG的长．3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC=30°，求CD的长．9
课后作业1、如图，点A，B，C在⊙O上，△OAB是等边三角形，则∠ACB的大小为（A）60°（B）40°（C）30°（D）20°2、如图，四边形ABCD内接于⊙O．若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（A）45°（B）60°（C）90°（D）120°3、如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的为（A）3；（B）2；（C）1；（D）3．4、如图，AB与⊙O相切于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40º，则∠C的度数是（A）20º（B）25º（C）40º（D）50º5.如图：在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70º，那么∠C的度数为_________________.6、⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是7.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点.若∠P=50°，则∠AOB=____________°.8、圆心角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是cm²..9、若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是6πcm，则此扇形的圆心角等于_____________．10、为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为cm．11、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为12、如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为．m．10
13、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点．以BD为直径作⊙O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若PC是⊙O的切线，BC=8，求PC的长．14、如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，BC=8，求BD的长．15、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BAC75，ABC45，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD＝6，求线段AE的长．11
复习专题3：实际问题与二次函数实例：跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.比赛过程分为助滑阶段，起跳后空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识来解决最具观赏性空中飞行阶段相关问题.问题1：上述事例中存在哪些变量？问题2：初中阶段我们研究变量之间的关系的工具是什么？为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员第一次起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足二次函数关系.下表记录了某运动员起跳后的x与y的几组数据.（此时假设运动员的着陆点直接在地面上）水平距离x(单位:m)竖直高度y(单位:m)20603242活动一：请大家根据数据在方格纸上画出函数图像活动二：应用图像，解决问题问题1：水平距离为多少时，远动员在空中达到最高点？问题2运动员起跳时的竖直高度是多少？活动三：数形结合，解决问题问题3：运动员水平位置为多少时，才能落地？问题4：该运动员在训练时，有一个距离竖直高度水平距离为15m、高为45m的物体刚好刚好在它的飞行路线上，请问这位运动员是否可以避免碰到这个物体。（纯属虚构、不要模仿）（25015.8）问题5：根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，远动员的落地的水平距离如何变化？变化了多少？12
问题6：根据训练需要，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：y12x2560，记该40运动员第一次的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点水平距离为d2，则d1与d2的大小关系如何？小结：1这节课我们如何解决实际问题的？进行了哪些操作？2经过了这节课的学习，今后我们在运用函数解决问题的过程中，要注意哪些细节？【小测】：1.某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉,水柱从垂直于湖面的水枪喷出,水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下数据,在距水枪水平距离为d米的地点,水柱距离湖面高度为h米.1234…d(米)05.25．h(米)2.04.065.2…请解决以下问题:(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描点,并用平滑的曲线连接.(2)请结合表中所给数据或所画图象,估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为________米（精确到0.1）；(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险2.如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m.灌溉车喷出水的上、下边缘可以分别看作是抛物线的一部分,而绿化带可以看作为矩形ABCD，其水平宽度AB=3m竖直高度BC=0.5m.记喷出的水与喷水口的水平距离为xm，上边缘距地面的高度为y1m，下边缘距地面的高度为y2m.测量得到如下数据:XY1Y201.51.50.51.721.2211.880.881.51.970.4722031.8841.550.8860(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出上边缘函数的图象;(2)结合表中数据或图象，写出喷出水的最大射程OM为m，并求上边缘抛物线的函数解析式:(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图象,估计灌溉车到绿化带的距离OA的取值范围为__13
