2024年1月17日发(作者：2011邵阳一模数学试卷)
（共七套）2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（一）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）
1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（ ）
A．第一象限的角
四象限的角
2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；
②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．
I．简单随机抽样法；
Ⅱ．分层抽样法．
上述两问题和两方法配对正确的是（ ）
A．①配I，②配Ⅱ B．①配Ⅱ，②配Ⅰ C．①配I，②配I
配Ⅱ，②配Ⅱ
3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x
识图能力y
由表中数据，求得线性回归方程为， =x+，若某儿童的记忆能3
5
6
8
4
6
8
10
D．①B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第
力为11时，则他的识图能力约为（ ）
A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．9
4．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为（ ）
A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8
5．若A． B． C．， D．
D．i＜=8
，则sin（2π﹣α）=（ ）
6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683
431 257 393 027 556 488 730 113
537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50
7．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（ ）
A．（﹣4，3） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4）
9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，xΩ2，﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．当x=函数y=f（时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则﹣x）是（ ）
对称
A．奇函数且图象关于直线x=B．偶函数且图象关于点（π，0）对称
C．奇函数且图象关于（D．偶函数且图象关于点（
，0）对称
，0）对称
二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）
11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积
为
．
12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为
．
13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p=
．
组数
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
分组
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50）
[50，55）
低碳族的人数
120
195
100
a
30
15
占本组的频率
0.6
p
0.5
0.4
0.3
0.3
14．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（（
）+f（）+f（）+…+f）的值为
．
三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过
程）
15．（10分）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社未参加书法社团
团
6
30
参加演讲社团
未参加演讲社团
8
6
（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
16．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
17．（10分）已知：﹣（Ⅰ）求 sinx•cosx的值；
（Ⅱ）求
＜x＜﹣π，tanx=﹣3．
的值．
四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）
18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）
A． B． C． D．19．函数y=
，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（ ）
A． B． C．
D．
五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）
20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移的图象，若函数g（x）在区间实数a的取值范围是
．
个单位得到函数g（x）上均单调递增，则和六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）
21．（11分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（Ⅱ）设点（a，b）是区域间[1，+∞）上是增函数的概率．
22．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．
（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；
内的随机点，求函数f（x）在区
（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．
23．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的
点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，等式logax＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．
时，不
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）
1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（ ）
A．第一象限的角
四象限的角
【考点】GC：三角函数值的符号．
【分析】根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．
【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，
又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，
∴θ是第三象限角．
故选：C．
【点评】本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．
B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；
②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．
I．简单随机抽样法；
Ⅱ．分层抽样法．
上述两问题和两方法配对正确的是（ ）
A．①配I，②配Ⅱ B．①配Ⅱ，②配Ⅰ C．①配I，②配I
配Ⅱ，②配Ⅱ
【考点】B3：分层抽样方法；B2：简单随机抽样．
D．①【分析】由题意知①的总体中个体明显分层两，用分层抽样，②的总体中个体的数目不大用简单分层抽样．
【解答】解：①、总体中个体明显分层两层：来自城镇的学生和来自农村的学生，故用分层抽样来抽取样本；
②，总体中个体的数目是100，不是很大，故用简单分层抽样来抽取样本．
故选B．
【点评】本题的考点是选择抽样方法，即根据总体的特征和抽样方法适用的条件进行选择最佳方法．
3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x
识图能力y
由表中数据，求得线性回归方程为， =x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（ ）
A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．9
3
5
6
8
4
6
8
10
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】由表中数据计算、，根据线性回归方程过样本中心点求出，
写出线性回归方程，利用回归方程计算x=11时的值．
