2024年1月23日发(作者：河北邢台学考数学试卷答案)
第一讲 观察物体
（1）首先跟我们今天要学习的知识有关的故事是盲人摸象。五个不知大象为何物的盲人分别触摸了大象不同的部位，结果得出了完全不同的结论。这个故事告诉我们，看一件事要全面、整体，不能片面的从一个方面看。
（2）此外，同学们，我们应该都学过一首古诗，苏轼的《题西林壁》。哪个语文学霸来背诵一下？
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。
这首诗传达了苏东坡对于庐山多个角度观察后的心得。他告诉我们，从多个角度仔细观察，才能发现庐山奇妙、壮观的美丽景色。这就是我们这节课将要学习的内容——《从不同方向看》。看什么呢？看生活中熟悉的物体和数学中熟悉的简单几何体，因为我们这个毕竟是一节数学课。
这节课就看同学们能否通过观察和抽象思维来回答问题。
1、只从一个方向观察物体，无法知道物体的空间形状。
2、从三个方向观察物体，就可以确定物体的空间形状。
3、三个方向一般是：从正面看、从左面看、从上面看，得到的视图分别叫做：主视图、左视图、俯视图。
例题1：如图（1）是从上面看一些小正方体所搭几何体的平面图，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数。请你在图（2）的方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的图形。
例题2：如下图所示，要使从上面看到的图形不变：
（1）如果是5个小正方体，可以怎样摆？
（2）如果有6个小正方体，可以有几种不同的摆法？
（3）最多可以摆几个小正方体？
例题3：左图是一个由若干个小正方体搭建而成的几何体从正面和左面看到的图形，小刚用小立方体搭建以后，认为右图中的三个图形都可以是该几何体从上面看到的图形，你同意他的看法吗？
1、判断：下面这三个物体，从上面看，形状相同，从侧面看，形状也相同。 （ ）
2、下面的图形分别是从哪个方向看到的？
3、哪个几何符合要求？在对的括号里画“√”
（1）
从左面看 （ ） （ ） （ ）
（2）
从正面看 （ ） （ ）
从上面看 （ ）
（3）
从正面看 从上面看 从左面看
（ ） （ ） （ ）
4、下图，把9个棱长是1厘米的小正方体拼摆在一起。从正面和左面所看到的图形面积之和是（ ）平方厘米。
5、右边的三个图形分别是从什么方向看到的？填一填。
6、用一些棱长为1 cm的小正方体搭建成一个几何体，从两个角度观察所得的图形如下，那么最多用（ ）块小正方体。
7、如图，再添一个同样大小的小正方体，小明就把图1小丽搭的积木变成了图2六种不同的形状。
（1）从左面看，小明搭的积木中（ ）号和（ ）号的形状和小丽搭的是相同的；
（2）从正面看，小明搭的积木中，形状相同的是（ ）号和（ ）号，或者是（ ）号和（ ）号。
8、一个用小正方体搭成的几何体，下面是它的两个不同方向看到的形状，要符合这两个条件，最少需要摆（ ）块，最多能摆（ ）块，共有（ ）种摆法。
9、小刚搭建了一个几何体，从正面、上面和左面看到的都是如图的形状，请问：他一定是用（ ）个小正方体搭成的。
10、一堆同样大小的正方体拼搭图形，从不同方向看到的图形分别如图，那么至少有（ ）块同样的正方体。
A.5 B.6 C.7 D.8
11、由10个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则下列说法中正确的是（ ）。
A.从正面看到的平面图形面积大 B.从左面看到的平面图形面积大
C.从上面看到的平面图形面积大 D.从三个方向看到的平面图形面积一样大
12、如下图：
从正面看是图（1）的立体图形有（ ）；从左面看是图（2）的立体图形有（ ）；从左面和上面看都是由两个小正方形组成的立体图形是（ ）。
13、有几堆摆好的小方块，从三个不同的方向观察看到的形状如下图，这里至少有（ ）个小方块。
A.7 B.8 C.9 D.10
第二讲 因数和倍数
1. 整除和除尽：什么是整除？什么是除尽？
2. 3个边长为1的正方形，可以摆成长方形吗？有几种摆法？6个呢？
2-1 因数和倍数
1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的（倍数），除数和商是被除数的（因数）。
2、说到因数和倍数时，都指的是整数，而且不包括0。
3、倍数与因数是相互依存的关系，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
4、在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。
方法：运用乘法算式，思考：哪两个数相乘等于这个自然数。找一个数的因数，就是看它可以由哪两个因数相乘得到。
2-2 2、3、5倍数特征
1. 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
2. 整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0虽然不是2的倍数，但也是偶数），其他不是2的倍数的数叫做奇数。
3. 个位上是0或5的数是5的倍数。
4. 既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数，也就是整十整十的数。
5. 一个数各位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
2、3、5倍数
例题1：能同时被2和3整除的最大两位数是 。
方法一：同时被2和3整除的数一定是偶数，而最大的两位数是99，不是偶数。小一点的是98，但不是3的倍数；再小一点的偶数是96，正好符合。
所以答案是96.
