几乎周期点稠密系统的研究

2024年4月10日发(作者：2021年卷三数学试卷)

几乎周期点稠密系统的研究

付瑶;李楠;范钦杰

【摘 要】动力系统是紧致度量空间上的连续自映射.在动力系统理论中,全部重要的

动力性态完全集中在它的测度中心上,研究极小性也就变为必然.极小性是从拓扑学

的角度描述系统的不可分解性.因此,几乎周期性也是动力系统中一个非常重要的研

究课题.而以下的研究正是从具有几乎周期性与稠密性这样的集合出发,构造了几乎

周期点稠密系统.运用拓扑传递性与稠密性研究了几乎周期点稠密系统与Li-Yorke

混沌的关系,以及几乎周期点稠密系统所具有的拓扑遍历性.这样建立起了几乎周期

点稠密系统与拓扑遍历性的联系,对进一步了解几乎周期点稠密系统测度中心的性

质有一定的启示作用.%Dynamical systems is the continuous self-mapping of

a compact metric space. In the theory of dynamical systems, all important

dynamic features are focused on the measure center, thus, researching on

the minimality becomes inevitable. Minimality is the research on

indecomposability from the aspect of dynamical systems. Therefore,

almost periodic is one of the most important research topics on dynamical

systems. Next, we start with almost periodic and density of sets, construct

dense system of almost periodic points, and study the relation between

almost periodic point dense system and Li-Yorke chaos by topological

transitive and densityand topological ergodicity of almost periodic points

dense systems. This established a contact of almost periodic points dense

systems and topological ergodicity which has some inspiration to learn

more about the nature of the measure center of almost periodic points

dense systems.

【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2013(031)001

【总页数】3页(P53-55)

【关键词】几乎周期点;极小集;拓扑传递;拓扑遍历

【作 者】付瑶;李楠;范钦杰

【作者单位】吉林师范大学数学学院,吉林四平136000

【正文语种】中 文

【中图分类】O189.1

0 引 言

1972年洛伦兹发表了《蝴蝶效应》的文章后，激发启了人们对混沌学研究的浓厚

兴趣。混沌不仅是非线性系统普遍存在的现象，而且是非线性动力系统所固有的特

性。同时，混沌学也不是独立存在的一门学科，它与其它各门科学之间相互依靠、

相互促进。而且混沌是无处不在的，在实践生产中应用是非常广泛的。随着混沌理

论研究的逐渐深入，拓扑熵大于零已经被广大学者作为刻画系统复杂程度的一个重

要指标。它是迄今为止唯一的拓扑共轭数值不变量。并且在研究问题过程中也存在

一定的局限性，所以仅仅用拓扑熵来刻画系统的复杂程度是不够的。于是广大学者

开始把目光转移到了系统的中心测度上。

已有的成果表明：一个紧致系统全部重要的动力性态完全集中在它的测度中心上

［1］，所以研究极小系统的性态就能够满足需要。从而在极小系统基础上，构建

了几乎周期点稠密系统。这对更深入研究紧致动力系统的本质有重要地启示作用，

也揭示了几乎周期点稠密集与Li－Yorke混沌的关系.

