双曲线和椭圆的知识点

2024年4月5日发(作者：成人高考数学试卷下载)

双曲线和椭圆的知识点

一、双曲线的定义和基本性质

双曲线是平面上的一种曲线，由两个相交的直线割成两个分支。它的

定义式为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a

和b为正实数。双曲线有以下基本性质：

1. 双曲线关于x轴、y轴对称；

2. 双曲线有两条渐近线，即与x轴和y轴夹角趋近于0或π/2的直线；

3. 双曲线在两条渐近线处无界；

4. 双曲线分为左右两个分支，左分支开口向左，右分支开口向右；

5. 双曲线在x=a和x=-a处有垂直渐近线。

二、椭圆的定义和基本性质

椭圆是平面上一条封闭弧形，其所有点到两个定点之距离之和等于定

长（即椭圆长轴），定义式为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1或(x-

h)^2/b^2+(y-k)^2/a^2=1，其中(h,k)为椭圆中心坐标，a和b为长

短半轴长度。椭圆有以下基本性质：

1. 椭圆关于x轴、y轴对称；

2. 椭圆有两条主轴，即长轴和短轴，交于椭圆中心；

3. 椭圆的离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离；

4. 椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和等于椭圆长轴长

度；

5. 椭圆在x=h处有垂直渐近线。

三、双曲线和椭圆的参数方程

双曲线的参数方程为x=acosht，y=bsinht或x=asect，y=btant，

其中t为参数。这两种参数方程对应左右两个分支。

椭圆的参数方程为x=h+acosθ，y=k+bsinθ或x=h+bsinθ，

y=k+acosθ，其中θ为参数。

四、双曲线和椭圆的焦点

双曲线有两个焦点F1(ae,0)和F2(-ae,0)，其中e为离心率。椭圆也有

两个焦点F1(h+ae,k)和F2(h-ae,k)，其中a、b、h、k、e均已定义。

五、双曲线和椭圆的面积

双曲线面积公式为S=abπ，其中a和b分别为左右两个分支的半轴长

度。

椭圆面积公式为S=abπ，其中a和b分别为长轴和短轴长度。

六、双曲线和椭圆的应用

1. 双曲线在物理学中有许多应用，如描述电磁波传播、天体运动等。

2. 椭圆在几何光学中有重要应用，如描述折射、反射等现象。

3. 双曲线和椭圆也被广泛应用于计算机图形学、建筑设计等领域。

七、总结

双曲线和椭圆是平面上两种重要的曲线，具有许多基本性质和参数方

程。它们在数学、物理学、几何光学等领域都有广泛的应用。了解双

曲线和椭圆的知识对于深入理解这些领域的相关问题具有重要意义。