【解答】解：由表中数据，计算=×（4+6+8+10）=7，
=×（3+5+6+8）=5.5，
且线性回归方程=x+过样本中心点（，），
∴=5.5﹣×7=﹣0.1=﹣∴线性回归方程为=x﹣当x=11时， =×11﹣，
；
=8.7，
即某儿童的记忆能力为11时，他的识图能力约为8.7．
故选：B．
【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．
4．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为（ ）
A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=8
【考点】EA：伪代码．
【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，
再根据S=1×10×8×6=480得到程序中UNTIL后面的条件．
【解答】解：因为输出的结果是480，即S=1×10×8×6，需执行3次，
所以程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直到型循环语句问题，语句的识别是一个逆向性思维过程，是基础题．
5．若A． B． C．， D．
，则sin（2π﹣α）=（ ）
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，再根据α的范围求得sinα的值，可得要求式子的值．
【解答】解：∵又故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
=﹣cosα，∴cosα=．
，∴sinα=﹣
=﹣，=﹣sinα=，∴sin（2π﹣α）6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用
计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683
431 257 393 027 556 488 730 113
537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50
【考点】CE：模拟方法估计概率．
【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析所给的数据可得表示三天下雨的数据组数，根据概率公式，计算可得结果．
【解答】解：根据题意，用随机模拟试验模拟三天中恰有两天下雨的结果，
20组数据中表示三天中恰有两天下雨的有191、271、932、分析可得：812、393、027、730，共7组，
则这三天中恰有两天下雨的概率近似为故选：B．
【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．
=0.35；
7．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其
中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．
【解答】解：由已知中的茎叶图得，
甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；
设污损的数字为x，
则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，
当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，
即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为当x=8，甲的平均数=乙的平均数，
即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，
﹣=．
，
所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣故选：D．
【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．
8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（ ）
A．（﹣4，3） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4）
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】利用三角函数的定义有sinα=，cosα=，从而可知选项．
【解答】解：由于sinα=，cosα=﹣，
根据三角函数的定义：sinα=，cosα=，
可知x=﹣4，y=3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．
9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，xΩ2，﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．
【分析】分别求出集合A，B对应区域的面积，根据几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：区域Ω1对应的面积S1=4π，
作出平面区域Ω2，则Ω2对应的平面区域如图，则对应的面积S=2π+4，则根据几何概型的概率公式可知若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为P=故选；D
=．
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．
10．当x=函数y=f（时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则﹣x）是（ ）
对称
A．奇函数且图象关于直线x=B．偶函数且图象关于点（π，0）对称
C．奇函数且图象关于（D．偶函数且图象关于点（，0）对称
，0）对称
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．
【分析】由题意可得sin（而可求y=f（+φ）=﹣1，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，从
=﹣Asinx，﹣x）利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由x=值，
∴﹣A=Asin（∴+φ=2kπ﹣时函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小+φ），可得：sin（+φ）=﹣1，
，k∈Z，
，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣），
∴f（x）=Asin（x﹣
∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x﹣）=﹣Asinx，
∴函数是奇函数，排除B，D，
∵由x=时，可得sin取得最大值1，故C错误，图象关于直线x=对称，A正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，属于基础题．
二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）
11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为
．
【考点】G8：扇形面积公式．
【分析】由已知中，扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是2弧度，我们可设计算出弧长与半径的关系，进而求出弧长和半径，代入扇形面积公式，即可得到答案
【解答】解：∵扇形圆心角2弧度，可得扇形周长和面积为整个圆的．
弧长l=2πr•=2r，
故扇形周长C=l+2r=4r=6，
∴r=，
扇形面积S=π•r2•=．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是扇形面积公式，弧长公式，其中根据已
知条件，求出扇形的弧长及半径，是解答本题的关键，属于基础题．
12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为
c＞b＞a ．
【考点】GA：三角函数线．
【分析】分别作出三角函数线，比较可得．
【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，
作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，
故答案为：c＞b＞a．
【点评】本题考查三角函数线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．
13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如
下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p=
65 ．
组数
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
分组
