高中数学知识点总结_椭圆及其性质

椭圆及其性质

x

2

y

2

1

表示椭圆



m

>0，

n

>0，且

m

≠

n

；

a

2

是

m

，

n

中之较大者，焦点1.方程

mn

的位置也取决于

m

，

n

的大小。

x

2

y

2

1

1

的离心率为，则

m

= [举例] 椭圆

4m

2

22

解析：方程中4和

m

哪个大哪个就是

a

，因此要讨论；（ⅰ）若0<

m

<4,则

a4,

bm

，

2

4m

1

m

>4,则

b

2

4,

a

2

m

，=，得

m

=3；（ⅱ）∴

cm4

，

2

2

m4

11616

∴

e

==，得

m

=；综上：

m

=3或

m

=。

m

233

∴

c4m

，∴

e

=

[巩固]若方程：x

2

+ay

2

=a

2

表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是

A 1个 B .2个 C.4个 D.无数个

x

2

y

2

2．椭圆

2



2

1

关于x轴、y轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|≤a,|y|≤b，

ab

a-c≤|PF|≤a+c，（其中F是椭圆的一个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为a，椭圆的

b

2

b

2

焦准距为，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2，通经是过焦点最短的弦。

ca

x

2

y

2

[举例1] 已知椭圆

2



2

1

（

a

>0,

b

>0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若

ab

BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。

2222222

解析：|AB|=

a

+

b

，|BF|=

a

，|FA|=

a

+

c

，在Rt⊿ABF中，(

a

+

c

)=

a

+

b

+

a

222

2

化简得：

c

+

ac

-

a

=0，等式两边同除以

a

得：

ee10

，解得：

e

=

51

。

2

注：关于

a

,

b

，

c

的齐次方程是“孕育”离心率的温床。

x

2

y

2

3

[举例2] 已知椭圆

2



2

1

（

a

>0,

b

>0）的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右焦

5

ab

点按逆时针方向旋转

16



后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为

y

=，则原来椭圆的方

3

2

16

为新椭圆的上准线，

3

程是 。

解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x轴上，直线

y

=

b

2

161616

故新椭圆的焦准距为，∴原来椭圆的焦准距也为，于是有：= ①，

c

333

c3

= ②，由①②解得：

a

=5，

b

=3。

a5

[巩固1]一椭圆的四个顶点为A

1

，A

2

，B

1

，B

2

，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的

椭圆的离心率为 。

[巩固2] 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为

2

，焦点到相应准线的距离为1，

则该椭圆的离心率为

(A)

2

(B)

22

1

(C) (D)

24

2

x

2

y

2

1

上有n个不同的点P

1

，[迁移]椭圆P

2

，P

3

，…，P

n

，椭圆的右焦点F，数列{| P

n

F|}

43

是公差大于

1

的等差数列，则n的最大值为 （ ）

100

A．198 B．199 C．200 D．201

3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。

[举例1]已知⊙Q：(x-1)+y=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：

。

解析：P(-1,0)在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M(x,y)，⊙M的半径是为r，则：

|MQ|=4-r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹

是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2。

[举例2] 若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=5

(x1)(y2)

，则P点的轨迹是：

A．圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面

是平方、展开后方程中会出现xy项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观

察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的

5倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以

5

，于是有：

22

22

|x2y3|

5

=

5

(x1)

2

(y2)

2

，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了，

(x1)

2

(y2)

2

5



只需将方程再变形为：，即动点P（x,y）到定点A（1，2）与

|x2y3|

5

5

到定直线x+2y-3=0的距离之比为

5

，∴其轨迹为椭圆。

5

[巩固1] 已知圆

C:(x1)y25及点A(1,0),Q

为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ

于M，则点M的轨迹方程为 .

[巩固2]设x、y∈R，在直角坐标平面内，

a

=(x,y+2),

b

=(x,y-2),且|

a

|+|

b

|=8，则点

M(x,y)的轨迹方程为 。

[提高]已知A（0，7），B（O，-7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的

另一焦点的轨迹方程为 。

[迁移]

P为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为F

1

（-1，0）、F

2

（1，0），则椭圆过P

点且长轴最短时的方程为 。

4．研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。

22

x

2

y

2

1

的长轴AB分成8分，过 [举例1] 如图把椭圆

2516

每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于

P

1

,

P

2

,……

P

7

七个点，F是椭圆的一个焦点，则

PFP

2

F......P

17

F

____________．

解析：P

1

与P

7

，P

2

与P

6

，P

3

与P

5

关于y轴对称，P

4

在y轴上，

记椭圆的另一个焦点为F

/

，则|P

7

F|=|P

1

F

/

|，|P

6

F|=|P

2

F

/

|，|P

5

F|=|P

3

F

/

|，

///

于是

PFP

2

F......P

17

F

|P

1

F|+|P

1

F|+|P

2

F|+|P

2

F|+|P

3

F|+|P

3

F|+|P

4

F|=7a=35.

x

2

25y

2

1

上的两点，F

2

是椭圆的右焦点，如果 [举例2] 已知A、B是椭圆

2



2

a9a

83

|AF

2

||BF

2

|a,

AB的中点到椭圆左准线距离为，则椭圆的方程 .

