分数阶Relaxation-Oscillation方程的一种分数阶预估-校正方法

2023年12月31日发(作者：福建初中名校会考数学试卷)

分数阶Relaxation-Oscillation方程

的一种分数阶预估－校正方法

杨晨航，刘发旺

厦门大学数学科学学院（361005）

摘要：涉及松弛（Relaxation）和震动（Oscillation）基本现象的过程是与物理密切相关；从数学观点来看，众所周知由时间分数阶导数, 01或12来控制的现象，被称之为分数阶松弛或分数阶震动现象。本文考虑分数阶Relaxation-Oscillation方程。证明了分数阶Relaxation-Oscillation方程解的存在唯一性，并利用格林函数给出了它的解析解。我们提出一种计算有效的分数阶预估－校正方法，导出了其误差估计。最后给出数值例子。

关键词：分数阶导数；Caputo定义；Riemann-Liouville定义；分数阶Relaxation-Oscillation方程；分数阶预估校正法; 误差估计。

中图分类号：O241.82 文献标识码：A

A Fractional Predictor-Corrector Method of the Fractional

Relaxation-Oscillation Equation

YANG Chen-hang, LIU Fa-wang

(School of Mathematical Sciences, Xiamen University, Xiamen 361005, China)

Abstract: The processes involving the basic phenomena of relaxation and oscillation are of great

relevance in physics. From a mathematical point of view they are known to be governed by

fractional derivatives of order

 in time, with

01 or

12, leads to processes that,

in mathematical physics, we may refer to as fractional relaxation or oscillation phenomena. In this

paper, a fractional Relaxation-Oscillation equation (FROE) is considered. The existence and

uniqueness of solution for FROE is proven, and its analytical solution is given. A computationally

effective fractional Predictor-Corrector method is proposed, and a detailed error analysis is

derived. Finally, we give some numerical examples.

Key words: Fractional-order; Caputo definition; Riemann-Liouville definition; Fractional

Relaxation-Oscillation equation; Fractional Predictor-Corrector Method; Error

analysis.

_______________________________________________________________________________

基金项目：国家自然科学基金资助（10271098）

作者简介：杨晨航（1982-），男，硕博连读研究生

刘发旺教授，男，博士生导师

分数阶微分方程已经引起了极大的兴趣，很多领域都牵涉到了，具有广泛的应用前景[1，2，3，4]。分数阶常微分方程的数值解，也有许多作者讨论过。例如，Podlubny（1999）[1]提出了一些有效数值方法，解分数阶常微分方程。沈、刘[5]提出一种有效数值方法解分数阶Bagley-Torvik方程。林、刘[6]提出了一种线性多步法解的分数阶常微分方程，证明了其方法的相容性和收敛性，并给出稳定性分析。林、刘[7]考虑了分数阶Relaxation方程，提出了一种有效的数值方法，给出了收敛性及稳定性分析。Diethelm等[8]提出了一种分数阶Adams方法解分数阶常微分方程，导出了在不同类型假定下误差的界。但对于任意的实数，误差分析十分困难。注意到，在分数阶微分形式上很多文献通常使用Riemann-Liouville分数阶导数来替代Caputo导数。特别是那些文献中要求的是齐次的初值条件。而由[9]可知，在这些齐次条件下的Riemann-Liouville算子方程等同于Caputo算子方程。我们之所以选择Caputo分数阶导数形式是因为我们可以讨论非齐次初值条件下的问题。而若使用Riemann-Liouville分数阶导数，一般会有很多实际应用困难。[10]

本论文提出一种分数阶预估－校正方法解分数阶Relaxation-Oscillation方程，并给出误差分析。在第二节中，将介绍一种分数阶预估－校正法；在第三节中，将证明分数阶Relaxation-Oscillation方程解的存在唯一性；在第四节中，推导出分数阶Relaxation-Oscillation方程的解析解；在第五节中，给出详细误差分析；最后，我们将列举一些数值例子来验证理论结果，并显示分数阶Relaxation-Oscillation方程解的性态。

1． 一种计算有效的Relaxation-Oscillation方程预估－校正方法

考虑分数阶Relaxation-Oscillation方程

C0DtytftAyt,

kkk0,1,...,n1,y0y0,(1)

这里02，C0Dt表示Caputo形式下的分数阶导数[1]：

ntf1d1nnatCDftatdnftdtn0n1n,

nN.根据01和12，分别对应分数阶Relaxation方程和分数阶Oscillation方程

众所周知，初值问题（1）等价于Volterra积分方程

yt1j0yj0tj11tfAyd。

j!0t(2)

首先我们求预估值ytk1Ptk1，利用矩形求积公式我们得到

1

t0k1fAydbj,k1ftjAyj

j0k(3)

其中

hk1jkj

bj,k1(4)

那么，预估值yPtk1由分数阶预估方法来计算，得到

yPtk1j01tkj1j1k。

y0bj,k1ftjAyjj!j0k1j0(5)

