上海市高一第一学期期中数学试卷(共3套)

2024年1月17日发(作者：新津区中考卷子数学试卷)

上海市华师大二附中高一上学期期中考试试题

数学

一、填空题：（每空3分，共42分）

1、已知集合A{1,1,2,4},B{1,0,2}, 则AB=

2、不等式x20的解集为_____________（用区间表示）

x33、已知集合M={(x，y)|4x＋y=6}，P={(x，y)|3x＋2y=7}，则M∩P＝

4、已知全集U=R，集合P{x|x5x60}，那么CUP

5、已知集合A={1，3，2m+3}，B={3,

m}，若BA，则实数m=_____

6、设全集UM22N{1,2,3,4,5},MCUN{2,4},则N

7、满足{1，2}M{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是

8、已知xR，命题“若2x5，则x7x100”的否命题是

9、设x0，则x23的最小值为

x12210、若关于x的不等式axbxc0的解集为{x|－1＜x＜2}，则关于x的不等式cxbxa0的解集是

11、在R上定义运算:xyx(1y).若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则实数a的取值范围是

2212、若关于x的不等式x2x3a2a1在R上的解集为，则实数a的取值范围是 。

13、设实数a,b满足aab2b30，且a0,b0，那么1的最小值为

ab14．定义满足不等式xAB(AR,B0)的实数x的集合叫做A的B 邻域。若abt（t为正常数）的ab邻域是一个关于原点对称的区间，则ab的最小值为

二、选择题：（每题3分，共12分）

15、设集合Mxxx0，Nxx2，则( )

（A）M222N （B）

MNM （C）MNM （D）MNR

1

16、下列命题中正确的是：（ ）

（A）若acbc，则ab

（C）若 (B) 若a2>b2，则ab

11，则ab

ab (D) 若ab，则ab

17、设命题甲为“0

（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；

（C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件

18、对于使x2xM成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做x2x的上确界,若22a,bR,且ab1，则A．12的上确界为（ ）

2ab991 B． C． D．4

224三、解答题：（6＋6＋8＋6＋8＋12分，共46分）

x3219、解不等式组

x12x6x8020、记关于x的不等式1（1）若a3，求P；

（2）若PQQ，求正数a的取值范围。

21、设集合A{x|x4x0,xR}，B{x|x2(a1)xa10,xR}，

（1）若A∩B＝A∪B，求实数a的值；

（2）若A∩B= B，求实数a的取值范围。

22、若实数x、y、m满足|xm|>|ym|，则称x比y远离m．

(1) 若x21比3远离0，求x的取值范围；

(2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3b3比a2bab2远离2abab；

2

222a10的解集为P，不等式|x2|3的解集为Q

x1

23、某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时)，经测算，0.75元/千瓦时之间，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a.试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.

24、已知一元二次函数f(x)axbxc(a0,c0)的图像与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c,0)，且当0xc时，恒有f(x)0.

（1）当a1，c21时，求出不等式f(x)0的解；

2（2）求出不等式f(x)0的解(用a,c表示)；

（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；

（4）若不等式m2km1bac0对所有k[1,1]恒成立，求实数m的取值范围。

四、附加题：（每题4分，共20分）

25、定义集合运算：A⊙B=｛z|z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A{0,1}，B{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为

2x2x2026、关于不等式组2的整数解的集合为{2}，则实数k的取值范围是__

2x(2k5)x5k0

3

27、设集合A{x|x2axa0,xR}，B{x|x4xa50,xR}，

若A和B中有且仅有一个是，则实数a的取值范围是

28、设集合S{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当xA时，若有x1A且x1A，则称x为集合A的一个“孤立元素”.，那么集合S中所有无“孤立元素”的4元子集有 个

29、设x(0,)，则221229的最小值为

x12x

4

参考答案

一、填空题：（每空3分，共42分）

1、{1,0,1,2,4} 2、

(,3)[2,) 3、{(1,2)} 4、(1,6)

25、 1或3 6、15 8、若x2或x5，则x7x100 9、231 10、{1,3,5} 7、113(,1)(,) 11、

(,) 12、(1,3)

22211213、 14、t

218二、选择题：（每题3分，共12分）

15、B 16、D 17、A 18、B

三、解答题：（6＋6＋8＋6＋8＋12分，共46分）

19、解：由x3x12得：0，∴x1或x1

x1x12由x6x80得：317x317

∴不等式组得解集为(317,1)[1,317)