【课后作业】1、一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，已知铅球行进过程中的水平距离与离地面的高度的部分数据及图象如下．x(米)(米)1.672.252.672.923.请解决以下问题：（1）在平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接，补全图形；（2）根据图象估出铅球落地时的水平距离（单位：m，精确到0.1）；（3）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为2.5m时，根据图像估出铅球的水平距离（单位：m，精确到0.1）2、要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管的顶端安一个喷水头,记喷出的水与池中心的水平距离为xm,距地面的高度为ym.测量得到如下数值：x/my/m02.440.53.1513.491.53.4523.042.52.2531.093.370小腾根据学习函数的经验,发现y是x的函数,并对y随x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中,描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出函数的图象；(2)结合函数图象,出水口距地面的高度为池中心的水平距离约为m,水达到最高点时与m(结果保留小数点后两位)；(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m,如果只调整水管的高度,其他条件不变,结合函数图象,估计出水口至少需要“升高”或“降低”)m(结果保留小数点后两位)(填14
3、如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离AE＝x米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF＝y米．通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：x（米）y（米）0011.752333.754453.756371.7580（1）拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米；（2）请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；（3）测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）．4、首钢滑雪大跳台是北京冬奥会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台比赛场地，其结构如图所示。已知起跳点距离地面高度为18米，且起跳点的斜坡恰好能保证运动员初始速度与水平方向夹角为45°。小墩同学对运动员在起跳点的初始速度v0与飞行的最大竖直高度H。(相对于起跳点的高度)、飞行的最远水平距离S0的关系非常感兴趣。通过翻阅资料，得知:在忽略空气阻力且只考虑重力的情况下，若物体以一定初速度v0(米/秒)斜向射出去，该物体的运动轨迹是抛物线。特别地，若抛出方向与水平方向夹角为45°时，物体所能达到的竖直飞行H0(米)与初速度v0的平方成正比，具体关系为H01212v0，而运动轨迹与抛物线yx形状相同.404H0假设在一次训练中，运动员飞行的最大竖直高度H0为5米。请你根据上述信息思考:(1)该运动员在起跳点的初速度为米/秒;(保留根号)(2)如图所示,以水平方向为x轴,起跳点所在竖直方向为y轴,建立平面直角坐标系xOy,请你直接写出该运动员的运动轨迹解析式;(3)在(2)的条件下，若着陆坡所在线段解析式为y最远水平距离S0能否超过24米?351x(14≤x≤34).通过计算，请你说明该运动员飞行的4215
复习专题4：代数综合题知识点1：二次函数一般式顶点式双根式（）2解析式对称轴顶点坐标知识点2：对于二次函数的一般式yaxbxc(a0)中a控制___________;a，b控制___________;左___右___；c控制____________;b24ac控制______________;知识点3：二次函数的增减性当a0时，开口____，草图_______，对称轴左侧y随着x的增大而______；对称轴右侧y随着x的增大而______；当a0时，开口____，草图_______，对称轴左侧y随着x的增大而______；对称轴右侧y随着x的增大而______；主要考查内容：代数推理、数形结合类型一：比较二次函数值的大小课前任务：请同学们尝试运用多种方法解决下面问题已知点A（－1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在抛物线y=ax2－2ax+c（a＞0）上，试比较y1，y2，y3的大小．数：形：数形：初步探究问题1在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，y1)，B（3，y2）是抛物线y=x²+bx+1上的两点，若b＞－2，比较y1，y₂的大小关系，并说明理由．数：形：数形：反思：深入探究问题2在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y=－x²+bx上．若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x=t，已知点（－1，y1），（3，y2），（3，y3）在该抛物线上．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．2反思：设抛物线的对称轴为x=t，如何确定t的取值范围？16
练习1.在平面直角坐标系xOy中，A(m－1，y1)，B(3，y2)是抛物线y=x2－2mx+m2－4上两点若y1＜y2，求m的取值范围．2．二次函数y=ax2+bx+3.若b=2a，点P1(－3，y1)，P2(－1，y2)，P3(3，y3)是该函数图象上的3个点，试比较y1，y2，y3的大小．3．已知y=ax2+bx－2(a＜0)过点(2，－2)，点A(n－2，y1)，B(n－1，y2)，C(n+l，y3)在该抛物线上，若0 类型二：确定二次函数的对称轴朝阳区24．在平面直角坐标系xOy中，点（-1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线若y2<0 类型三：确定二次函数中参数的范围（如：确定开口方向、确定自变量中的参数、其它）大兴26．在平面直角坐标系xOy中，二次函数将二次函数y，（3，0）．yx2bxc的图象经过点（0，–3）x2bxc的图象向上平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，当0x5时，图象G与x轴只有一个公共点，2结合函数的图象，直接写出n的取值范围．房山区26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线结合函数图象，求a的取值范围.yax2+bx3a上有两点A（－1，0）和点B（x，x+1）.当32≤AB≤52时，海淀区26．在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)在抛物线yaxbx3(a0)上．（1）已知m0，当2mx2+2m时，y的取值范围是1y3，求a，m的值；（2）在（1）的条件下，是否存在实数n，当n2xn时，y的取值范围是3n3y3n5，若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．门头沟26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2ax4（a＞0）．如果Am1,y1，Bm,y2，Cm2,y3三点22均在抛物线yax2ax4上，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．平谷26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线线上两点，且mn<0,求a的取值范围.2yax2bxa2(a0)的对称轴是直线x＝1.若点A（-2，m）B（3，n）为抛物19 课后作业2022年中考26.