方法二：同时是2和3的倍数的数，一定是6的倍数。6乘以多少可以得到最大的两位数？大家想想看。
对的，61696，而617102，不再是两位数，也就是说6最多放大到96.
例题2：能同时被2、3、5整除的最大两位数是 ，最小三位数是 ，最大三位数是 。
先想想看，能同时被2、5整除的数有什么特点？
对，个位数上一定是0.
那么最大的个位是0的两位数是多少？90，对了，它正好是3的倍数。
最小的个位是0的三位数是多少？100，对的，但它并不是3的倍数，只好再加10变成110，依然不是3的倍数，所以再加10变成120，也就是答案。
那么最大的三位数会想到999吧？使尾数变成0是多少？
990吧，那就对了，990正好是3的倍数，那么答案就是990.
如果不是990，那么就看980、970……
以上是蠢办法。
还有什么方法呢？同时是2、3、5的倍数的话，一定是23530的倍数，最小的两位数那就是30，最小的三位数那就304120，最大的三位数那就3033990。
例题3：如果a的最大因数是17，b的最小倍数是1，则a+b的和的所有因数有（ ）个；a-b的差的所有因数有（ ）个；a×b的积的所有因数有（ ）个。
一个数最小的因数是（1），最大的因数是（它本身）。
一个数最小的倍数是（它本身），（没有）最大的倍数。
一个数的因数的个数是（有限的），一个数的倍数的个数是（无限的）。
如果一个数a是另一个数b的倍数，那么a的倍数一定也是b的倍数（例如6是3的倍数，那么6的倍数6、12、18、24……也都是3的倍数）。
3的倍数加上3的倍数，和还是3的倍数；同样的道理，5的倍数加上5的倍数，和还是5的倍数。
同时是2和3的倍数，因为236，那么它一定是6的倍数。
同时是2和5的倍数，因为2510，那么它一定是10的倍数，个位数一定是0。
同时是2、3、5的倍数，因为23530，那么它一定是30的倍数，个位数也一定是0。
奇数+偶数=奇数，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数。
一、判断
1．自然数中除了偶数就是奇数。（ ）
2．0.2是2的因数，2是0.2的倍数。（ ）
3．3×6=18，所以3是因数，18是倍数。（ ）
4．3的倍数都是9的倍数，9的倍数都是3的倍数。（ ）
5．任何奇数加上1后都是2的倍数。（ ）
6．个位上是3、6、9的数都是3的倍数。（ ）
7．4的倍数都是2的倍数。（ ）
二、选择
下列说法正确的是（ ）
A.24能被6整除 B.6能被24整除
C.24能整除6 D.前面说法都不对
三、填空
1. 因为4×3=12，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。
2. 一个数最小的因数是（ ），最大的因数是（ ），一个数因数的个数是（ ）的。如18的最小因数是（ ），最大因数是（ ）。
3. 一个数最小的倍数是它（ ），（ ）最大的倍数。一个数倍数的个数是（ ）的。如：4的最小倍数是（ ）。
4. 在4、6、8、12、16、18、20、24这八个数中，4的倍数有（ ）， 6的倍数有（ ），既是4的倍数又是6的倍数有（ ）。
5. 在1、2、3、4、6、12、18这些数中，12的因数有（ ），18的因数有（ ），既是12的因数又是18的因数有（ ）。
6. 一个数既是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是（ ）。
7. 一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（ ）。一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（ ）。
8. 一个数的最大因数是17，最小倍数是17，这个数是（ ）。
9. 个位上是( )的数，都能被2整除；个位上是( )的数，都能被5整除。
10. 在18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中，2的倍数有（ ）；3的倍数有（ ）；5的倍数有( )，既是2的倍数又是5的倍数有（ ），既是3 的倍数又是5的倍数有（ ）。
11. 要使7□这个两位数是3的倍数，□里可以填（ ）；三位数□12是3的倍数，□里可以填（ ）；三位数3□5是3的倍数，□里可以填（ ）。
12. 671至少加上（ ）或减（ ），所得的自然数就是3的倍数。
13. 同时是2和5倍数的数，最小两位数是( )，最大两位数是( )。
14. 同时是2、3、5的倍数的数，最小是（ ），最小的三位数是（ ）。
15. 12□既是2的倍数，又是3的倍数，□可以填（ ）
16. 一个数既是2的倍数，又是3的倍数，那么这个数是（ ）的倍数；一个数既是2的倍数，又是5的倍数，那么这个数是（ ）的倍数；一个数既是3的倍数，又是5的倍数，那么这个数是（ ）的倍数。
第三讲 质数和合数
3个边长为1的正方形，可以摆成长方形吗？有几种摆法？6个呢？
3-1 质数和合数
1. 质数：只有（1）和（它本身）两个因数的数。
2. 合数：除了（1）和（它本身）之外，还有别的因数的数。
3. 质数只有（两个）因数，合数的因数至少有（三个）。
4. 20以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19
5. *100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
6. 注意几个容易错的合数：91和87.