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50）
[50，55）
低碳族的人数
120
195
100
a
30
15
占本组的频率
0.6
p
0.5
0.4
0.3
0.3
【考点】B8：频率分布直方图．
【分析】由频率=，得第一组人数为200，由频率分布直方图得第一组的频率为0.2，从而n=1000，进而a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，求出P==0.65，由此能求出a•P．
，得第一组人数为： =200，
【解答】解：由频率=由频率分布直方图得第一组的频率为：0.04×5=0.2，
n==1000，
∴a=1000×0.02×5=100，
第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，
∴P==0.65，
∴a•P=100×0.65=65．
故答案为：65．
【点评】本题考查频率率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率=
及频率分布直方图的合理运用．
14．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（（）的值为
4033 ．
）+f（）+f（）+…+f【考点】3O：函数的图象；3T：函数的值．
【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的解析式，分析可得f（x）+f（2﹣x）=2，将f（[f（）+f（）+f（）]+[f（）+f（）+f（）+…+f（）]+…[f（）变形可得）+f（）]+f（1），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）=x+sinπx，f（2﹣x）=（2﹣x）+sin[π（2﹣x）]=（2﹣x）﹣sinx，
则有f（x）+f（2﹣x）=2，
f（（）+f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=[f（）+f（）]+[f）]+…[f（）]+f（1）=4033；
故答案为：4033．
【点评】本题考查了利用函数的对称性求函数值的应用问题，关键是依据函数的解析式确定函数的对称中心．
三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过
程）
15．（10分）（2017春•台江区校级期中）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社未参加书法社团
团
6
30
参加演讲社团
未参加演讲社团
8
6
（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），利用古典概率计算公式即可得出．
（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有15个根据题意，这些基本事件的出现是等可B2}，能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，
{A1，B3}，共2个，利用古典概率计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演
讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P=．（4分）
（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，
{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．…（6分）
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．…（8分）
因此，A1被选中且B1未被选中的概率为．…（10分）
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（10分）（2017春•黄山期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．
（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．
（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．
【解答】（本小题10分）
解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得
（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1
得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）
（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）
因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5
得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）
（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）
抽取比例==，
所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础
题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
17．（10分）（2017春•台江区校级期中）已知：﹣tanx=﹣3．
（Ⅰ）求 sinx•cosx的值；
（Ⅱ）求的值．
＜x＜﹣π，【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GI：三角函数的化简求值．
【分析】（Ⅰ）利用“切化弦”及其平方关系可得sinx•cosx的值；
（Ⅱ）根据诱导公式化简，利用“弦化切”可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵tanx=﹣3，即且﹣＜x＜﹣π，sin2x+cos2x=1，
，sinx=．
=﹣3，
∴cosx=﹣．
那么：sinx•cosx=（Ⅱ）原式====﹣3．
【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．
四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）
18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，利用列举法求出满足恰有一男一女抽到同一题目的事件个数，由此能求出其中恰有一男一女抽到同一道题的概率．
【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，
若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，
基本事件总数n=23=8，
设两道题分别为A，B题，
所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；
ABA，ABB，BAA，BAB，其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：共4种，
故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p=故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
．
19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（ ）
A． B． C．
D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．
【解答】解：因为y=当x=1时，y=当x=时，y=是偶函数，排除A，
＞1，排除C，
＞1，排除B、C，
故选D．
【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．
五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）
20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移的图象，若函数g（x）在区间实数a的取值范围是 [，和] ．
个单位得到函数g（x）上均单调递增，则【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos（2x﹣）；再利用条件以及余弦函数的单调性，求得a的范围．
个单位得到函【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移数g（x）=2cos（2x﹣）的图象，
若函数g（x）在区间由2kπ﹣π≤0﹣k=0，﹣π≤a≤由2nπ﹣π≤4a﹣≤a≤②，
≤a≤．
，
和上均单调递增，∴a＞0．
≤2kπ，k∈Z，求得≤2kπ，且2kπ﹣π≤2•﹣①．
≤2nπ，且2nπ﹣π≤2•﹣≤2nπ，求得n=1，由①②可得，故答案为：【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．