20、解：（1）a3时，P{x|x30},∴P(1,3)

x1（2）∵PQQ，∴PQ, 而Q(5,1)，P(1,a)，（a0）

∴0a1

21、解：(1) A={x|x2+4x =0，x∈R}={0，-4}

若A∩B＝A∪B，则AB，

∴a1

（2）若A∩B= B，则 BA

∴ B=或{0}或{-4}或{0，-4}；

①当B=时，⊿=[2(a+1)]2-4•(a2-1)<0 a< -1

02(a1)②当B={0}时，

 a=-1

20a1442(a1)③当B={-4}时，

 a不存在

216a1

5

④当B={0，-4}时，402(a1)0a12 a=1

∴ a的取值范围为(,1]{1}。

22、解：

22(1)由题设|x10||30| ，即x13或x13

2∴x2或x2；

(2) 对任意两个不相等的正数a、b，

有a2bab22abab，a3b32abab，

33222因为|ab2abab||abab2abab|(ab)(ab)0

3322所以|ab2abab||abab2abab|

即a3b3比a2bab2远离2abab；

23、解：设新电价为x元/千瓦时(0.55x0.75)，则新增用电量为依题意，有(a0.2a千瓦时.

x0.40.2a)(x0.3)a(0.80.3)(120%)，

x0.4即(x0.2)(x0.3)0.6(x0.4)，

整理，得x1.1x0.30,

解此不等式，得x0.6或x0.5，

又0.55x0.75,

所以，0.6x0.75，

因此，xmin0.6，

即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%.

24、解：（1）当a1，c2112时，f(x)xbx，f(x)的图像与x轴有两个不同交点，2211设另一个根为x2，则x2，x21，

221则

f(x)0的解集为

(,1).

21f()0，2

6

(2)f(x)的图像与x轴有两个交点，f(c)0，

设另一个根为xc2，则cx2ax12a

又当0xc时，恒有f(x)0，则1ac，

∴f(x)0的解集为(c,1a)

（3）由(2)的f(x)的图像与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a,0),(0,c)

这三交点为顶点的三角形的面积为S12(1ac)c8，

ac16c2c216c18

故a0,18.

（4）f(c)0，∴ac2bcc0，

又∵c0，∴acb10，

要使m22km0，对所有k[1,1]恒成立，则

当m0时，m(2k)max＝2

当m0时，m(2k)min＝－2

当m0时，022k•0，对所有k[1,1]恒成立

从而实数m的取值范围为

m2或m0或m2

注：第4小题也可运用线性函数的“刚性”求解

四、附加题：（每题4分，共20分）

25、 18 26、

[3,2) 27、

(1,0][1,) 28、29、 25

7

6

上海市延安中学第一学期期中考试

高一年级数学试卷

（考试时间：90分钟 满分：100分）

一、 填空题（本大题共42分，每题3分）

1、 已知集合A{1,2}，集合B{1,0,1}，则AB .

1x22、 函数f(x)的定义域是

2x1x x03、 已知函数f(x)2，则ff2= .

x1 x04、 已知函数f(x)2x,g(x)3x1，则f(x)g(x) .

x5、 已知全集U{0,1,2,3,4}，集合A{1,2,3},B{2,4}，则6、 已知集合AUAB .

B .

x,y|3xy7，集合Bx,y|2xy3，则A7、 不等式x32的解是 .

8、 不等式x1x30的解是 .

2x16N*且aZ，用列举法表示集合M .

5a9、

命题“如果a2且b2，那么ab4”的否命题是 .

10、 已知集合Ma11、 设集合P满足1,2P0,1,2,3,4，满足条件的P的个数为 .

12、 定义集合A,B的一种运算：ABxxx1x2,x1A,x2B，若A1,2，B1,2,3，则AB中所有元素之和为 .

13、 已知集合Ax2x5,Bxa1x2a1，且满足BA，则实数a的取值范围是

.

14、 已知不等式xy为 .

8

a416对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值xy

二、 选择题（本大题共15分，每题3分）

15、 若a、b、cR，则下列四个命题中，正确的是 （ ）

（A）若ab，则acbc （B）若ab,cd，则acbd

（C）若ab，则

16、 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）

（A）y2211 （D）若ab，则a2b2

abx2和y3x3 （B）y1x和yx12

x210（C）y和yx1 （D）yx和y1

x117、 下列四个命题中，正确的是 （ ）

（A）奇函数的图像一定过原点 （B）yx14x4是偶函数

2（C）yx1x1是奇函数 （D）yx1是奇函数

18、 下列函数中，最小值为2的是 （ ）

x21（A）yx2 （B）y

2xx221（C）yx22x0x22 （D）yx22x12

19、 若a1、b1、c1、a2、b2、c2R，且都不为零，则“a1b1c12”是“关于x的不等式a1xb1xc10a2b2c22与a2xb2xc20的解集相同”的 （ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件