3-2 质因数
一个数a是另一个数b的因数，同时a是质数，那么a就是b的质因数。
3-3分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的质因数，叫做这个合数的分解质因数。只有合数才能分解。
比如：242223
3-4互质数
1．公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。也就是说，除了1以外，没有别的公因数。比如2和9的公因数就只有1，因此它们互质。
2．显然，1和任意非零自然数互质。
3．两个数互质，它们并不一定是质数，比如8和9互质，但它们都是合数；两个数都是质数，那么它们一定互质。
4．相邻的两个自然数（0除外）一定互质。
例题1：1~30这30个自然数中，既是奇数又是合数的数共有 个。
解答：这种题目不用思考，直接把质数列出来。
30以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29
只有2是偶数，其余都是奇数
所以共有9个。
例题2：判断
任何一个非0自然数至少有两个因数。 （ ）
所有的偶数都是合数。
最小的质数是1.
（ ）
（ ）
例题3：一个合数的质因数是10以内的所有质数，那么这是合数是 。
解答：我们先把10以内的质数都写出来：2、3、5、7
那么这个合数的质因数就是2、3、5、7
所以这个合数=2357210
例题3：在1~10这10个自然数中，既是奇数又是合数的是 ；既是偶数又是质数的是 ； 既不是质数也不是合数。
既是奇数又是合数的是9，既是偶数又是质数的是2,1既不是质数也不是合数。
例题4：一艘油轮的船长已经50多岁，船上有30多名工作人员，其中男性占多数。如果将船长的年龄、男工作人员的人数和女工作人员的人数相乘，则积为15606，船上共有______名工作人员，船长的年龄是______岁。
这道题目考察分解质因数。从题目的意思来看有：
船长年龄男人数女人数15606
即：
5？1？1？15606
怎样确定三个因数的大小呢？
分解质因数：
1560623331717
观察这六个质因数，3和17相乘可以得到51，这就是船长的年龄；另外一个17肯定不能再乘，最后剩下23318。所以：
15606185117
根据题目意思，男性占多数，于是男工作人员是18人，女工作人员17人，船长51岁。
也许还有人注意到：233354，认为船长年龄也可以是54岁。即
15606541717
但此时男女工作人员人数就都是17，不符合题目“男性占多数”的要求，因此错误。
最小的质数是2，最小的合数是4,1既不是质数也不是合数。
2是偶数里唯一的质数，质数里唯一的偶数。
一、填空
1. 有一个八位数，最高位上的数是最小的奇数，万位上的数是最小的偶数，百位上的数是最小的合数，其他数位上都是一个既是偶数，又是质数的数。这个数是 。
2. 既不是质数，也不是合数。
3. 最小的自然数是 ，最小的质数是 ，最小的合数是 。
4. 7、15、9、20四个数中，成为互质数的有 对。
5. 两个质数和为18，积是65，这两个质数是 和 。
二、判断
6. 如果两个数是互质数，那么这两个数一定都是质数。（ ）
7. 两个自然数的积一定是合数。（ ）
8. 如果两个数是互质数，那么这两个数一定都是质数。 （ ）
9. 一个奇数和一个偶数一定互质。（ ）
10. 除2以外，任何两个质数的和都是偶数。（ ）
11. 两个质数的和一定是合数。（ ）
12. 两个质数的和一定是偶数。（ ）
13. 所有的合数都是偶数。（ ）
14. 2、4、5都是20的质因数。（ ）
三、选择
15. 在1~20的自然数中，既是奇数又是合数的数有（ ）个
A.2 B.3 C.4 D.5
16. 下面各组数中，既是互质数，又都是合数的一组是（ ）
A.2和3 B.15和11 C.8和9 D.1和100
17. 把70分解质因数是：70=（ ）
A.1237 B.257 C.710 D.235
第四讲 长方体和正方体
4-1长方体和正方体的认识
长方体由6个面组成，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）
长方体相对的面相同（上下面相同、左右面相同、前后面相同）
长方体有12条棱，长、宽、高分别都有4条。
相对的棱长度相等（特殊情况下长、宽、高三个里面有两个相等）
正方体是一个特殊的长方体。
正方体6个面完全相同，都是正方形。
正方体12条棱都相等。
长方体的棱长总和=（长+宽+高）4
所以告诉你棱长总和，除以4就可以算出长、宽、高的和。
正方体的棱长总和=棱长12
4-2表面积
长方体和正方体的展开图
长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长宽+长高+宽高）2
正方体的表面积=棱长棱长6
长方体的展开图一般不考，但正方体的展开图要重点掌握。
一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种。
一线不过四，田凹都不行。就是一条线不超过四个正方形，形成了“田”字和“凹”字的不行
田字 凹字
表面积变化规律：长方体或者正方体，一刀切下去，分成两个长方体时，表面积增加的就是刀切下去时多出来的两个面的面积。
这种方式切割长方体，增加两个 宽高 的面。