六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）
21．（11分）（2017春•黄山期末）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（Ⅱ）设点（a，b）是区域间[1，+∞）上是增函数的概率．
【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5
这五种情况来研究a＞0，且≤内的随机点，求函数f（x）在区
1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36
种，从而求得所求事件的概率．
（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM=×8×=事件的概率为 P=，运算求得结果．
，故所求的【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a＞0且，即a＞0且2b≤a．
（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，
所以，所求概率（Ⅱ）如图，求得区域．…（6分）
的面积为．
由，求得
所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为所以，所求概率．
．
【点评】本题考查了等可能事件的概率与二次函数的单调区间以及简
单的线性规划问题相结合的问题，画出实验的所有结果构成的区域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是几何概型的概率求法．
22．=Asin（12分）（2017春•台江区校级期中）已知函数f（x）（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．
（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；
（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性．
【分析】（1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；
（2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数；
（3）根据f（x）在[0，]上是单调递增函数，得出﹣≤，求出ω≤﹣≤φ≤ω+φ，再根据φ的取值范围求出ω的最大值．
【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A=3， =∴T=π，ω=﹣=，
=2；
+φ=，
根据五点法画图知，2×解得φ=﹣，
∴f（x）=3sin（2x﹣）；
），函数f（x）的图象向左平移m个单位（2）f（x）=3sin（2x﹣后，
所对应的函数是y=3sin[2（x+m）﹣又函数y是偶函数，
∴2m﹣解得m==++kπ，k∈Z，
，k∈Z，
；
]=3sin（2x+2m﹣
）的图象，∴m的最小正数是（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，A＞0，ω＞0，
∴﹣≤φ≤ω+φ≤；
，
]上是单调递增函数，
解得ω≤﹣又﹣π＜φ＜0，
∴﹣≤φ＜0，
≤，
∴0＜﹣∴ω≤+=3，
即ω的最大值为3．
【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了
数形结合思想，是综合题．
23．（12分）（2017春•台江区校级期中）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．
（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，等式logax＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】（I）根据正弦函数的性质可知正格点交点坐标为（10，1），从而求出m的值，根据图象判断交点个数．
（II）令y=logax的最小值大于f（x）的最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）若y=sinmx与函数y=lgx的图象有正格点交点，则此交点必为（10，1），
∴sin10m=1，即10m=∵m∈（3，4），∴+2kπ，m=．
+，k∈Z．
时，不作出y=sinmx与y=lgx的函数图象，如图所示：
根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为10个．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈（0，]，
＞0，故不等式logax＞sinmxi）当a＞1时，不等式logax＜0，而sin无解．
ii）当0＜a＜1时，由图函数y=logax在上为减函数，
∵关于x的不等式logax＞sinmx在（0，]上恒成立，
∴loga综上，＞1，解得：．
．
【点评】本题考查了方程的解与函数图象的关系，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．
2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（二）
一、选择题
1、集合A={x|3x+2＞0}，B={x|
A、（﹣1，+∞）
B、（﹣1，﹣）
＜0}，则A∩B=（ ）
C、（3，+∞）
D、（﹣ ，3）
2、已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（ ）
A、a2＞b2
B、ac＞bc
C、a+c＞b+c
D、ac2＞bc2
3、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b=
B= ，则c=（ ）
，a=2，A、
B、C、2
D、
4、在数列{an}中，已知a1=0，an+2﹣an=2，则a7的值为（ ）
A、9
B、15
C、6
D、8
5、在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A、y=2x+2﹣x
B、y=sinx+
C、y=x+
（0＜x＜ ）
D、y=log3x+ （1＜x＜3）
6、若点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）
A、（0，10）
B、（﹣1，2）
C、（0，1）
D、（1，10）
7、在等比数列{an}中，3a5﹣a3a7=0，若数列{bn}为等差数列，且b5=a5 ，
则{bn}的前9项的和S9为（ ）
A、24
B、25
C、27
D、28
8、若实数x，y满足约束条件
A、9
B、4
C、6
D、3
，则z=2x+y的最大值为（ ）
9、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab，则C=（ ）
A、150°
B、60°
C、120°
D、30°
10、在等差数列{an}中，a1=﹣2012，其前n项和为Sn ， 若
=2002，则S2017=（ ）
A、8068
B、2017
C、﹣8027
D、﹣2013
11、设x＞0，y＞0，满足
A、4
B、
C、2
D、9
12、已知数列{an}满足a1=4，an+1=an+2n，设bn= ，若存在正整数T，+ =4，则x+y的最小值为（ ）
﹣
使得对一切n∈N* ， bn≥T恒成立，则T的最大值为（ ）
A、1
B、2
C、4
D、3
二、填空题
13、在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，则此三角形解的个数为
________．
14、设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式
＞0的解集为________．
15、若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2
则AB边的最小值是________．
16、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为4万元、3万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元
原料甲 乙 限额
A（吨）
2 5 10
B（吨）
6 3 18
三、解答题
17、如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4，，AC=2 ，DC=2
(1)求cos∠ADC
(2)求AB．
18、已知数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2﹣a3=2b3 ， a3﹣2b2=﹣1
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式
(2)设cn=an+bn ， n∈N* ， 求数列{cn}的前n项和Sn ．
19、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边且asinB=
(1)求A.
