2024年3月13日发(作者：武汉一初中数学试卷)

・试题赏析・　中・？擞．７（２０１Ｉ　１年第８期・高中版）　．　

２０１　１年高考数学江西卷第１７题（文、理）别解　

＿　

３３００４７　南昌大学附属中学宋

２０１　１年高考数学江西卷文科第１７题：　

解

庆　

＿

２

２－

ｃ２

　＋ｂ

（１）方法１　３口ｃ。ｓＡ：—ａ２　＋ｃ

ｂ２

ａ２

一

＋—

—一

：口，　

在ＡＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别是口，ｂ，ｃ，已知　

３ａｃｏｓＡ＝ｃｃｏｓＢ＋ｂｅｏｓＣ　

Ｚ口　ｚａ　

（１）求ｅｏｓＡ的值；　　、

￣ｌＪｌ　ｃｏｓＡ＝｝　

方法２　３ｓｉｎＡｅｏｓＡ＝ｓｉｎＣｅｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＣ＝ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）　

（２）若ａ＝１，ｃｏｓＢ＋ｃｏｓｃ＝竽，求边ｃ的值．　

贝ＩＪ‘ＡＢｊ＝　

ＩｍＩ＋　

＝ｓ　ｎＡ，故ｃ。ｓＡ＝÷．　

衄。。　《　＿２’龃　ＩｍＩ－尉　

≤　－２，龃　１ｍＩ＿　

二　）　

Ｉ　ｍ　ｌ　

等号成立，即ｌＡＢ　Ｉ的最大值为２．　‘　

点评解法３，４中对于直线与圆相切作为约束条　

件来使用。解法５将相切作为前提条件来使用，在弦长　

的构造过程中采用的参数有所不同，所幸殊途同归，得　

到关于ｍ的解析式是一致的．　

等号成立，即ｌＡＢ　ｌ的最大值为２．・　

解法７设直线与圆的切点为Ｐ（ｃｏｓ０，ｓｉｎＯ），并设　

Ａ（２ｃｏｓａ，ｓｉｎａ），Ｂ（２ｃｏ￣，ｓｉｎｆ１），　

因为Ａ，Ｐ，Ｂ三点共线，所以赢／／赢　

因为　＝（２ｃｏｓａ－ｃｏｓ０，ｓｉｎａ－ｓｉｎ０），　

角度５解决解析几何问题，可以调动参数、向量、三　

角等各种工具为解题服务，ｌＡＢｌ实际上是一个距离，再根据　

直线和椭圆参数方程中参数的几何意义、向量的应用和三　

角计算的特征求距离的最大值，见解法６、解法７．　

ＰＢ＝（２ｃｏｓ￣－ｃｏｓＯ，ｓｉｎｆｌ－ｓｉｎＯ），　

所以（２ｅｏｓａ－ｃｏｓ０）（ｓｉｎ＃－ｓｉｎＯ）　

＝

（２ｃｏ　一ｃ０ｓ　）（ｓｉｎａ－ｓｉｎＯ），　

即（２ｃ０ｓａ－２ｏ０　）ｓｉ　一（ｓｉ眦　

因为Ｄ户上　

）ｃ０ｓＩ９＝２Ｓｉｎ（　），①　

解法６设直线ｚ的方程为｛【　

ｙ＝ｔｓｉｎａ，　

’（ｔ为参数），　

所以（２ｃｏｓａ－２ｅｏｓ￣）ｃｏｓＯ＋（ｓｉｎａ－ｓｉｎ￣）ｓｉｎＯ＝Ｏ．　②　

。　由①，②，消去ｃｏｓＯ，ｓｉｎＯ，　。　

得Ｊ（２ｅｏｓａ－２ｃｏ　）　＋（ｓｉｎａ－ｓｉｎｆ１）　＝２　ｌ　ｓｉｎ（卢一ａ）Ｉ，　

而ｌ　ＡＢ　Ｉ＝Ｊ（２ｅｏｓａ－２ｃｏ￣）　＋（ｓｉｎａ＇ｓｉｎｆ１）　，所以　

一　

因为Ｚ为切线，故关于ｔ的方程　

ｘ

／（ｍ＋ｔｃｏｓａ）２＋（ｔｓｉｎａ）２＝１　

有唯一解，上式化简为ｔ２＋２ｍｔｃｏ６ａ＋ｍ２—１＝０，　

贝４△＝４ｍ２　ｃｏｓ　ａ一４（ｍ２—１）＝０，　

化简为　ｓｉｎ　ａ＝１．将ｚ与Ｇ的方程联立，消去　，Ｙ，　

得（１＋３　ｓｉＩｌ２口）ｔ２＋２埘ｃ０ｓ　＋　－叫４＝Ｏ．　

ｌＡＢｌ＝２Ｉｓｉｎ（／３－ａ）Ｉ，此时若ｌａ－－＃ｌ兰÷，Ｉ，￣ＢＩ取最大值２．　

二　

点评最大限度地利用参数的几何意义，可以很好　

设Ａ，Ｂ对应的参数分别为ｔｔ，ｔ：，　

，

的拓展解题思路．综合利用向量、三角等工具，可以便捷　

有效地表示几何要素的位置和数量关系，为解题服务．　

从上述角度分析和解答过程容易看出，对于同样的　

￣ｌＪ　ｔｔ＋ｔ２＝　－２蕊ｍｅｏ￣

ｌ＋ｊ　Ｓｌｎ　ａ　

，

ｔｔｔ　＝　ｍ

王＋ｊ　Ｓｌｎ　ａ　，　

丽２－４

・＝

√ｃ　，　一　

至　

１＋３　ｓ　　’