这种方式切割长方体，增加两个 长宽 的面。
这种方式切割长方体，增加两个 长高 的面。
长高
长宽
宽高
所以在切割长方体时，表面积增加的大小要看 宽高 、 长宽 、长高 这三个乘积的大小。
4-3 体积和体积单位
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长宽高
用a表示长方体的长，b表示长方体的宽，h表示长方体的高，V表示体积，则
Vabh
正方体的体积=棱长棱长棱长
用a表示正方体棱长，V表示体积，则
Va3
这两种立体图形的体积公式都可以概括为
体积=底面积高
用S表示底面积，h表示高，则
VSh
常用体积单位有立方厘米（cm）、立方分米（dm）和立方米（m）
换算：
相邻体积单位是1000进制。
3331m31000dm31dm1000cm33
4-4 容积和容积单位
容器能容纳物体的体积，叫做它们的容积。
一般而言，物体的体积大于它的容积。
例题1：一个长方体长6分米，宽5分米，高4分米，把它分成两个长方体，表面积最少增加 平方分米，最多增加 平方分米。
例题2：一个长方体的棱长总和为48cm，则它的长宽高之和为 cm。
1. 长方体的棱长总和=（长+宽+高）4，因为每一种都有4条。
2. 长方体的表面积公式。
3. 表面积变化规律。
4. 正方体的11种展开图。
1．下面三个图形中（每格都是正方形），不是正方体表面展开图的是（ ）
A
B
C
D
2．下面是正方体展开图的是（ ）
3．下面不能折成正方体的是（ ）
A
B
C
D
A
B
C
D
4．如图是一个正方体纸盒的展开图，那么（ ）号与6号相对。
A.1 B.2 C.3 D.4
1 2
4
3
5
6
5．用一根52厘米长的铅丝，正好可以焊成长6厘米，宽4厘米，高（ ）厘米的长方体教具。
A.2 B.3 C.4 D.5
6．一个正方体的棱长总和是12厘米，它的表面积是 平方厘米。
7．长方体有 个面， 条棱， 个顶点。
8．一个长方体的棱长和是36cm，从一个顶点出发的三条棱的和是 cm．
9．一个正方体的棱长和48dm，则它的表面积是 dm2．
10．下图的木块分成两块后，木块的表面积增加 平方厘米。
8
厘米
16厘米
8厘米
一、分数的产生
在进行测量、均匀分配物体或者计算时，往往不能恰好得到整数的结果，这时我们可以用分数表示。
二、分数的意义
一个物体或者很多物体都可以看作是一个整体。把这个整体平均分成若干份，这样的一份或者几份都可以用分数来表示。
整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做“单位1”。分成几份，每份就都是整体的几分之一。做题目时，首次就是要搞清楚每一个分数对应的“单位1”是谁。
我们学过整数的计数单位，个、十、百、千、万……，那么分数是否也有计数单位呢？当然有，把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数就叫做分数单位。任何一个分数，分母是几，分数单位就是几分之一。
3131的分数单位是，的分数单位是……
4488三、分数与除法的关系
把6个苹果平均分给3个人，每个人可以分几个？
这是一道四年级的数学题，我们会这么算：
632
总的苹果数是6个
平均分成3份
每一份是2个
如果是2个苹果平均分给3个人呢？
同样用除法：
223
3
所以说，分数就是除法。分数与除法的关系：
被除数除数除数
被除数总的苹果数是2个
平均分成3份
每一份是2个
3也即：除法的被除数就是分数的分子，除数就是分数的分母，商就是分数值，除法符号就是分数的分数线。
可以认为分数是人们用来表示不能整除的除法时偷懒发明的。
比如：
120.5
如果用分数表示的话就是：
112
2于是我们知道了分数和小数可以互相转化：
10.5
2如果一个整数除法除不尽呢？比如：
130.333333……
这时用分数表示最为简洁：
131
3•1所以
0.3
3
这就是分数化成小数的方法：用分子除以分母，列竖式得到商，就化成了小数。
例1：填空，把 平均分成若干份，这样的一份或者几份都可以用分数表示。
例2：2表示把 平均分成 份，表示这样的 。它的分数单位3是 。
例3：把8块月饼平均分成4份，每份是整体的 ，3份是整体的 。
例4：把全班分成6组，一组是全班人数的 ，两组是全班人数的 。
例5：把6个苹果平均分成3份，每2个苹果是其中的 份，4个苹果占总共的 。
例6：小华10天看完一本书，平均每天看完这本书的 ，7天看完这本书的 。
例7：把50支铅笔平均分成5份，把 看做单位“1”，每份是整体的 ，每份是 支。
例8：把5 m长的绳子平均分成9段，每段占这条绳子的（ ），每段长（ ）m。
1.
3读作（ ），是把单位“1”平均分成（ ）份，表示这样（ ）4份的数。
2.
5的分数单位是（ ），它里面有（ ）个这样的分数单位。
63. 五十四分之三十九，写作：（ ），表示（ ）个（ ）。
4. 把7米长的木棒平均分成9段，每段占全长的（ ），每段的长度是（ ）米。
5. 小明看一本共60页的书，已经看了39页，还剩全书的（ ）没有看。
3135里有（ ）个，35个（ ）是。
10104837. 一条公路已经修了，是把（ ）看作单位“1”。
48. 被除数相当于分数的（ ），除数相当于分数的（ ），除号相当于6.
