十字相乘法概念

2024年4月5日发(作者：高二上数学试卷分析)

⒈十字相乘法概念

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次

项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c

1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:

在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式

乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项

系数的符号。 基本式子：x^2;+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,

就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.

比如说:把x^2+7x+12进行因式分解.

上式的常数12可以分解为3*4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所

以

上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)

又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-

3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).就这么简单.

例题

例1 把2x^2-7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，

再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使

其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

╳

2 1

1×1+2×3

=7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)

=-5

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)

=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和

恰等于一次项系数－7.

解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).

一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分

解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=

c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

 ╳

a2 c2

a1c2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式

ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为

两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解

因式的方法，通常叫做十字相乘法.

例2 把6x^2-7x-5分解因式.

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别

排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

╳

3 -5

2×(-5)+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数

不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以

用十字相乘法分解因式.