几何条件组，不同的组合顺序，不同的理解方式都会对　

一　

一　

五巫　

解题方法的选择产生不同的影响，“横看成岭侧成峰”，　

不同的角度，不同的理解，不同的方法．　

（收稿日期：２０１１０６２２）　

４４￣＇ｓｉｎａ　

…

一

１＋３　８ｉｎ　—ｍ　＋３’　

２４　寸。？欺　（２ｏｌ１年第８期・南中版）　・试题赏析・　

（２）方法ｌｓｉｎＡ＝竽，　。　

即ｅｏｓ（导＋　。一　

￥１￣　ｃｓｏＢ：一ｃｏ　ｓ（　Ａ＋ｃ）：一３ｃｓｏＣ＋竽ｓｉｎｃ！　

－ｃｏｓ［２（　Ｃ＋　，ｗ　ｌ－２（　）　辱　

代入ｃ。ｓ日＋ｃｓＯＣ＝　得ｃ。ｓｃ＋　ｓｉｎｃ＝√　，　

方法２　ｓｉｎ导（ｎ詈（２ｃｏ０ｓ。　下＋Ｃ＋ｌ１）】＝２＝　号，　ｓｉｎ　导，　

ｃｏｓ　ｃ＝（　ｓｉｎｃ）　，　

ｓｉｎ“导一虿－ｃｏ∞虿　，ｓ导＝÷，即ｓ届ｐ咖Ｌｉｎ（　一导一　，手）　譬，　’　

３　ｓｉｎ２Ｃ一２　ｓｉｎｃ＋２：０，（　ｓｉｎｃ　）　＝０，　’　

￣ｃｏｓ（ｃ

一

ｓｉｎｃ＝　

ｊ　Ｓ

＝　

ＵＭ　‘

＝

譬　　

号）＝半，　

方法２　２　ｓｉｎ　Ａ一

ｃｏｓＡ＝１一丁１　了２

，

ｓｉｎ孚＝孚，　

ｉ￣ｃｏｓＣ＝－ｓｉｎ［２（詈｛）］＝一　ｎ　＝－．３　

－

学　ｏｓ　ｏｓ竽　ｎ扣警：　

方法３（ｓｉｎＣ＋ｃｏｓｃ一１）２＝ｓｉｎ２导，　

４ｓｉｎＣｃｏｓＣ一４ｓｉｎＣ一３ｅｏｓＣ＋３＝Ｏ，

．　

２√＿３　Ｂ—Ｃ　

—　嘲丁，　

（４ｓｉｎＣ一３）（ｃｏｓＣ一１）＝０，由ｃｏｓＣ＃１得ｓｉｎＣ＝二・　４・　

则ｃｏｓ警　・　ｃ　ｃ．　１＝　＝ＣＯＳ　吼　，　

方法４　令ｔ＝ｓｉｎ导，则ｔ＞０且２ｔ　＋ｌ＝２ｔ２，　

２ｘ／Ｔ￣　＝２ｔ一１，８ｌ　＿４ｔ一３＝Ｏ，　

ｃ　一２。　

方法３　．１－　，　

①　

知＝　争孚，　

ｓ　＝２ｓ　ｃ　

Ｃ　３　

１＋ｃ

２

２

ｂ

１＋ｂ

２

ｃ２

（ｂ＋ｃ）（１＇　ｂ２－ｃ２＋２ｂｃ）＝２

ｃｏｓ　

－－

－

４

一

２ｃ

２６

３，　

则６＋　＝　．　，　、　

②　

（２）方法１（ｓｉｎ　Ｃ４ｉｚｏｓ　Ｃ．２＝１＋８ｉｎｃ＝÷，　

将②代入①得ｏ：４ｃ２—４　＋３：（２ｃ　）　ｃ＝　．　

●　

（ｓ；ｎ　一ｃｏｓ导）　＝・　ｎｃ　÷，　

方法４令ｔ：ｔａｎ　Ｃ

，

则由ｃｏｓｃ＋　ｓｉｎＣ＝　（见方　

由。由　“ｉ　　＋Ｃ＋ｃ。鸺ｓ　导＝譬＇，ｓ龇ｉｎ导一虿－ｃｏ０ｓ　虿’导＝÷，得　侍　

法・）得誊＋　＝　，解　得ｔ蔫，、　

ｃｏｓ

导＝　从而ｃＩ２—４口＋６２＿４¨８－０，　

ｓｉｎｇ：　２ｔ

：＝　一　；

孚Ｉ　，　

有实数解，则△＝１６—４（ｂ　一４６＋８）＝一４（ｂ－２）　Ｉ＞０，　

故ｂ＝２，从而口＝２・　

　．

２０１１年高考数学江西卷理科第１７　题：　‘　。

ｓｉ以－ｓｉｎ　＝ｃｏｓ　Ｃ

＝　

￣ＡＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别是口，６，ｃ，已细　

盎ｓｉｎｃ＝　・．　

ｓｉｎｃ＋ｃｏｓｃ＝ｌ＿ｓｉｎ导，　；‘　

方法２同方法ｌ，有ｃ０ｓ导＝　，　

（１）求ｓｉｎＣ的值；　一　

（２）若０，２＋ｂ２－－４（口＋６）　８，求边ｃ的值．　’　

从而ｃ　ｃ＝２　ｃ０ｓ２詈一ｌ＝　ｕ，　

解（１）方法１　ｓｉｎ导（２ＣＯ‘Ｓ等　１＿）＝２　ｓｉｎ２．　Ｃｚ，　

又口＝６；　故ｃ２＝ａ２＋ｂ２—２ａｂｃｏｓＣ；８＋２　，　

Ｃ　．　Ｃ　１　

所以ｃ：　＋１．　

ｃ∞　－ｓｍ　一　’　

ｆ妇稿日期：２０１１０６２２）　


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参数,解题,直线,过程,解法,向量