（ ），商相当于（ ）。
1349.
42 =（ ）÷（ ） （ ）÷27=27
（ ）（ ）10. 5÷（ ）=13 23÷49=
（ ）311.
8 kg表示把（ ）kg平均分成（ ）份，取其中的（ ）份，每份是（ ）千克。
（ ）12. 小芳每天睡眠9小时，她一天的睡眠时间占全天的
（ ）（ ）13. 小林看一本85页的故事书，已经看了48页，看了全书的
（ ）14. 桌子上有3杯牛奶，3个人分，平均每人分2个人分，平均每人分（ ）杯。
15. 把6米长的绳子平均分成7段，每段占全长的几分之几？每段长多少米？
16. 现在有6千克糖果，均匀地装在4个袋子里，平均分给4个小朋友，每个小杯，也就是（ ）杯。
朋友分到多少千克糖果？每个小朋友分到多少袋糖果？
17. 百货商店今天卖出15台电视机，7台洗衣机。卖出的电视机的台数是洗衣机的几分之几？
分数
一、分数意义
1．一个物体或是几个物体组成的一个整体都可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。
2．把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。例如表示把单位“1”平均分成7份，取其中的3份。
53．米按分数的意义，表示：把1米平均分成8份，取其中的5份。按分数与837除法的关系，表示：把5米平均分成8份，取其中的1份。
4．把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。
5．分数和除法的关系是：分数的分子相当于除法中的被除数，分数的分数线相当于除法中的除号，分数的分母相当于除法中的除数，分数的分数值相当于除法中的商。
6．把一个整体平均分成若干份，求每份是多少，用除法。总数÷份数＝每份数。
7．求一个数量是另一个数量的几分之几，用除法。
一个数量÷另一个数量＝几分之几（几倍）。
二、真假分数
8．分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。
9．分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。
10．带分数包括整数部分和分数部分，分数部分应当是真分数。带分数大于1。
11．把假分数化成带分数的方法是用分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，
分母不变。
把带分数化成假分数的方法是用整数部分乘分母的积加原来的分子作分子，分母不变。
512．整数可以看成分母是1的假分数。例如5可以看成是。
1三、分数基本性质
13．分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。
四、公因数和约分
14．几个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的公因数叫作它们的最大公因数。最小公因数一定是1。
15．几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的公倍数叫作它们的最小公倍数。没有最大的公倍数。
16．求最大公因数或最小公倍数可以用列举法，也可以用短除法分解质因数。
17．公因数只有1的两个数叫做互质数。
分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。（分子和分母是互质数的分数叫做最简分数。）最简分数不一定是真分数。
18．除法计算的结果可以用分数表示，比较方便。如果计算结果可以约分的话，要化简成最简分数。
19．如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
如果两个数是互质关系，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。
20．数Ａ×数Ｂ＝它们的最大公因数×它们的最小公倍数。
21．两个数是互质数的几种特殊情况有：① 1和任何数都是互质数；② 两个相邻的自然数一定是互质数；③两个相邻的奇数一定是互质数；④两个不同的质数一定是互质数；⑤一个质数和一个不是它倍数的合数一定是互质数。
22．把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
约分的方法就是分子和分母同时除以它们的公因数。
一、 填空。
171、是一个（ ）分数，它的分数单位是（ ) ，它有（ ）个这样的7分数单位，把它化成带分数是（ ）。
22、的分子增加4 ，要使分数的大小不变，分母应增加( )。
73、在括号里填上合适的分数。
800 千克＝( ）吨 25 厘米＝( ）米
1400 米＝( ）千米 45 分＝( ）小时
7 平方米50 平方分米 =（ ）平方米
4、把47113、、、按照从大到小的顺序排列起来。
1015155
55、在a这个分数中，当a是（ ）时，分数值是1 ；当a是（ ） 时，分数值是5,当a 是( )时,这个分数的分数单位是aa6、要使7是假分数，8是真分数，a应是( )。
15。
7、 把3米平均分成4份，每份占1米的（ ），是（ ）米。
8、
5的分母加上40，要使分数的大小不变，分子应加上（ ）。
8a(b不等于0)，当（ ）时，它是假分数；当（ ）时它b9． 40平方分米＝（ ）平方米 75厘米＝（ ）米 350千克＝（ ）吨
10、分数是真分数；当（ ）时，它是这个分数的分数单位；当（ ）时它是最简分数。
11、修一条4千米长的水渠，5天修完，平均每天修（ ）千米，相当于1千米的（ ）。
18的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的单位是1。
20113、“一块菜地的种了黄瓜”中，把（ ）看作单位“1”，平均分成（ ）612、份，种黄瓜的是这样的（ ）份。
14、“红气球是气球总数的5”中，把（ ）看作单位“1”，平均分成（ ）份，6红气球是这样的（ ）份。
15、把8公顷地平均分成15份，每份是这块地的（ ），每份是（ ）公顷。