在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线（1）当cyax2bxc(a0)上，设抛物线的对称轴为xt.2,mn时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；1)在抛物线上，若mnc,求t的取值范围及x0的取值范围.（2）点(x0,m)(x02021年中考26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．2020年中考26．在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，Nx2,y2为抛物线（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1，x2为何值时，（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1yax2bxca0上任意两点，其中x1x2．y1y2c；x23．都有y1y2，求t的取值范围．2019年中考26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(1,-1)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．=ax2+bx-1与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物a2a2018年中考20 复习专题5：几何综合题类型1构造“共顶点旋转（手拉手）”模型例1如图,在△ABC中,BC=4,以AC为斜边作Rt△ACD,AD=CD,点D落在ΔABC内,连接BD,若∠DBC=45°,BD=2,求△ABD的面积.类型2构造“旋转半角”模型例2如图，四边形ABCD中,AB=AD=3,CB=CD,∠A=50°,∠B=90,点M,N分别在AB,AD上,连接CM,CN,MN,若∠MCN=65°,求△AMN的周长.类型3构造“对角互补”模型例3如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D为BC边上的中点,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=120°,若CF=2,求BE的长.21 练习1.问题情境已知正方形ABCD和正方形EFGH,点B为正方形EFGH对角线的交点,连接AH,GC.问题解决:(1)如图①,判断AH和CG的位置关系,并证明;(2)若正方形ABCD的边长为5,正方形EFGH的边长为2,当EH⊥AB时,求AH,CG的长;探究拓展:(3)如图②,正方形ABCD固定不动,将正方形EFGH绕点B顺时针旋转,判断AH和CG的数量关系及位置关系,并证明.2.如图,等腰直角三角板ABC固定不动,已知AB=BC=4.(1)如图①,将另一块等腰直角三角板的锐角顶点放在点B处,其斜边与直角边分别交AC于点D,E,若CE=2,求DE的长;(2)如图②,将一块含30°角的直角三角板的直角顶点放在AC边的中点F处,且可绕点F旋转,两直角边与AB,BC分别交于点G,H(始终在边AB,BC上).当BH=3CH时,求四边形GBHF的周长.22 课后作业（☆）1.已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP=∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．（☆）2.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，点D在线段BC的延长线上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，射线BA与CE相交于点F．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BD与CE的数量关系，并证明；（3）若F为CE中点，AB=2，则CE的长为______．23 （☆☆）3.如图，∠MAN=45°，B是射线AN上一点，过B作BC⊥AM于点C，点D是BC上一点，作射线AD，过B作BE⊥AD于点E，连接CE．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAE=∠DBE；（3）用等式表示线段CE、BE、AE的数量关系，并证明．（☆☆）4.在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC为钝角时，直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．图1图224 （☆☆☆）5.已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．)，（☆☆☆）在等边ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转(060°得到线段AD．连接CD，作BAD6.如图，的平分线AE，交BC于E．(1)①根据题意，补全图形；②请用等式写出BAD与BCD的数量关系，并证明．(2)分别延长CD和AE交于点F，用等式表示线段AF，CF，DF的数量关系，并证明．25 （☆☆☆）7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是边BC上一点，作射线AD，满足0°＜∠DAC＜45°，在射线AD取一点E，且AE＞BC．将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．（1）依题意补全图形；（2）求∠EGF的度数；（3）连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．（☆☆☆☆）8.如图，AD是△ABC的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上一点（不与点E重合），AF=AB．（1）比较∠AFE与∠ABC的大小；（2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明；（3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明．26 （☆☆☆☆）9.如图，在ABC中，ABC90，BABC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接AE．(1)①依题意补全图形；②求EAC的度数；(2)取AD中点F，连接BF，CE，猜想CE与BF之间的位置关系与数量关系，并证明．（☆☆☆☆）10.如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F，连结BF.(1)求证：FB=FD；，且BH=CE，连结AH交BF于点N.(2)如图2，连结CD，点H在线段BE上（不含端点）①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.27 复习专题6：新定义一、历年北京中考新定义——和圆相关的年份、定义解题主线：利用特殊与一般的思想，从运动与变化的角度分析问题类比在特殊情况下解决问题的方法数形结合分析、计算求解。二、作图技能训练类型一：距离类【参见圆的专题3，知识点，例题】【1】点和圆的距离；距离。【2】直线和线圆的距离、线段上的点和圆的距离类型三：【3】线段上的点和圆的类型二：轨迹类【参见圆的专题3，知识点，例题】【1】角度类轨迹画图；【2】线段类轨迹。解法总结：理解定义，数形结合，巧用临界值：例1.在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．