2023年12月31日发(作者：禹城初一数学试卷及答案)

第三章参考答案

习题3-1（P66）

1、（1）不满足，在x1处不连续；（2）不满足，在x2处不可导；

2、（1）、e1；（2）4；

3、证明：设任意区间[a,b](,)，显然函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，

所以函数满足拉格朗日中值定理的条件，

(pb2qbr)(pa2qar)p(ab)q 所以有f()ba又f()(pxqxr)2x2pq

所以p(ab)q2pq，从而所以命题成立。

ab

24、方程有2个根，分别位于区间(1,2)和(2,3)内；

5、(2,4)；

6、证明：设f(x)arctanx，显然函数f(x)在(,)内处处连续，处处可导，

设区间[b,a](,)，则f(x)在[b,a]上满足拉格朗日子中值定理的条件

所以(b,a)内至少存在一点，使arctanaarctanb1(ab)，

21 所以arctanaarctanb1abab，

21即arctanaarctanbab

习题3-2（P70）

1、（1）1；（2）2；（3）cosa；（4）31；（5）；

58112（6）0；（7）；（8）；（9）0；（10）；

222、（1）1，不能；（2）1，不能；

习题3-3（P77）

1、（1）(,1)增加，(1,)减少；（2）(,)减少；

（3）(,1)和(1,)增加，(1,1)减少；（4）(0,2)减少，(2,)增加；

2、（1）(,3)减少，(3,)增加；

1（2）(0,e)减少，(e,)增加；

1（3）(,0)增加，(0,)减少；

（4）(,1)和(3535,)增加，(1,)减少；

2727xx3、证明：设f(x)ex1，则f(x)e1，当x0时，f(x)0

所以函数f(x)在(0,)上单调增加，

所以当x0时，f(x)f(0)0，即ex10，从而e1x

4、证明：设f(x)x3x1，

显然函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)10,f(1)10

由零点存在定理知，函数f(x)在(0,1)至少有一个零点，

又当x(0,1)时，f(x)3x6x3x(x2)0，函数单调减少

所以函数f(x)在(0,1)至多只有一个零点，即方程x3x10在(0,1)至多只有一个实根，

因为f(0)0,f(1)0，所以x0,x1不是方程的根，

所以方程x3x10在[0,1]至多只有一个实根。

5、（1）极小值f(1)5，无极大值；

（2）极小值f(2)3，极大值f(1)3232232xx3；

2（3）极小值f(3)47，极大值f(1)17；

（4）极小值f()345，无极大值；

44；

2e（5）极小值f(0)0，极大值f(2)（6）无极值；

（7）极小值f(0)0，极大值f(1)1；

（8）提示：yx11，极小值f(0)2，极大值f(2)2；

x1

6、解：显然函数f(x)在(,)上可导，

要使函数f(x)在x即acos3处取得极值，须有f()0，

33cos0，解得a2

因为f()(2sinx3sin3x)x30

33所以函数f(x)在x3处取得极大值，此时f()2sin31sin3

33所以当a2时，函数f(x)在x3处取极大值3。

7、（1）最大值f(4)80，最小值f(1)5；

（2）最大值f(3)11，最小值f(2)f(2)14；

（3）最大值f(1)1，最小值f(0)f(2)0；

（4）最大值f(0)0，最小值f()ln2；

（5）最大值f(1)1411，最小值f(1)；

224（6）最大值f(4)16e，最小值f(0)0；

8、解：设车间靠墙壁的长为x米，则不靠墙壁的长为(10)米，

面积S(x)x(10)，0x20

S(x)10x，令S(x)0，得唯一驻点x10，因为S(x)10

所以S(x)在x10处取极大值，又驻点唯一，

所以S(x)在x10处取最大值，

所以当小屋靠墙壁的长为10米，不靠墙壁的长为5米时，面积最大。

9、解：设经过x小时两船相距为y海里，则

x2x2(7512x)2(6x)2,0x6.25

y

22[12(x6.25)](6x),x6.25 当0x6.25时，y360x1800180x1800x56252360x1800180(x5)11252，

令y0，得驻点x5，没有不可导点，

依题意知目标函数存在最小值，且驻点唯一，所以当x5时，函数y取最小值155

当x6.25时，y(66.25)237.5155

综上可知，经过5小时，两船距离最近。

10、解：设BMx(m)，那么AM600x,CMx22002，

所以掘进费y5(600x)13x22002(0x600)