二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）
1、18 的倍数有（ ）个。
A . 4 B . 6 C ．无数
2、已知A 、B、C 是大于0的自然数，A
333、把一根绳子剪成两段，第一段长5米，，第二段占全长的5，两段相比较AB（ ）。
CC（ ）。
A、第一段长 B、第二段长 C ．一样长 D. 无法比较
三、实际应用。
1、五（2 ）班有学生45 人，其中男生21 人，男生占全班人数的几分之几？女生占全班人数的几分之几？男生人数是女生人数的几分之几？女生人数是男生人数的几分之几？
2、一批货物共有600 吨，已经运走了250 吨。
（1）运走的货物占这批货物的几分之几？
（2）剩下的货物占这批货物的几分之几？
约分、通分、互化
一、约分
[1.最大公因数]
指定两个或两个以上的整数，如果有一个整数是它们共同的因数，那么这个数就叫做它们的公因数，也可以说成“公约数”。公因数中最大一个的称为最大公因数，又称作最大公约数。
譬如，4是8和12的最大公因数。
求最大公因数的方法：短除法。
2 48 72
2 24 36
2 12 18
3 6 9
2 3
不断地用公因数去除这
两个数，一般从小到大，比如先看能不能同时除
以2，然后是3……
短除号
一直除到两个数互质为止
的
则这两个数的最大公因数为：222324
按时啊的
将左边的所有公因数乘起来，就得到了最大公因数。
[2.约分]
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分
约分的依据是：分数的基本性质（分子分母同时除以不为零的数，分数大小不变）
一般而言，约分要约成最简分数，即分子和分母只有公因数1，或者说分子分母为互质数
约成最简分数的方法：可以逐步约分，也可以把分子分母同时除以最大公因数。
五、 通分
[1.最小公倍数]
指定两个或两个以上的整数，如果有一个整数是它们共同的倍数，那么这个数就叫做它们的公倍数。公倍数中最小一个的称为最小公倍数。
譬如，24是8和12的最小公倍数。
求最小公倍数的方法：① 倍数关系： 最小公倍数就是较大数。② 互质关系： 最小公倍数就是它们的乘积。③ 一般关系： 大数翻倍（从小到大看较大数的倍数是否是较小数的倍数）。
求最小公倍数的方法：短除法。
2 48 72
2 24 36
2 12 18
3 6 9
2 3
不断地用公因数去除这
两个数，一般从小到大，比如先看能不能同时除
以2，然后是3……
短除号
一直除到两个数互质为止
的
则这两个数的最小公倍数为：222323144
按时啊的
左边的公因数全部乘起来，再乘以余下的两个互质数，就得到最小公倍数。
[2.通分]
把两个或者多个异分母分数，在大小不变的情况下，化成分母相同的分数，叫做通分。
约分的依据是：分数的基本性质（分子分母同时乘以不为零的数，分数大小不变）
通分可以用于比较异分母分数的大小。
分数的大小比较： ① 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；② 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。③ 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。
六、分数化小数
分数化小数很简单，因为分数就是除法，用分子除以分母，把商用小数表示，就可以顺利化成小数。
比如：31311000.31
1002有的分数除不尽：230.666666，这时应当“四舍五入”保留相应的位数。
3七、小数化分数
小数表示的就是十分之几、百分之几、千分之几……的数，所以可以先化成分母是10、100、1000……的分数，再化简就可以。
比如：0.45
有几位小数，分母就是“1”后面加几个“0”。此处0.45
有两位小数，于是分母取100，分子就是45，也可以理解
1成45个。
100
分子分母同时除以最大公因数5，化成最简分数
454559
100100520
例1 把下面的分数约分后，再按照从小到大的顺序排列起来。
1216
2025
1628
1016
例2 甲、乙两工人做同样的机器零件，甲2小时做3个，乙5小时做7个，他们做一个零件需多少时间？谁做得快？
分析：谁做得快一些，实质是比大小。比大小需根据题意理解，此题所求的是时间，做得快慢是指效率。因此，时间用得少的工作效率应该快。
例3 约分时，遇到一些不常出现的较大数，往往没有约尽，就认为是最简分数，而不再约分是错误的。如：
3417（1）102＝51
68068（3）850＝85
11457（2）152＝76
214（4）35＝7
例4 熟记下列分数与小数互化
12＝0.5
35＝0.6
14＝0.25
45＝0.8
34＝0.75
15＝0.2
38＝0.375
25＝0.4
58＝0.625
18＝0.125
718＝0.875
20＝0.05
125＝0.04
150＝0.02
例5 在括号里填上适当的分数（最简分数）。
100分＝（ ）小时
240千克＝（ ）吨
800克＝（ ）千克
45分＝（ ）小时
75平方分米＝（ ）平方米
45厘米＝（ ）米
例6 判断。（对的打“√”，错的打“×”）
（1）分子、分母都是偶数的分数，一定不是最简分数。（ ）
（2）分子、分母都是奇数的分数，一定是最简分数。（ ）
（3）约分时，每个分数越约越小；通分时，每个分数的值越来越大。（ ）
（4）异分母分数不容易直接比较大小，是因为它们的分母不同，分数单位不统一的缘故。（ ）
（5）约分是每个分数单独进行的，通分是在几个分数中进行的。（ ）
（6）带分数通分时，要先化成假分数。（ ）
（7）最简分数的分子一定小于分母。（ ）
（8）用相邻的两个自然数做分子、分母的分数是最简分数。（ ）
例7 把下列各分数约分。
3654
2835
48144
5472
288432
例8 把下面各组中的分数通分。
79（1）15和20
87（2）15和16
517（3）9、6和36
314（4）5、2和7
一．填空
1．用分数表示各图形的阴影部分.