9

三、解答题（本大题共43分，其中第20题6分，第21题8分，第22题9分，第23题10分，第24题10分）

1120、解不等式组x

4x12

21、对任意xR，函数yk2k2x2k2x1的图像始终在x轴下方，求实数k的取值范围。



10

22、集合Axx3x202，Bxxaxa102，Cxxmx202，若ABA,ACC，求实数a的值及实数m的取值范围。

23、某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本Cx，当年产量不足80千件时，Cx1210000，x10x（万元）；当年产量不小于80千件时，Cx51x1450（万元）3x通过市场分析，确定每件商品的售价为0.05万元，且此时该厂生产的商品能全部售完。

（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

11

m2n2mn24、（1）若a、b、m、nR，求证：；

abab2（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知x0,

129，求的最小值，并求出此时x的值。

2x12x

12

参考答案

一、 填空题（本大题共42分，每题3分）

111、1,0,1,2 2、1,,1 3、3 4、26xx0 5、0,2,4

226、2,1 7、3,1 8、3,1 9、如果a2或b2，那么ab4

选择题（本大题共15分，每题3分）

10、1,2,3,4 11、7个 12、14 13、a3 14、4

二、

15、C 16、B 17、C 18、D 19、D

三、 解答题

120、,4221、,2

51,

22、a2,3，m322,22

12x40x2500x80323、（1）Lx

100001200xx80x（2）当产量为100千件时，所获利润最大，最大利润为1000万元。

24、（1）略；

1 （2）当x时取得最小值，最小值为25.

5

13

14

上海市黄浦区高一（上）期中数学试卷

一、填空题：（每小题3分，满分36分）

1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c= ．

2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是 ．

3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）= ．

4．不等式≤0的解集是 ．

5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是 ．

6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是 ．

7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）= ．

8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A

B（横线上填入⊆，⊇或=）

9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B= ．

10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为 ．

11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为 ．

12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）= ．

二、选择题：（每小题4分，满分16分）

13．下列写法正确的是（ ）

A．∅∈{0} B．∅⊆{0} C．0⊊∅ D．∅∉∁R∅

14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（ ）

A．0个 B．1个 C．1个或2个

15．以下结论正确的是（ ）

A．若a＜b且c＜d，则ac＜bd

B．若ac2＞bc2，则a＞b

C．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d

15

D．0个或1个

D．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B

16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：

①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）

②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1

③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1

④A=B的充要条件是card（A）=card（B）

其中，真命题有（ ）

A．①②③ B．①②

三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．

17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}

（1）已知a=3，求集合（∁RA）∩B；

（2）若A⊈B，求实数a的范围．

18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2

（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；

（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．

C．②③ D．①④

16

19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？

20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：

例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2

（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；

（提示：a+b+c+d≥4）

，得到x3+1+1≥3x，于是x3（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；

（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．

17

上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：（每小题3分，满分36分）

1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=

6 ．

【考点】集合的相等．

【分析】利用集合相等的定义求解．

【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}，

∴a+b+c=1+2+3=6．

故答案为：6．

2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是 真命题 ．

【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．

【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案．

【解答】解：若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，

则原命题的逆否命题是“若x∉Z，则x∉N”，是真命题

故答案为：真命题

3．已知函数f（x）=3） ．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．

【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，

，g（x）=，则f（x）•g（x）= ﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，∴f（x）•g（x）=•=﹣，

x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），

故答案为：﹣

18

，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．

4．不等式≤0的解集是 {x|x≤或x＞4} ．

【考点】其他不等式的解法．

【分析】原不等式等价于，解不等式组可得．

【解答】解：不等式≤0等价于，

解得x≤或x＞4，

∴不等式≤0的解集为：{x|x≤或x＞4}

故答案为：{x|x≤或x＞4}．

5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是 {x|x＞﹣【考点】其他不等式的解法．

【分析】确定1≤a+2≤3，即可解关于x的不等式ax+4＞1﹣2x．

【解答】解：∵a2≤1，

∴﹣1≤a≤1，

∴1≤a+2≤3，

∴不等式ax+4＞1﹣2x化为（a+2）x＞﹣3，∴x＞﹣∴关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣故答案为{x|x＞﹣

6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是 （4，+∞） ．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．

【解答】解：A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4}，

若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，

即[0，4]⊆（﹣∞，a），故a＞4，

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} ．

，

}．

}．

故答案为：（4，+∞）．

7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=

2x2+3x+1 ．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】令x﹣1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x﹣1），整理替换即可．