y13xx220025,令y0，得唯一驻点x250，没有不可导点

3250时，y4717.2；x600时，y8221.9

3250 比较得y4717.2最小，此时AM600516.7，

3 当x0时，y5600；当x所以从A处沿水平掘进516.7米后，再斜向下沿直线掘进到C处，掘进费最省，为4717.2元。

11、解：矩形底宽为x米，高为h米，则周长y2hx(2)

2 由xhx285得h5x10x(4)，所以y(x0)

x8x440

440米时，截面的周长4

y4104x2，令y0，得驻点x 依题意目标函数存在最小值，且驻点唯一，所以当x最小。

12rh

3RR22 由2rR，得r，hRr422

2212、解：设漏斗的地面半径为r，高为h，则V12R32422(02) 所以Vrh23248R3(8232)

V，令，解得V02223244 依题意，目标函数存在最大值，且驻点唯一，所以当8时，函数取最大值，

3

即当8时，做成的漏斗容积最大。

3213、解：设内接直圆柱的底半径为r，高为2h，则圆柱的体积V2rh

222 因为球内接圆柱，所以有rhR，得hR2r2

， 所以V2rRr426(0rR)，

V4R

32r(2R23r2)Rr22令V0，得r2R，此时2h3依题意，函数 存在最大值，且驻点=唯一，所以当r2R时，函数取最大值，

3所以内接直圆柱的半径为24R、高为R时，体积最大。

3314、解：如图hDADC215sin3tan

因为DA15sin1.5,DC3tan，

所以h15sin3tan0.5(022)

115cos333cos

h15cos3sec，令，解得

h025cos 此时sin1cos21310.81，

253tansec2111cos22511.39

1时，函数取最大值

5 依题意知，函数存在最大值，且驻点唯一，所以当cos3

h15sin3tan0.5150.8131.390.57.486

所该吊车能把屋架吊上去。

15、解：利润L(x)R(x)C(x)0.01x150x500

L(x)0.02x150，令L(x)0，得唯一驻点x7500

2

依题意，函数存在最大值，且驻点唯一，所以当x7500时，L(x)最大，

即应生成7500台，才能获得最大利润。

习题3-4（P83）

1、（1）凸区间为(,)，凹区间为(,)，拐点为(,5353520)；

327（2）凸区间为(,1)和(1,)，凹区间为(1,1)，拐点为(1,ln2)和(1,ln2)；

（3）凸区间为(,0)和(,)，凹区间为(0,)，拐点为(0,0)和(,121211)；

216e2（4）凸区间为(0,1)和(e,)，凹区间为(1,e)，拐点为(e,)；

2222（5）凸区间为(,3)和(0,3)，凹区间为(3,0)和(3,)，

拐点为(3,33)；

)、(0,0)和(3,442、略；

综合练习（三）（P83）

一、填空题

1、2；2、2；3、(1,),(0,1)；4、1,1；5、(1,),(2,8、0；9、必要；10、f(b)；

二、选择题

1、D；2、C；3、A；4、B；5、B；6、C；7、B；8、D；9、C；10、B；

三、计算题

1、（1）1e2)；6、2；7、(0,),(,0)；

e211；（2）；

621（3）原式limex0lnxln(ex1)lnxlimeln(ex0x1)ex0limlnxln(ex1)