（
）
（ ）
（ ）
（ ）
52．表示（ ），它的分数单位是（ ），它有（ ）个9这样的分数单位.
3．(8117是（ ）个，是（ ）个(151520).
))11，4里有（ ）个，5个)44(1写作(64．三好学生是全校人数的1.表示把（ ）看作单位“1”，平均分成（ ）11份，（ ）占其中的1份.
2()4()64184()1625．22，
312()15()()()84()36．1的分数单位是（ ），再减去（ ）个这样的分数单位，这个分数就7变为0.
47．米既可表示1米的（ ），也可表示4米的（ ）.
58．写出三个分数单位相同而大小相差一个分数单位的真分数、假分数、带分数是（ ）、（ ）、和（ ）.
9．把一根长5米的绳子平均分成8段，每段绳子占这根绳子的长（ ）米.
10．比较大小.
7967(()，其中2段)13997544○7
○
○1
3○
○8
○0.2 11÷3○3.5
915二．选择题（将正确答案的序号填在括号内）
51．与相等的分数是（ ）.
87182550． . . .
4080016322．把7公顷试验田平均分成8块，每块田的面积是（ ）.
7711． . .公顷 . 公顷
88883. 下面4个分数中，最小的分数是（ ）.
12 . .
2314．大于的真分数是（ ）.
232． . .
45．5．在分数里，分母表示（ ）.
11 .
3413 .
38． 分数单位 .取了什么份 .把单位“1”平均分成多少份.
三．判断题（对的在括号内打“√”错的打“×”）
1．把单位“1”分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数. （ ）
52．有一个质量为5千克的西瓜，把它平均切成8块，每块的质量是.（ ）
8173．不是最简分数. （ ）
74．分数的分子和分母都乘或者除以一个相同的数，分数的大小不变. （ ）
115．甲数的不一定比乙数的大. （ ）
210
四．解答题
1、 把下面各组中的分数从小到大排列。
532（1）8、4和5
346（2）4、5和7
2、 把下面的小数化成分数。
0.3
5.8
3、 把下面的分数化成小数。（不能化成有限小数的保留两位小数）
14
0.6 0.25 0.62 0.36
12.4 0.405 25.6 0.002
125
56
514
78
4、 下面的数哪些能化成有限小数，哪些不能化成有限小数。
34
38
524
69
7475
721
分数意义和性质单元总结
一、分数的意义
[1.分数的意义]
考点1：分数ab的意义是（把整体平均分成b份，取其中的a份）。
例题：分数37的意义是（把整体平均分成7份，取其中的3份）
考点2：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。
例题：58 的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的分数单位就是1。
方法：分母是几，分数单位就是几分之一，与分子无关（a1b的分数单位是b）。
[2.分数与除法]
考点1：被除数除数被除数除数
例题：把一根5米长的绳子平均分成6份，每一份是这根绳子的（ ），每份长（
方法：看清题目，第一空是“每一份”占总共的几分之几，总共有6份，所以
1616
第二空是算每一份的长度，是有单位的，还是用除法：
5656（米）
）米。
这种题型基本必考，请一定要细心，不要做错这种简单题目。
练习1：一堆煤有3吨，8天烧完，平均每天烧了这堆煤的（ ），平均每天烧（ ）吨。
练习2：把一根5米长的绳子平均分成6份，每份是这根绳子的（ ），每份长（ ）米。
考点2：计算谁是（占）谁的几分之几
例题：全世界约有200个国家，其中缺水的国家有100多个，严重缺水的国家有40多个，缺水的国家约占全世界国家总数的；严重缺水的国家约占全世界国家总数的
。
方法：要求a是（占）b的几分之几，只需要计算：
ab即a是（占）b的a
ba，要注意的是，如果这个分数不是最简分数，需要约分成最简分数。
b1001第一空：缺水的国家是100，全世界国家总数是200，所以100200，这空要20021100填，填可能会一分不得。
2200401第二空：严重缺水国家是40，全世界国家总数是200，所以40200
2005练习：小明做24道数学题，已完成了16道，还需完成全部题目的（ ）。
112 ① ② ③
323二、真分数和假分数
考点：真假分数定义
写出两个等于1的假分数、。
假分数都比1大。 （ ）
考点：带分数和假分数互化
一个假分数不能化成整数就一定能化成带分数。（ ）
1分数单位是的所有最简真分数的和是（ ）。
8512化成假分数是（ ），里面有（ ）个6 。
6三、分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
考点：指定分母填分子或者指定分子填分母
例题：( )÷16=93()===( )(小数)
8()40方法：从给定的那个数入手，观察分子或者分母的变化，然后把按照同乘或者同除的原则填空。
练习：3(8)1624()15()()←填小数。
4（ ）25 =8 ÷（ ）=（ ）（填小数）
54一个分数化成最简分数是，原分数的分子扩大为原来的4倍后是96，那么原13分数的分母是（ ）。
