2024年3月13日发(作者：淮滨高考数学试卷分析)

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２８・　重庚　《数学教学通讯￣２００２年第２期（总第１４７期）　

全　寓孝皱学一一（寝）－第１７感始多　魔悬考　

（河南省济源第一中学数学妇４５４６５０）　费恩来　

题耳：（２ｏｏ１年全国高考数学试卷理科第　

ｌ　７题）如图ｌ，在底面是直角ｓ　

梯形的四棱锥Ｓ—ＡＢＣＤ　

中，　ＡＢＣ＝９０。，ＳＡ上面　

８ＣＤ，ＳＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝　

１　Ａ　

１，ＡＤ＝÷．　

‘　

（１）求四棱锥Ｓ—　

图１　

ＡＢＣＤ的体积；　

（２）求面ＳＣＤ与面ＳＢＡ所成二面角的正　

切值．　

第（１）题容易用体积公式直接求解．而第　

（２）题则是一道典型的无棱二面角问题，故在　

这里进行探讨．　

思考１　正向入手，找“棱”求角　

延长ＢＡ、ＣＤ相交于点Ｅ１贝４　ＳＥ就是所求　

二面角的棱．　

解法ｌ：如图２，（定义法　

作角）　

取线段ＳＥ的中点为　

Ｆ，连结ＤＦ．　

由ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，可　

得ＡＦ上ＳＥ．　

可得　

又在△ＤＳＥ中，由题意　

图２　

ＤＳ一、　一　，　

ＤＥ一　＋ＡＤ一２一Ｉ＿，／５

，　

所以ＤＳ—ＤＥ，又Ｆ为ＳＥ的中点，所以　

Ｄｂ、．．ＳＥ．从而，　Ｄ　Ａ是所求二面角的平面　

角．　

在Ｒｔ△ＤＡＦ中，可得　

一　

ｔａｎ　…＝　一去＝孚．　

２　

故所求二面角的正切值是÷　．　

解法２　（三垂线法找角）　

由ＳＡ上面ＡＢＣＤ，得ＳＡ上ＢＣ，　

又由题意可知ＢＣ上ＥＢ，　

所以ＢＣ上面ＳＥＢ．　

所以ＳＢ是ＣＳ在面ＳＥＢ上的射影．　

又因为ＡＤ／／ＢＣ，ＢＣ一２ＡＤ．　

所以ＥＡ—ＡＢ＝ＳＡ，所以ＳＥ上ＳＢ，从　

而ＳＥ上ＣＳ．　

所以，　ＢＳＣ是所求二面角的平面角．　

在Ｒｔ△ＣＢＳ中．ＳＥ一　ＳＡ　＋ＡＢ　＝　

，　一ｌ，所以ｔａＤ　Ｂｓｃ一面ＢＣ＝去　

＝　，

故所求二面角的正切值是　．　

以上两种解法关键在于先找“棱”，再寻　

“角”，是这类问题的通法．　

思考２　逆向发散，以值求值　

ｌ薛法３：如图３，（刺用射影面积求值）　

由题意可知ＢＣ上面Ｓ　

Ｓ　Ａ，ＡＤ｝面ＳＢＡ．　

则△ＳＣＤ在面ＳＢＡ上　

的射影图形是△ＳＢＡ．　

不妨设所求二面角的Ａ　

大小为０，这里０∈（０，÷）．　圈３　

由题意可得ｓ　一｛　

ＡＢ・ｓＡ＝｛．连结ＡＣ，则在△ｓｃＤ中，有　

ＳＣ一．．巧　干—万　＝　

Ｆ　唾　干　一　ｉ，　

ＣＤ一　ＡＢ　＋（ＢＣ—ＡＤ）。：　

ｒ　

ＳＤ一　。。孚．　

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《数学教学通讯：￣２００２年第２期（总第１　ａ，７期）　重庆・２９・　