（1）若点A的坐标为（0，2），点P1（2，2），P2（1，-4），P3中，(3,1)点A的“等距点”是_______________；（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；（3）记函数y3x（x>0）的图象为L，⊙T的半径为2，圆心坐标为T(0,t).若在L存在点M，⊙T上存在点3N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．28 考查知识点：两点间距离、点到直线的距离、到定点距离等于定长点的轨迹，直线与圆的位置关系、从特殊到一般、数形结合、分类讨论.【归纳总结解决新定义问题的策略】定义描述：抓条件联旧知举例分析：由特殊到一般初步应用：挖概念建模型综合应用：找临界巧求值练习：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N)．已知点A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2)．（1）求d(点O，△ABC)；（2）记函数y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G．若d(G，△ABC)=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1．若d(⊙O，△ABC)=1，直接写出t的取值范围．例2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点.例如，图1中的Q为点P的一个离点.(1)已知点P(0，3)，Q为P的离点.①如图2，若B(0，0)，则圆心C的坐标为________，线段PQ的长为________；②若B(2，0)，求线段PQ的长；(2)已知1≤PA≤2,直线l：y=kx+k+3（k≠0）.①当k=1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为________；②记直线l：y=kx+k+3(k≠0)在-1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围.图1图229 练习：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）(m≠0)．将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为线段AO的伴随线段．（1）如图1，若m=1，则点M，N的坐标分别为________，________；（2）对于任意的m，求点M，N的坐标（用含m的式子表示）；（3）已知点B（−√2，t），C（√2，t），以线段BC为直径，在直线BC的上方作半圆，若半圆与线段BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段AO的伴随线段MN，直接写出t的取值范围．图1作业：已知点M(－1，-0.5）,N(1,-0.5)是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点.（1）在点A1(0,0.5)，A2(0.5,0)，A3(0,2)，A4(2,2)中，线段MN的可视点为________；（2）若点B是直线y＝x＋0.5上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线y＝x＋b(b≠0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围.30 复习专题7：实际问题（非常规）例题1、甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：包裹编号ABCDEI号产品重量/吨53243II号产品重量/吨12335包裹的重量/吨65578甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）.分析：有序列举例题2、电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数．如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有（填方块上的字母）．图1图2方法小结：有序列举+推断31 【练习】1.尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表：演员1节目A节目B节目C节目D节目E节目F√√√√√演员2演员3√√√√√√√√√演员4演员5√演员6√演员7演员8√从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序__________（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．2.某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（i）女学生人数多于教师人数；（ii）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_________；②该小组人数的最小值为_________．某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，3.在一次数学活动课上，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是．4.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了局比赛，其中最后一局比赛的裁判是．课后作业1．有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）．将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表：卡牌类型数量（张）根据以上信息，可知：①n_________；②拥有“卡牌组合”____________的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型）．A4B10C3D10E1F232 2．某工厂有甲、乙、丙、丁、戊五台车床．若同时启动其中两台车床，加工10000个W型零件所需时间如下表：车床编号所需时间（h）甲、乙13乙、丙9丙、丁10丁、戊12甲、戊8则加工W型零件最快的一台车床的编号是．3．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a~h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是________．4.围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，围住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子．像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住_____个白子．图1图25．新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元、重m千克，B礼物单价（a+1）元，重（m﹣1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差称重情况元，通过称重其他盲盒，大家发现：重量大于小林与小林的盲盒重量介于小林与小李的盲盒重量小于小李的盲盒的一样重5元．和小李之间的0一样重9的盲盒的4盲盒个数0若这些礼物共花费2018元，则a＝33
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