利用梯形求积公式来替换方程（2）右端项的积分，得到

tk1

t0k11fAydaj,k1ftjAyj， (6)

其中

k1kk111hkj2kjaj,k1112kj111当j0, (7)

当1jk,当jk1.由此，我们得到分数阶校正公式：

ytk1j0tkj1j1kPy0aftAyaftAyj,k1jjk1,k1k1k1。 (8)

j!j0在这篇文章中，我们利用分数阶预估－校正法（5）（8）来求解分数阶Relaxation-Oscillation方程。

2．

分数阶Relaxation-Oscillation方程解的存在唯一性

定理2.1：若方程f连续且在适当区域G上满足的Lipschitz条件。则在区间0,T上,初值问题（1）的解存在且唯一。

证明：首先假设12，根据定义有

C0DtytCty\'\'1dftAyt

20t1令y\'\'tt，则yt0Dt2t，可以推出

t11tdAtdft

20t120简写为

Kt,dft (9)0t

其中Kt,1A1tt

22K*t,此时核函数Kt,能写成弱奇异核函数的形式：

Kt,t1 (10)

这里，当0t,T，12时，K*t,是连续的，且011。由[11]可知，具有弱奇异核函数（10）及右端项ftL10,T的方程（10）有唯一解tL10,T，容易推出方程（1）有唯一解ytL10,T。当01时，同样得证。

3． 分数阶Relaxation-Oscillation方程的解析解

利用常系数的二项分数阶微分方程的格林函数[1]，可以求出分数阶Relaxation-Oscillation方程（1）的解析解。

我们对方程（1）进行拉普拉斯变换，

sYsAYsFs，

Fs。

sA(11)

其中s为拉普拉斯变换参变量。因此，可以得到

令g2s

Ys1，由拉普拉斯逆变换得：

sA(12)

G2tt1E,At， (13)

其中E,z是带有两个参数的Mittag-Leffler函数[1]：

zkE,zk0k0,0。 (14)

所有（12）式的右边可以视为是卷积G2tft的拉普拉斯变换。那么，分数阶Relaxation-Oscillation方程的解析解可以表示成如下形式：

ytG2tftG2tfd。

0t(15)

4． 分数阶预估－校正方法的误差分析

在这一节中，我们将给出本文的主要结论，即关于分数阶预估－校正方法误差的定理。分数阶预估－校正方法的误差精确度将，取决于01还是12，即方程是属于分数阶Relaxation方程，还是分数阶Oscillation方程。

4.1．辅助定理

为了对我们的预估－校正方法解Relaxation－Oscillation方程进行误差分析，在这一节中，给出一些辅助定理。

对解的附加性质的了解，对于所要进行的误差分析是相当有意义的。特别地，我们需要光滑性和关于求积公式的误差的信息，推导预估及校正公式的误差。

首先，我们给出在预估公式中利用的矩形法则的误差估计。

引理4.1：若zC0,T，则

1tk1tk1t01ztdtbj,k1ztjj0k1z\'tk1h。

其次，我们给出在校正公式中利用的梯形法则的误差估计。

引理4.2：若zC0,T，则存在一常数C（仅依赖于）使得

2

tk1tk1t01ztdtaj,k1ztjCz\'\'j0k12tk1h。

以上两个引理的证明详见[12]。

4.2误差估计

2定理4.3：假设C0DtyC0,T，那么

Oh212,maxytjyj

10jNOh01.2证明：首先在C0DtyC0,T的条件下，利用引理4.1和引理4.2，下面关系式成立：

tk1

tk1t01C0Dtytdtbj,k1C0DtytjC1tk1h,

j0k(16)

tk1t0k1t1C02Dtytdtaj,k1C (17)

0DtytjC2tk1h。j0k1现在我们证明对于足够小的hTN，下面关系式成立：

maxytjyjOh0jN。 (18)

q这里j0,1,...,N，qmin1,2。

我们将使用数学归纳法来证明。观察所给的初值条件，归纳法的基础j0成立。现在假设(18)对于j0,1,...,kkN1都成立。我们要证明关系式(18), 对于jk1亦P成立。为此，我们先看预估公式yk1的误差。根据预估公式的构造，利用关系式(16),ftAyt满足Lipschitz条件，及预估公式系数的定义的估计式

bj,k1j0ktk10tk1t1tk11dt1tk11T，我们得到

kytk1yPk1t0k1tt1ftAytdtbj,k1ftjAyjj0t01tk11C0k1Dtytdtbj,k1C0Dtytj0kbj01kj,k1ftjAytjftjAyj (19)C1tk1k1hbj,k1LC0hqj0C0LTqC1Thh1

现在，我们对校正误差进行分析。根据校正公式（8）的构造，利用关系式(17),

ftAyt满足Lipschitz条件，及校正公式系数的定义的估计式

们得到

1aT，我j,k12j0kytk1yk1tk1t0kj01tk11ftAytdtak1,k1ftk1AykP1aj,k1ftAyjjt01tk1k1t1C0Dtytdtaj0k1Cj,k10Dtytj

aj011kj,k1ftjAytjftjAyjPak1,k1ftAytftAyk1k1k1k1C2tkC0LqkLC1T11C0LTq12hhaj,k1ak1,k1hhj01