一

道２００１年舂季高考题的歧义　

（广西壮族自治区宾阳中学　５３０４０５）　韦均艺　

在ｌ与２之问插入”个正数ｄ　，　，　“，　

ｎ　，使这ｎ＋２个数成等比数列：又在１与２之间　

插入”个正数ｂ　，ｂ　，ｂ　一…ｂ使这　＋２个数成　

等差数列．记Ａ　＝ｎｌｎ２口；…　，Ｂ　＝ｂ】＋ｂ２＋ｂ　

＋…＋ｂ　．　

Ｂ　＝ｂ　＋ｂ２＋ｂ　＋…＋　＝詈”，所以　

ｂ　一Ｂ　一Ｂ　一ｌ一昔　一昔（”一１）一昔．　

所以，１，ｂ。，ｂ　～ｂ…，　，２，即为１，昔，昔，　

｛，…，　，２不成等差数列．　

其实上面的这种解法是错误的．　

因为，”是插入正数的个数，Ｂ　、Ｂ…分别　

表示插入　个正数与　一１个正数时的这些数　

的和，是不同的两种情况，不能使用ｂ　＝Ｂ　一　

Ｂ　一】．　

（Ｉ）求数列｛Ａ　｝和｛Ｂ　）的通项；　

（Ⅱ）当　≥７时，比较Ａ　与Ｂ　的太小，并　

证明你的结论．　

这是２００１年春季高考题２０题，其中第一　

问中求｛Ｂ　｝的通项．这是一个较容易解决的问　

题：　

因为１，ｂ　，ｂ　，ｂ。，……ｂ　２成等差数列，　

所以ｂ　＋ｂ　一１＋２—３，　

例如，当　＝１时，在１与２之间插入１个　

所以Ｂ　一　毒　．　：　．　

所１２。数列｛Ｂ　）的通项Ｂ　＝昔　．：　

但是，有些学生有这样一个疑点：　

一

正数，Ｂ。　ｂ。：　．１：寻，此是数列为１，要，　

２成等差数列．　

当　＝２时，在１与２之间插入２个正数，　

ｂ。一号・　一号，所以ｂ　＝寻．　

Ｂ　一６　＋６：＝导．２—３，此是数列为１，｛，导，　

２成等差数列．　

当　＝３时，在１与２之间插人３个正数，　

Ｂ　２＝ｂ】＋ｂ２＝普－２—３．所以ｂ？一Ｂ　２一　

Ｂ　＝３一昔一昔．　

Ｂ　一ｂ　＋ｂ　＋ｂ：＝昔・３一｛，所以ｂ。一　

Ｂ　一Ｂ　一｛一３一｛．　

Ｂ　＝ｂ　＋ｂ　＋ｂ　＝要・３：罢，此是数列为ｌ，　

寻，鲁，｛，２成等差数列．　

同理可得”取其它值的情况．不能把不同　

情况混为一谈．　

●｝●｝●｝●｝●｝●｝●｝●｝●｝●｝●｝・‘　●｝・‘　●　●｝１｝・●｝　●｝●｝●｝●｝●｝・‘　●｝●｝●｝●｝●｝●｝・‘　●｝・‘　●｝・‘　●｝●｝●｝●｝●　●｝・‘　●　

所以△ＳＣＤ是等腰三角形．取ＳＣ的中点　

为Ｈ，连结ＤＨ，　

则Ｓ△ｓ∞：　１．ＳＣ．ＤＨ　

故ｔａｎｇ＝　，即所求二面角的正切值是　．　

・

ＳＣ・√ｃＤ　ｒＳ—２Ｃ—　、２　—，／４—Ｔ　　

１　

所　ｓ　一　一　一孚　

丁　

利用射影面积公式求角，关键是找对应图　

形并计算面积，把求角问题转化为求角的余弦　

值，从而优化了解题思路．　

总之，在解数学题时，思维不要局限于一种　

模式，一个方面，应当变换不同的角度进行分析　

探索．　


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二面角,面积,所求,正数