52

88

12

解析：

|AF

2

||BF

2

|a



2a|AF

1

|2a|BF

1

|

=

a



|AF

1

|BF

1

|

=

a

，

55

5

记AB的中点为M ，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A

1

、B

1

，M

1

，由椭圆第二定

义知：|AF

1

|=e|AA

1

|，|BF

1

|=e|BB

1

|，于是有：e（|AA

1

|+|BB

1

|）=

4

12

a

，而e=

5

5

3

25y

2

2

∴|AA

1

|+|BB

1

|=3a



2|MM

1

|=3a，又|MM

1

|=，得a=1，故椭圆方程为

x1

。

9

2

[巩固1] 椭圆的两焦点为F

1

，F

2

，以F

1

F

2

为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆

的离心率为 。

A(1,1)

[巩固2]已知F

1

、F

2

是椭圆

5x9y45

的左右焦点，点

P

是此椭圆上的一个动点，

为一个定点，则

PAPF

1

的最大值为 ，

PA

22

3

PF

2

的最小值为 。

2

[提高] 过椭圆左焦点F且斜率为

3

的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的

离心率e=_____

5．研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，常用椭圆定义及正、余弦定

理。

x

2

y

2

1,(b0),

F

1

,F

2

是它的两个焦点，若椭圆上存在[举例]已知焦点在

x

轴上的椭圆

4

b

2

点P，使得

PF

1

PF

2

0

，则

b

的取值范围是 。

解析：思路一：先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F

1

PF

2

≤∠F

1

BF

2

。记∠F

1

PF

2

=



,



r

1

2

r

2

2

4c

2

(r

1

r

2

)

2

2r

1

r

2

4c

2

4a

2

4c

2

|PF

1

|=r

1

, |PF

2

|=r

2

,cos



===

1

2r

1

r

2

2r

1

r

2

2r

1

r

2

r

1

r

2

2

2

a

2

a

2

4c

2

又

r

1

r

2

≤()=

a

,∴cos



≥=cos∠F

1

BF

2

,当且仅当r

1

=r

2

时等号成立，

2

2a

2

即∠F

1

PF

2

≤∠F

1

BF

2

。题中椭圆上存在点P，使得∠F

1

PF

2

=90，当且仅当∠F

1

BF

2

≥90，即

cos∠F

1

BO≤

00

22

a=

2

,∴b∈(0,

2

]

.思路二：用勾股定理：r

1

+r

2

=2a ①



b≤

22

222222

r

1

+r

2

=4c ②,由①②得：2r

1

r

2

=4b,又2r

1

r

2

≤r

1

+r

2

∴b≤c=4-b即b∈(0,

2

]

.

222

思路三：用向量的坐标运算：记P(x

0

,y

0

),

PF

1

=(-c-x

0

,-y

0

),

PF

2

=(c-x

0

,-y

0

),

PF

1



PF

2

=c

2

-x

0

2

+y

0

2

=0



(b

2

+4)x

0

2

=4(c

2

-b

2

),注意到：0≤x

0

2

≤4，∴0≤4(c

2

-b

2

)≤4(b

2

+4)

即0≤4-2b≤b+4，得b∈(0,

2

]

.

22



x

2

y

2

[巩固1]椭圆

1

的焦点为

F

1

、

F

2

，点P为其上的动点，当

F

1

PF

2

为钝角时，点P

94

横坐标的取值范围是________。

x

2

y

2

1

上一点，F

1

和F

2

是焦点，若∠F

1

PF

2

=30°，则△PF

1

F

2

[巩固2]已知P是椭圆

54

的面积为（ ）

A．

B．

4(23)

C．

4(23)

D．4

43

3

6．椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标

本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关

系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。

x

2

y

2



2

1(b0)

上变化，则

x

2

2y

的最大值为 （ ）[举例]若动点（

x,y

）在曲线

4

b



b

2



4

A．



4



2b



b

2

4

C．

4

(0b4),

(b4)



b

2



4

B．



4



2b



D．2

b

2

(0b2),

(b2)

解析：本题可以直接借助于椭圆方程把x用y表示，从而得到一个关于y 的二次函数，再

配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记x=2cos



,y=bsin



,

x2y

=4cos

2

2



+

b

2

b

2

4

, sin



∈[-1,1] 2bsin



=f(



),f(



)=-4sin



+2bsin



+4=-4(sin



-)+

4

4

2

b

2

bbb

4

；若>1



b>4,则当若0<≤1



0



=时f(



)取得最大值

4

444

sin



=1时f(



)取得最大值2

b

，故选A

x

2

y

2

1

上的点到直线2x-

3

y+3

3

=0距离的最大值是_____________。 [巩固]椭圆

94

答 案

4x

2

4y

2

51

1

，1．[巩固]B， 2、[巩固1]，[巩固2]B，[迁移]C， 3、[巩固1]

2

2521

2x

2

2x

2

x

2

y

2

x

2

2

1

，[提高]

y1,(y0)

，[迁移]

1

，

[巩固2]

53

121648

4、[巩固1] e=

3

-1

，

[巩固2]6+

2

，

3535

72

x

，[提高]；5、[巩固1]



，[巩

55

23

固2]

B； 6、

[巩固]

21