C2TqC0LTC0L2TC1LT1212hhChq. (20)

因此，定理得证。

注意到，在某种意义上，如上的定理所涉及的是最佳的情况：在我们进程中，我们近似C的方程是ftjAyj0Dtyt。为了得到一好的误差界限，我们需确保该方程的积分误

差足够小（渐近的），这个成立的充分条件，众所周知是由积分定理[13]而来的，即该方程在积分区间上是属于C。所以该定理告之我们什么情况下用预估－校正方法能得出最佳状况，且它也阐述了结论成立的充分条件。

5． 数值例子

在这一节中，我们给出一些例子，证明我们方法的有效性。

例1：我们考虑12阶的Relaxation方程：

2

C10Dt2ytytsint2et

y00

当我们取12，h1.590时，分数阶预估－校正方法的数值解和分数阶Relaxation方程的解析解列在表1和显示在图1（实线表示解析解，星号表示数值解）。从表1和图1可以明显的看出，分数阶预估－校正法具有很高的精确度。

例2：考虑分数阶Relaxation方程：这里01

C2tDytytsinte0t

y00

图2给出了当从0变化到1时，分数阶Relaxation方程解的变化性态。从图2可以看出，当01时，分数阶Relaxation方程解的性态在小时间内比较快衰减，而在大时间内比较慢衰减。分数阶Relaxation方程解的变化性态通常称为一个超慢过程。

例3：考虑分数阶Oscillation方程：这里12

C2tDytytsinte0t



y0y\'00图3给出了当从1变化到2时，分数阶Oscillation方程解的变化性态。从图3可以看出，分数阶Oscillation方程解的变化性态显示一些衰减震动。但不是永久性的震动，而是不对称的代数衰减，它的初始振幅随增大而增大。当2，通常的Oscillation方程解的变化性态与sin(t)类似。它显示分数阶Relaxation方程和分数阶Oscillation方程之间的过度特点。分数阶Oscillation方程解的变化性态通常称为一个过渡过程。

6． 结论

本文考虑分数阶Relaxation-Oscillation方程。证明了分数阶Relaxation-Oscillation方程解的存在唯一性，并给出了它的解析解。还提出一种计算有效的分数阶预估－校正方法，并导出了其误差估计。数值例子给出了有力的证明。借助分数阶预估－校正方法可以精确地模拟分数阶Relaxation-Oscillation方程解的变化性态。

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[13]H. Brass, Quadraturverfahren, Vandenhoeck & Ruprecht[M], Göttingen, 1997.

表1

12阶的Relaxation方程的数值解、解析解及误差（h1.590）

Tab.1 Numerical solution、analytic solution

and errors of

12 order Relaxation equation

时间 数值解 解析解 误差

0.05236 4.4783727E-04 4.4783727E-04 0.0000000E+00

0.314159 1.9777699E-02 1.9350083E-02 4.2761600E-04

0.575959 6.3524881E-02 6.0944881E-02 2.5800000E-03

0.837758 1.1454364E-01 1.0867356E-01 5.8700800E-03

1.099557 1.5098627E-01 1.4206806E-01 8.9182100E-03

1.361357 1.5222845E-01 1.4203968E-01 1.0188770E-02

1.623156 1.1070188E-01 1.0210270E-01 8.5991800E-03

1.884956 4.5025351E-02 4.0568489E-02 4.4568620E-03

2.146755 -3.5549938E-03 -3.5086275E-03 4.6366300E-05

2.408554 -4.6446282E-03 -2.5814044E-03 2.0632238E-03

2.670354 2.3670153E-02 2.4573165E-02 9.0301200E-04

2.932153 3.2322588E-02 3.1543946E-02 7.7864200E-04

3.193953 1.1974458E-02 1.1607550E-02 3.6690800E-04

3.455752 3.7024504E-03 4.5510911E-03 8.4864070E-04

3.717551 1.5058069E-02 1.5608976E-02 5.5090700E-04

3.979351 1.2196712E-02 1.2227385E-02 3.0673000E-05

4.241150 5.1148355E-03 5.6476119E-03 5.3277640E-04

4.502950 1.0219122E-02 1.0708123E-02 4.8900100E-04

4.712389 8.4155283E-03 8.6775045E-03 2.6197620E-04

图2: 分数阶Relaxation方程解的变化性态的三维图 （01，0t1.5）

Fig.2: Variation of solution on fractional

Relaxation equation, showing the effect of

.

图1 比较12阶的Relaxation方程的数值解和解析解

Fig.1 Comparison of the numerical solution

and analytic solution of

12 order

Relaxation equation

图3: 分数阶Oscillation方程解的变化性态的三维图 （12，0t3）

Fig.3: Variation of solution on fractional

Oscillation equation, showing the effect of

