实数集r的范围

2024年4月2日发(作者：宁德中考评卷数学试卷分析)

实数集r的范围

实数r范围是：（-∞，+∞），R代表实数集。实数集，包含所有有理数和无理

数的集合，通常用大写字母R表示。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起

来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一

次提出了实数的严格定义。

任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。

实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对

应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

封闭性

实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实

数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

有序性

实数集是有序的，即任意两个实数 、 必定满足并且只满足下列三个关系之一：

传递性

实数大小具有传递性，即若 ，且 ，则有 。

阿基米德性质

实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即 ， ，若 ，则∃正整数 ， 。

稠密性

实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，

也有无理数。

完备性

作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：

一、所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有

理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限 。

实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空

隙”。

二、 “完备的有序域”

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由

于有序域没有最大元素（对任意元素 ， 将更大）。所以，这里的“完备”不是

完备格的意思。

另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说

明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用

戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建

立戴德金完备性。

这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可

以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一

个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空

间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，并不是唯一

的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的

阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德

域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西

序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立

一致完备性。

“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述

的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是

的子域。这样 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米

德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所

有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。