2024年3月6日发(作者：数学试卷要写到哪些题型)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若z13i，则z（ ）zz1C．A．13i B．13i

13i

33D．13i332．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差∣x4x30，则ð3．设全集U{2,1,0,1,2,3}，集合A{1,2},BxU(AB)（

2）

A．{1,3} B．{0,3} C．{2,1} D．{2,0}）4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（

A．8 B．12 C．16 D．205．函数y33xxππ在区间cosx,的图像大致为（ ）22A． B．C．6．当x1时，函数f(x)alnxA．1 B． D．1

2b取得最大值2，则f(2)（ ）x1C． D．12）7．在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30，则（

A．AB2AD

C．ACCB1

B．AB与平面AB1C1D所成的角为30 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45AB8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，»AB上，CDAB．AB的弧长是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在»“会圆术”给出»CD2的近似值s的计算公式：sAB．当OA2,AOB60时，s（ ）OA

A．1133

2B．1143

2C．933

2D．94329．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲V=2，则甲=（ ）S乙V乙B．22 C．10 D．A．5

5104x2y210．椭圆C:221(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQab的斜率之积为1，则C的离心率为（ ）4B．A．3

22

2C．1

2D．1311．设函数f(x)sinxπ在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）3C．A．,513

36B．,519

36138,

63D．1319,

663111,bcos,c4sin，则（ ）3244A．cba B．bac C．abc

12．已知aD．acb二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。113．设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|1,|b|3，则 (2ab)b_________．3x22214．若双曲线y21(m0)的渐近线与圆xy4y30相切，则m_________．m215．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

16．已知△ABC中，点D在边BC上，ADB120,AD2,CD2BD．当________．AC取得最小值时，BDAB三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记Sn为数列an的前n项和．已知（1）证明：an是等差数列；（2）若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．18．（12分）在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD,CD∥AB,ADDCCB1,AB2,DP2Snn2an1．n3．（1）证明：BDPA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．19．（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．20．（12分）设抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直2于x轴时，MF3．（1）求C的方程；（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为,．当取得最大值时，求直线AB的方程．21．（12分）

ex已知函数fxlnxxa．x（I）若fx0，求a的取值范围；（2）证明：若fx有两个零点x1,x2，则x1x21．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）2t2s，，xx6（t为参数）6在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为ytys（s为参数）．（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cossin0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c均为正数，且a2b24c23，证明：（1）ab2c3；（2）若b2c，则113．ac

绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. C 2.

B. 3.D 4. B 5. A 6. B 7. D 8. B

9. C 10. A 11. C 12.

A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.

1114.

3315.16.

6.3531##1+3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.

（1）解：因为2Snn2an1，即2Snn22nann①，n2当n2时，2Sn1n12n1an1n1②，

①②得，2Snn22Sn1n12nann2n1an1n1，即2an2n12nan2n1an11，即2n1an2n1an12n1，所以anan11，n2且nN*，所以an是以1为公差的等差数列．（2）78．218.

（1）证明：在四边形ABCD中，作DEAB于E，CFAB于F，因为CD//AB,ADCDCB1,AB2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AEBF1，2故DE3，BDDE2BE23，2所以AD2BD2AB2，所以ADBD，因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD，又PDADD，所以BD平面PAD，又因PA平面PAD，所以BDPA；

（2）5.519.

（1）0.6；

（2）分布列见解析，EX13.【解析】依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，PX00.50.40.80.16,PX100.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44，

PX200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34，PX300.50.60.20.06.即X的分布列为XP00.16100.44200.34300.06期望EX00.16100.44200.34300.0613.20.

（1）y24x；

（2）AB:x2y21.

已知函数fxlnxxa．x（1）(,e1]

（2）由题知,fx一个零点小于1,一个零点大于1不妨设x1<1

1ex设g(x)xex,x1，x1111x11111x则g(x)2eexxex21eex1xxxxxx11xx1ex1exx1eexxxxex11xx1xx1,x设x2e2e0xxxx所以x1e,而exe1ex所以ex0,所以g(x)0x1所以g(x)在(1,)单调递增1ex即g(x)g(1)0,所以xex0x令h(x)lnx11x,x12x1112xx21(x1)2h(x)120x2x2x22x2所以h(x)在(1,)单调递减即h(x)h(1)0,所以lnx11x0；2x1ex11xex2lnxx0,所以x1x21.综上,

x2x（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]222.

（1）y6x2y0；

11（2）C3,C1的交点坐标为,1，1,2，C3,C2的交点坐标为,1，1,2．22[选修4-5：不等式选讲]222222223.（1）证明：由柯西不等式有ab2c111ab2c，所以ab2c3，当且仅当ab2c1时，取等号，所以ab2c3；（2）证明：因为b2c，a0，b0，c0，由（1）得ab2ca4c3，即0a4c3，所以11，a4c32221293，1112由权方和不等式知aca4ca4ca4c当且仅当121，即a1，c时取等号，a4c2所以113ac


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