2024年3月6日发(作者：浅议数学试卷的命题)

高考精品文档高考全国甲卷理科数学·2020年考试真题与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区

高考全国甲卷：《理科数学》2020年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。*1．已知集合A{(x,y)|x,yN,yx}，B{(x,y)|xy8}，则AB中元素的个数为（ ）A．2B．3C．4D．6答案：C2．复数13i的虚部是（ ）A．31011B．10C．10D．10答案：D3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且pi1，则下面四种情i1413形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）- 1 -

A．p1p40.1,p2p30.4B．p1p40.4,p2p30.1C．p1p40.2,p2p30.3D．p1p40.3,p2p30.2答案：B4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=K1e0.23(t53)，其中*K为最大确诊病例数．当I(t)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ ）(ln193)A．60B．63C．66D．69答案：C25．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）A．(4,0)B．(2,0)C．(1,0)D．(2,0)答案：B- 2 -11

6．已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa,ab=（ ）A．3135B．1935C．1735D．1935答案：D7．在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）A．19B．13C．12D．23答案：A8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A．6+42- 3 -

B．4+42C．6+23D．4+23答案：C9．已知2tanθ–tan(θ+A．–2B．–1C．1D．2答案：D10．若直线l与曲线y=x和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）A．y=2x+1B．y=2x+121215π)=7，则tanθ=（ ）4C．y=x+11212D．y=x+答案：Dx2y211．设双曲线C：221（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是abC上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）A．1- 4 -

B．2C．4D．8答案：A12．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）A．a

16．关于函数f（x）=sinx①f(x)的图像关于y轴对称．1有如下四个命题：sinx②f(x)的图像关于原点对称．③f(x)的图像关于直线x=2对称．④f(x)的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________。答案：②③三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答。（一）必考题17．设数列{an}满足a1=3，an13an4n．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn。答案：（1）解答过程如下；a2=5，a3=7，猜想an=2n+1由已知可得；an1(2n3)3[an(2n1)]，an(2n1)3[an1(2n1)]，……a253(a13)。因为a1=3，所以an=2n+1。- 6 -

（2）解答过程如下由（1）得2nan=(2n+1)2n，所以Sn32522723(2n1)2n……①234n1从而2Sn325272(2n1)2……②①﹣②得：Sn3222222322n(2n1)2n1，n1所以Sn(2n1)22.18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：表：锻炼人次表空气质量等级1（优）2（良）3（轻度污染）4（中度污染）[0，200]2567（200，400]161072（400，600]251280（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3- 7 -

或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400空气质量好空气质量不好人次>400nadbc附：K2=，abcd)acbd2P（K2≥k）k0.0500

3.8410

0.01006.63510.00100.8280答案：（1）解答过程如下；由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级概率的估计值10.4320.2730.2140.09（2）解答过程如下；一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100．（3）解答过程如下根据所给数据，可得2×2列联表：- 8 -

人次≤400空气质量好空气质量不好3322人次>400378根据列联表得100(3382237)2K5.82055457030．2由于5.820＞3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19．如图，在长方体ABCDA1BC11D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DEED1，BF2FB1．（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB2，AD1，AA13，求二面角AEFA1的正弦值．答案：设AB=a，AD=b，AA1=c，如图，以C1为坐标原点，C1D1的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C1xyz．- 9 -

（1）证明过程如下；连结C1F，则C1(0,0,0)，A(a,b,c)，E(a,0,3c)，F(0,b,3c)，EA(0,b,3c)，C1F(0,b,3c)，得EAC1F．2111C1F，即A,E,F,C1四点共面，所以点C1在平面AEF内．因此EA∥（2）解答过程如下；A(2,1,3)E(2,0,2)F(0,1,1)A(2,1,0)AE(0,1,1)AF(2,0,2)AE由已知得，，，1，，，1(0,1,2)，A1F(2,0,1)．设n1(x,y,z)为平面AEF的法向量，yz0,n1AE0,则即2x2z0,可取n1(1,1,1)．n1AF0,设n2为平面AEF的法向量，1n2A1E0,则n2A1F0,同理可取n2(2,2,1)．因为cosn1,n2n1n27，|n1||n2|71- 10 -

所以二面角AEFA1的正弦值为42．715x2y220．已知椭圆C:21(0m5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点。425m（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP||BQ|，BPBQ，求△APQ的面积。答案：25m215（1）由题设可得，542得m25，16x2y21所以C的方程为2525.16（2）设P(xP,yP),Q(6,yQ)，根据对称性可设yQ0，由题意知yP0，由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y1(x5)，yQ22所以|BP|yP1yQ，|BQ|1yQ，因为|BP||BQ|，所以yP1，将yP1代入C的方程，解得xP3或3.由直线BP的方程得yQ2或8。所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(3,1),Q2(6,8).- 11 -

|PQ11|10，直线PQ11的方程为y13x，点A(5,0)到直线PQ11的距离为102，故△APQ11011的面积为221052.|P2Q2|130，直线PQ22的方程为y7109x3，点A到直线PQ13022的距离为26，故△APQ113022的面积为22613052.综上，△APQ的面积为52.21．设函数f(x)x3bxc，曲线yf(x)在点(1，f(122))处的切线与y轴垂直。（1）求b。（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1。答案：（1）解答过程如下；对f(x)求导可得：f(x)3x2b．有f(132)0，即4b0，故b34．（2）解答过程如下；由（1）知f(x)x33(x)3x24xc，f34。令f(x)0，解得x112或x2.- 12 -

则f(x)与f(x)的情况如下表：1(，)2xf(x)1211(，)22121(，+)2+0c14–0c14+f(x)11因为f(1)f(2)c4，所以当c4时，f(x)只有大于1的零点。因为11f(1)f()c241，所以当c14时，f（x）只有小于–1的零点。由题设可知4c4，当c=4时，f(x)只有两个零点2和1。当c=4时，f(x)只有两个零点–1和2.当111111c时，f(x)有三个等点x1，x2，x3，且x1(1,)，x2(,)，x3(,1)．442222111111综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。x2tt222．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐2y23tt标轴交于A、B两点．（1）求|AB|；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程。- 13 -

答案：（1）解答过程如下；因为t≠1，由2tt20得t2，所以C与y轴的交点为（0，12）；由23tt20得t=2，所以C与x轴的交点为(4,0)．故|AB|410．（2）解答过程如下；由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为xy4121，将xcos，ysin代入，得直线AB的极坐标方程得：3cossin120．23．设a，b，c∈R，abc0，abc1。（1）证明：abbcca0；（2）用max{a,b,c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a,b,c}≥34。答案：（1）解答过程如下；由题设可知，a，b均不为零，所以abbcca1[(abc)2(a2b2c2)]1(a2b2c222)0.（2）解答过程如下；不妨设max{a，b，c}=a，因为abc1,a(bc)，所以a>0，b<0，c<0。(bc)2a3由bc4，可得abc4，故a34，所以max{a,b,c}34.- 14 -


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