(2)若a=3，b=2c，求△ABC的面积．
20、已知数列{an}和{bn}（bn≠0，n∈N*），满足a1=b1=1，anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0
(1)令cn= ，证明数列{cn}是等差数列，并求{cn}的通项公式
bcosA
(2)若bn=2n﹣1 ， 求数列{an}的前n项和Sn ．
21、已知f（x）=x2﹣（m+ ）x+1
(1)当m=2时，解不等式f（x）≤0
(2)若m＞0，解关于x的不等式f（x）≥0．
22、已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=
n∈N*）
(1)证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式（用t，n表示）
(2)当t=2时，令cn= ，证明 ≤c1+c2+c3+…+cn＜1．
an﹣n（t＞0且t≠1，
答案解析部分
一、选择题
1、【答案】D
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由A中不等式解得：x＞﹣ ，即A=（﹣ ，+∞）， 由B中不等式解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），
则A∩B=（﹣ ，3），
故选：D．
【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出A与B的交集即可．
2、【答案】C
【考点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵a，b，c为任意实数，且a＞b，∴由不等式的性质可得 a+c＞b+c， 故选：C．
【分析】由条件a＞b，利用不等式的性质可得a+c＞b+c，从而得出结论．
3、【答案】B
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵b= ，a=2，B= ， ∴由余弦定理b2=a2+c2c+2=0， ﹣2accosB，可得：2=4+c2﹣2
∴解得：c= ．
c，整理可得：c2﹣2
故选：B．
【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解c的值．
4、【答案】C
【考点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由an+2﹣an=2，可得数列{an}的奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列， 则a7=a1+3×2=0+6=6．
故选：C．
【分析】由题意可得，数列{an}的奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案．
5、【答案】A
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A、y=2x+2﹣x=2x+ ，而2x＞0，则有y≥2，符合题意，
，令t=sinx，0＜x＜ ，则0＜t＜1， 对于B、y=sinx+
有y＞2，y=sinx+ 没有最小值，不符合题意；
对于C、y=x+ ，有x≠0，则有y≥2或y≤﹣2，不符合题意；
对于D、y=log3x+
有y＞2，y=log3x+
故选：A．
【分析】根据题意，有基本不等式的性质依次分析4个选项函数的最小值，即可得答案．
6、【答案】A
，令t=log3x，1＜x＜3，则有0＜t＜1，
没有最小值，不符合题意；
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】解：点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧， 则（4+2×3﹣a）×（2﹣2﹣a）＜0，
∴a（a﹣10）＜0，
解得0＜a＜10，
故选：A．
【分析】由已知点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，我们将A，B两点坐标代入直线方程所得符号相反，则我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
7、【答案】C
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意{an}是等比数列，3a5﹣a3a7=0， ∴3a5﹣a52=0，
解得a5=3．
∵b5=a5 ， 即b5=3．
b1+b9=2b5
那么
故选C
【分析】根据{an}是等比数列，3a5﹣a3a7=0，可得3a5﹣a52=0，解得a5=3．即b5=3， ，利用b1+b9=2b5即可求解．
=27．
8、【答案】A
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得A（3，3），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为9．
故选：A．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
9、【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab， ∴a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC= = = ，
∵C∈（0，180°），
∴C=60°．
故选：B．
【分析】由已知整理可得a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可求cosC= ，
结合范围C∈（0，180°），可求C=60°．
10、【答案】B
【考点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵数列{an}为等差数列，设其公差为d，则其前n项和为Sn=na1+
∴
∴{
∴
﹣ = ，
的等差数列，
d， ∴ =a1+ d，
}为公差是
﹣ =2002d=2002，解得d=1，
=2017． ∴S2017=2017×（﹣2012）+
故选：B．
【分析】推导出{ }为公差是 的等差数列，从而 ﹣
=2002d=2002，解得d=1，由此能求出S2017 ．
11、【答案】B
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据题意，
（x+y）= ×（5+ +
+ =4， 则x+y= ×（ + ））≥4×（5+2 ）= （5+4）= ，
即x+y的最小值为 ，
故选：B．
【分析】根据题意，将x+y变形可得x+y= ×（
（5+ +
+ ）（x+y）= ×），由基本不等式分析可得答案．
12、【答案】D
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵an+1=an+2n， ∴an+1﹣an=2n，
∴a2﹣a1=2，
a3﹣a2=4，
…
an﹣an﹣1=2（n﹣1），