e1limxxx0eex1ex0limex1xexex0limexexxexe；

sin2xx2（4）原式lim

x0x2sin2xlim2sinxcosx2x

x02xsin2x2x2sinxcosxsin2x2xlim

x02xsin2xx2sin2x

2cos2x2

x02sin2x2xsin2x2xsin2x2x2cos2xcos2x1

limx0sin2x2xsin2xx2cos2x2sin2x

limx0sin2x2sin2x4xcos2x2xcos2x2x2sin2x2sin2x

limx03sin2x6xcos2x2x2sin2xsin2x22xlim

x0sin2x33cos2xxsin2x2x1

3lim2、解：函数的定义域为(,)

y3x(4x)3(6xx)3232，令y0，得驻点x14，

导数不存在的点为x20,x36

列表讨论

x

(,0)

—

减

0

(0,4)

+

增

4

0

234

(4,6)

—

减

6

(6,)

—

减

y

y

0

所以，函数在区间(,0)和(4,)单调减少，在区间(0,4)单调增加，极小值为0，极大值为234。

3、函数在区间(,0)和(1,)单调增加，在区间(0,1)单调减少，极大值为0，极小值为1

24、函数在区间(,1)和(1,)是凸的，在区间(1,1)是凹的，拐点为(1,ln2)和(1,ln2)

5、解：ya2bx3

x2b301a 因为x11,x22为函数的极值点，所以有a，解得a2,b

4b30226、函数在区间(,0)是凸的，在(0,)是凹的，拐点为(0,0)。

四、应用与证明题

1、解：设车间靠墙的长为x米，则宽为12xx米，面积S(x)x(12)，0x24

22

S(x)12x，令S(x)0，得唯一驻点x12，因为S(x)10

所以S(x)在x12处取极大值，又驻点唯一，

所以S(x)在x12处取最大值，此时S(12)7264

所以这些存砖足够围成64平方米的小屋。

2、解：设围成圆形的铁丝长为x，围成正方形的铁丝长为ax

x2ax2x2(ax)2)() 则面积之和S(x)(，(0xa)

24416xax，令S(x)0，得唯一驻点xa

28411 因为S(x)0，所以S(x)在xa处取极小值，

284 因为S(x)又驻点唯一，所以S(x)在x即当围成圆形的铁丝长为4a处取最小值

4a时，两图形的面44a，围成正方形的铁丝长为积之和最小。

3、证明：因为xy，不妨设xy

设f(t)sint，则函数f(t)处处连续，处处可导，

所以函数f(t)在区间[y,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，

所以在(y,x)内至少存在一点，使sinxsinycos(xy)

所以sinxsinycosxyxy

同理，当xy时，上式同样成立

所以当xy时，sinxsinyxy

4、证明：设f(x)1xln(x1x2)1x2

f(x)ln(x1x)x21x1x2(1x1x2)x1x2

ln(x1x2)

所以当x0时，f(x)0，此时f(x)单调增加，

所以当x0时，f(x)f(0)0，即1xln(x1x2)1x20

所以当x0时，恒有1xln(x1x2)1x2

5、证明：设F(x)f(x)g(x)

因为当xa时，f(x)、g(x)均可导，且f(x)g(x)

所以当xa时，F(x)可导，且F(x)f(x)g(x)0

所以当xa时，F(x)单调增加，所以F(x)F(a)

即f(x)g(x)f(a)g(a)0

所以当xa时，f(x)g(x)。

6、证明：设f(x)arcsinxarccosx（x1），

则f(x)11x211x20

所以当x1时，f(x)恒为常数，又f(0)arcsin0arccos0 所以当x1时，恒有arcsinxarccosx7、证明：设f(x)x21，

显然函数f(x)在[0,2]上连续，且f(0)10,f(2)70

由零点存在定理知，函数f(x)在(0,2)内至少有一个零点，

又当x(0,2)时，f(x)2x2ln20，函数单调增加

所以函数f(x)在(0,2)至多只有一个零点，

综合可知函数f(x)在(0,2)有且只有一个零点

即方程x21在(0,2)有且只有一个实根，

xxx2

2

x


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