【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，

故f（x﹣1）=f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1，

故f（x）=2x2+3x+1，

故答案为：2x2+3x+1．

8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A ⊆

B（横线上填入⊆，⊇或=）

【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．

【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论．

【解答】解：根据题意，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，

表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，

B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，表示所有比7的整数倍小4的整数，

也表示所有比7的整数倍大3的整数，

故A⊆B；

故答案为：⊆．

9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B= [﹣1，1] ．

【考点】交集及其运算．

【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可．

【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（﹣∞，1]，

由集合B中的函数y=x2﹣1≥﹣1，集合A=[﹣1，+∞），

则A∩B=[﹣1，1]

故答案为：[﹣1，1]

10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为 [﹣1，1] ．

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【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可．

【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴解得﹣1≤x≤1；

函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：[﹣1，1]；

故答案为：[﹣1，1]

11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且【考点】基本不等式．

【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．

=1，

=1，则三角形面积的最小值为

4 ．

【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴1≥2∴，

≤，ab≥8，

当且仅当b=2a时“=”成立，

故S△=ab≥4，

故答案为：4．

12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）= {（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} ．

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．

【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，

b={1，2，3}，

所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，

b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；

所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．

故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．

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二、选择题：（每小题4分，满分16分）

13．下列写法正确的是（ ）

A．∅∈{0} B．∅⊆{0} C．0⊊∅ D．∅∉∁R∅

【考点】元素与集合关系的判断．

【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由∅是任何集合的子集，知∅⊆{0}．

【解答】解：元素与集合间的关系是用“∈”，“∉”表示，

故选项A、D不正确；

∵∅是不含任何元素的

∴选项C不正确

∵∅是任何集合的子集

故选：B．

14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（ ）

A．0个 B．1个 C．1个或2个

【考点】子集与真子集．

【分析】当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求．

【解答】解：当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，

故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合{

（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{

（x，y）|x=2}中含有元素只有一个，

当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，

综上可得，集合{

（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{

（x，y）|x=2}中含有元素的个数为0个或1个

故选：D．

15．以下结论正确的是（ ）

A．若a＜b且c＜d，则ac＜bd

B．若ac2＞bc2，则a＞b

C．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d

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D．0个或1个

D．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B

【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．

【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论．

【解答】解：若a=﹣1，b=0，c=﹣1，d=0，则a＜b且c＜d，但ac＞bd，故A错误；

若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故B正确；

若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；

若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A与B不存在包含关系，故D错误；

故选：B．

16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：

①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）

②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1

③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1

④A=B的充要条件是card（A）=card（B）

其中，真命题有（ ）

A．①②③ B．①② C．②③ D．①④

【考点】集合中元素个数的最值．

【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．

【解答】解：①A∩B=∅Û集合A与集合B没有公共元素，正确；

②A⊆B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；

③A⊈B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；

④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．

故选B．

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三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．

17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}

（1）已知a=3，求集合（∁RA）∩B；

（2）若A⊈B，求实数a的范围．

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；

（2）A⊈B时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．

【解答】解：集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，

B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}={x|x2﹣7x+10≤0}={x|2≤x≤5}；

（1）当a=3时，A={x|4≤x≤9}，

∴∁RA={x|x＜4或x＞9}，

集合（∁RA）∩B={x|2≤x＜4}；

（2）当A⊈B时，a+1＜2或2a+3＞5，

解得a＜1或a＞1，

所以实数a的取值范围是a≠1．

18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2

（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；

（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；

（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a的取值范围．

【解答】解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；

（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，

∴f（1）=a+2﹣2a＜0，

解得a＞2，

∴a的取值范围是a＞2；

（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，

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∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；

又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣，

∴﹣2﹣（）+1＞0，

解得0＜a＜2；

又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，

解得a∈R；

综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．

19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．

【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，

由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，

）2km+400km所用的时间，即可得到函数因此y==+，

因为y=+≥2=10，

当且仅当，即v=80时取“=”．

故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．

20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：

例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2

（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；

，得到x3+1+1≥3x，于是x3

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（提示：a+b+c+d≥4）

（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；

（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．

【考点】基本不等式．

【分析】（1）根据新定义可得x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3，解得即可，

（2）根据新定义可得x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6，解得即可，

（3）根据新定义可得x3﹣ax=x3++﹣ax﹣，解得即可．

【解答】解：（1）x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3≥4x﹣4x﹣3=﹣3，当且仅当x=1时，取到最小值﹣3，

（2）x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6≥3x﹣3x﹣6=﹣6，当且仅当x=3时，取到最小值﹣6，

（3）x3﹣ax=x3+小值﹣

+﹣ax﹣≥ax﹣ax﹣=﹣，当且仅当x=时，取到最

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