累加可得an﹣a1=2（1+2+3+…+n﹣1）=n（n﹣1），
∴an=n（n﹣1）+4，
∴bn=
∴T≤3，
∴T的最大值为3，
故选：D
【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再根据基本不等式求出bn的范围，即可求出T的范围．
二、填空题
13、【答案】2
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：由△ABC中，a=18，b=24，A=30°， 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得182=242+c2﹣2×24ccos30°，
化简整理，得c2﹣24
由于△=（24
c+252=0，
=n﹣1+ ≥2 ﹣1=4﹣1=3，当且仅当n=2时取等号，
）2﹣4×252=720＞0，
可得c有2解，可得此三角形解的个数有2个．
故答案为：2．
【分析】根据余弦定理，建立a2关于b、c和cosA的式子，得到关于边c的一元二次方程，解之得c有2解，由此可得此三角形有两解，得到本题的答案．
14、【答案】（﹣1，2）∪（6，+∞）
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意，b=﹣2，关于x的不等式
化为（x+1）（x﹣2）（x﹣6）＞0， ∴关于x的不等式
的解集为（﹣1，2）∪（6，+∞），
故答案为（﹣1，2）∪（6，+∞）．
【分析】求出b，利用根轴法，即可得出结论．
15、【答案】2
＞0＞0【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：△ABC中，A、C、B成等差数列，故2C=A+B，故C=
，
∴ab=8，
∴AB2=c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab=8，（当且仅当a=b时等号成立），
∴AB边的最小值为2
故答案为：2 ．
，再利用三角形的面．
，A+B= ． ∵△ABC的面积为 •ab•sinC= =2
【分析】由条件利用等差数列的定义求得C=
积公式求得ab=8，再利用余弦定理，基本不等式即可求得AB边的最
小值．
16、【答案】13
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元， 则
目标函数为 z=4x+3y．
，
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由z=4x+3y得y=﹣ ，
平移直线y=﹣ x+ ，由图象可知当直线y=﹣ x+ 经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
解方程组 ，解得：A（ ），
∴zmax=4x+3y=10+3=13．
则每天生产甲乙两种产品分别为2.5，1吨，能够产生最大的利润，最大的利润是13万元．
故答案为：13．
【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然
后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．
三、解答题
17、【答案】（1）解：在△ADC中，AD=4，AC=2
弦定理得cos∠ADC= =﹣
，DC=2， 由余（2）解：∴∠ADC=120°，∠ADB=60°， 在△ABD中，AD=4，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得AB 2
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在△ADC中，利用余弦定理表示出cos∠ADC，把三角形的三边长代入，化简可得值，（2）根据由∠ADC的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出∠ADC的度数，根据邻补角定义得到∠ADB的度数，再由AD和∠B的度数，利用正弦定理即可求出AB的长．
18、【答案】（1）解：设数列{an}是公差为d的等差数列， {bn}是各项均为正数且公比为q的等比数列，
由a1=b1=1，b2﹣a3=2b3 ， a3﹣2b2=﹣1，
可得q﹣（1+2d）=2q2 ， 1+2d﹣2q=﹣1，
解得d=﹣ ，q= ，
（n﹣1）= （3﹣n）； 可得an=a1+（n﹣1）d=1﹣
bn=b1qn﹣1=（ ）n﹣1 ， n∈N*
（3﹣n）+（ ）n﹣1 ， 可得数列{cn}的前（2）解：cn=an+bn=
n项和Sn=
=﹣ n2+
n（1+
n﹣
）+
+2
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）设数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是各项均为正数且公比为q的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求出cn=an+bn= （3﹣n）+（ ）n﹣1 ， 运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．
19、【答案】（1）解：由asinB=
∴tanA= ， ∴A=
，∴c=
=
，∴b=2
bcosA得sinAsinB= sinBcosA，（2）解：由余弦定理得9=4c2+c2﹣2•2c•c•
所以△ABC的面积为S= × ×2 ×
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由条件，利用正弦定理，即可得出结论；（2）由余弦定理求出c，可得b，即可求△ABC的面积．
20、【答案】（1）证明：由anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0，得
因为cn= ，
=1，
所以cn+1﹣cn=1，
所以数列{cn}是等差数列，所以{cn}=n
（2）由bn=2n﹣1得an=n•2n﹣1 ， 所以Sn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1 ， ①
2Sn=1×21+2×22+3×33+…+n•2n ， ②
由②﹣①，得Sn=2n（n﹣1）+1
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）数列{an}和{bn}（bn≠0，n∈N*），满足a1=b1=1，anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0，又cn=
利用错位相减法求和即可．
21、【答案】（1）解：m=2时，不等式化为（x﹣
，
∴不等式的解集为{x| }
） 当0＜m＜1时，m）（x﹣2）≤0， ∴
，可得cn+1﹣cn=1，即可证明；（2）（2）解：由题意得f（x）=（x﹣m）（x﹣
＜ ，不等式解集为{x|x≤m或x≥ }
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