A.78 B.52 C.26 D.65
4的分子加上8，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（ ）
15A．加上30 B．加上8 C．扩大2倍 D．增加3倍
四、约分
[1.最大公因数]
考点1：直接求最大公因数
例题：12和18的最大公因数是（ ）
方法：简单的直接看出来，比如这道题目答案是6；数字比较大的用短除法，把所有的公因数乘起来，就是最大公因数。
[2.约分]
考点2：约成最简分数，体现在每一道分数填空题和解决问题上。
例题：下列分数中，最简分数是（ ）。 ①
绿教育71513 ② ③
114552最简分数：分子和分母只有公因数1，或者说互质。
五、通分
考点1：直接求最小公倍数
例题：6和9的最小公倍数是（ ）。
方法：两个数比较小的话直接可以看出来，把较大的数依次乘以2、3……看看结果是否是6的倍数；如果两个数比较大，用短除法。
练习：一个数既能被12整除，又能被18整除，这个数最小是（ ）。
考点2：两数存在倍数关系时的最大公因数和最小公倍数
例题：如果A÷B=6（A和B为非零自然数），则A与B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
方法：有倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数就是较大的数。
练习： a=3b，a和b的最小公倍数是（ ）。① a ② b ③ 3
考点3：把两个数写成分解质因数形式，判断最大公因数和最小公倍数
例题：已知a=2×2×3×5，b=2×5×7，a和b的最大公因数是（ ），最
小公倍数是（ ）。
方法：把相同的质因数乘起来就是最大公因数；把相同的质因数乘起来，再乘以不同的质因数，就得到最小公倍数。
考点4：分数大小比较
例题：做一个零件，甲用了11小时，乙用了小时，甲的效率高。（ ）
23方法：分数大小比较，如果分母相同，分子大分数就大；如果分子相同，分母大的反而小；如果分子分母都不相同，则先通分成分母相同再比较。
注意：在比较实际问题的分数时，跑同一段路程，花费时间越少则速度越快；做同一件工作，花的时间越少则效率越高。
练习：大于213而小于的分数只有。（ ）
555六、分数和小数互化
考点1：分数和小数大小比较
在下面每组的○里填上“＞”、“＜”或“＝”。
1291628117 3
3 3.34
3
78435048方法：可以全部化成小数比较，也可以全部通分成同分母分数进行比较。
考点2：化有限小数
下面几个分数中，不能化成有限小数的是（ ）。
2173A. B. C. D.
5682821小明、小李和小凯三人读同一篇文章，小明用了小时，小李用了小时，小凯用了0.2156小时，（ ）的速度最快。
图形的运动（三）
一、知识回顾：轴对称
以上是四大银行的标志，分别是：中国工商银行、中国银行、中国农业银行、中国建设银行。
你能找出其中不一样的标志吗？
定义1：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形叫做轴对称图形。
定义2：对折的直线叫做这个图形的对称轴。
定义3：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，说这两个图形为轴对称。这条直线叫做这个图形的对称轴。
注意区分：轴对称图形是一种图形特点，是针对一个图形来说的；轴对称是指两个图形的关系；对称轴是一条直线。
A
B
例如：A是一个轴对称图形，A与B关于中间的直线轴对称（或者直接说对称），蓝色直线叫对称轴。
判断一个图形是不是轴对称图形，一般看上下或者左右是不是完全一致。
一、填空
1. 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形叫做（ ）图形，这条直线就是（ ）
2. 长方形有（ ）条对称轴，正方形有（ ）条对称轴。
二、判断
3. 所有的三角形都是轴对称图形。 （ ）
4. 线段也是轴对称图形。
三、选择
5. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）。
（ ）
6. 下面不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
7. 下面（ ）的运动是平移。
A、旋转的呼啦圈 B、电风扇扇叶 C、拨算珠
8. 下面哪些图形是轴对称图形？在□里画“√”
□ □ □ □ □ □ □
二、知识回顾：平移
定义1：物体的平行移动简称平移。
注意：平移不改变物体的形状、大小和方向，只改变物体的位置
1. 下图中，将图中A平移到图B位置。需要将图A向（ ）平移（
AB
2. 小明向前走了3米，是（ ）现象。
3. 汽车在笔直的公路上行驶，车身的运动是（ ）现象
4. 把平移后可以和 重合的长方形涂上颜色。
5. 下图中，小鱼向右平移了3格。（ ）
）格。
三、旋转
定义：像摩天轮、钟摆、旋转飞机，这些物体都绕着一个点或一个轴移动这样的现象，我们把它叫做旋转。
旋转要说清楚的三要素：中心、方向和角度。
旋转时，物体的每个部分都绕着中心旋转同样的角度，据此可以画出物体旋转后的图像。
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