前期的研究成果已经对几乎周期点稠密系统的混沌性有了一个初步认识，经过对问

题深入的探讨，笔者对这个系统的动力性态进行了进一步的研究。

1 基本概念

设X为紧致度量空间，f：X→X为从X到自身的连续映射。

定义1［2］ 称y∈X 为x的ω极限点，如果存在正整数的子序列｛ni｝，使

ni→∞。x的所有ω极限点的集合叫作x的ω极限集，记作ω（x，f）。

定义2［3］ 称x是几乎周期点的，如果对任意ε＞0，存在整数N＞0，使得对任

何q≥0，存在整数r，q＜r≤q＋N 满足d（fr（x），x）＜ε。f的全体几乎周期

点的集合记作A（f）。

定义3［4］ 称M⊂X为（相对于f）极小集，如果M 是f的非空不变闭集且M

中不存在f的非空不变的真子集。如果X本身是极小的，则称f为极小映射。

定义4［5］ 称f为（拓扑）传递的，如果对X 的任何非空开集U，V，存在n＞0，

使得fn（U）∩V≠∅。称轨道在X中稠密的点为f的传递点。

定义5［6］ 设f是度量空间（X，d）到自身的连续映射，x，y∈X。如果满足：

则称x，y为f的Li－yorke对；如果一个不少于两点的子集中任何不同两点均是f

的Li－yorke对，则称该集合为f的Li－yorke混沌集，或简单地L－Y混沌集；

如果f有一个由不可数多点构成的L－Y混沌集，则称它为Li－yorke混沌。

2 主要结论及证明

引理1［7］ 紧致系统（X，f）总存在极小集。

引理2［10］ 设M 是X 的非空闭子集且f（M）⊂M，则M 极小当且仅当

∀x∈M＝M。

引理3 设x∈A（f），则x∈A（f）当且仅当x∈ω（x，f）且x∈ω（x，f）是极

小的。

证明见文献［8－9］。

引理4［10］ 下述条件等价：

1）f是极小的；

2）若ω（x，f）⊂X 闭的，且对f 不变，则ω（x，f）＝X 或ω（x，f）＝∅。

证明 1）⇒2），设ω（x，f）⊂X 闭，且对f 不变。又设因此

2）⇒1），设x∈X。显然是X对f不变的非空闭子集是极小的。

引理5［10］ 若X 紧致，则f传递当且仅当存在x∈X 使得ω（x，f）＝X。

证明 令x∈X使得ω（x，f）＝X，同时，令U，V为X中的任意非空开子集。于

是存在n＞m＞0，使得即有f 是拓扑传递的。

另一方面令f是拓扑传递的。对任意的n＞0，存在半径为的有限多个开球覆盖X。

当n取任意正整数时，所得这些开球覆盖可写成序列：U1，U2，…。对任意的正

整数k，这个集合均是X的稠密开子集。因此知X是完备的，则根据Bairc纲定理

［11］，存在。因为x的轨道穿过每个Uk，于是orb（x，f）在X中是稠密的。

此时f拓扑传递蕴涵着f（X）＝X。则存在y∈X 使得f（y）＝x。若y∈orb（x，

f），则x 是周期点且ω（x，f）＝X。否则y∈ω（x，f），这蕴涵x∈ω（x，

f），于是ω（x，f）⊃orb（x，f）。进而这是因为ω（x，f）是闭集。从而也有

ω（x，f）＝X。

定理1 设（X，f）为紧致系统，若x∈A（f）（x∈X）且＝X，则f中存在Li－

Yorke混沌。

证明 f：X→X 是连续自映射：ω（x，f）→ω（x，f）的转移自映射＝X，而ω（x，

f）由文献［12］中定理1说明存在SS 混沌集。显然存在Li－Yorke混沌集。所

以f 中存在Li－Yorke混沌集，定理得证。

定理2 若几乎周期点稠密系统具有混合性，则该系统是Li－Yorke混沌的。

引理6［10］ 设（X，f）为紧致系统，则f是拓扑混合的，蕴涵f是Li－Yorke

混沌的。

定理2的证明 根据引理6的叙述，显然知道定理2成立。

定理3 设（X，f）为紧致系统，若x∈A（f）（x∈X）且＝X，则f是拓扑遍历的。

证明 根据文献［13］中推论3显然可以得到f是拓扑传递的，设U，V是2个非

空开子集，U，V∈（X，f），肯定∃n＞0，可以有f－n（U）∩V≠∅。由＝X 知

∃x∈A（f）∩f－n（U）∩V，即有x∈V满足fn（x）∈U。同时，根据f－n（U）

的连续性可以判断，存在x的邻域D⊂V，使得f－n（D）⊂U。而且x∈X，x∈A

（f），于是∃L 使得即f是拓扑遍历的。

3 结 论

拓扑动力系统和遍历理论的研究是相辅相成的，其中一者研究的突破和进展或新思

路新方法，必然促进另一者相关理论的发展。因为拓扑动力系统可以自然的视为一

个保测系统；并且任何遍历系统都具备相应的拓扑表示。同时，它们的基础理论有

很多着极为相似的表述。而且拓扑方法在研究中有其局限性。纯拓扑方法不能解决

这类问题，但是应用遍历理论的有关知识和方法却可以对问题继续讨论。所以在研

究问题时，对拓扑遍历性也进行了讨论。

以往的研究都是集中在对整个系统的动力性态上，而笔者的创新之处就在于研究系

统中心测度的性质，从而推断整个系统的性质。于是经过努力证明了Li－Yorke

混沌集在几乎周期点稠密系统中存在的条件；说明了混合的几乎周期点稠密系统的

混沌性态；阐明了该系统的拓扑遍历性。同时在问题研究的过程中发现想要找到产

生Li－Yorke混沌的充分必要条件并不容易，所以希望通过笔者的研究能够把已

有的结果建立起联系，并简化相关的结论。

以往的研究都是集中在对整个系统的动力性态上，而笔者的创新之处就在于研究系

统中心测度的性质，从而推断整个系统的性质。于是经过努力证明了Li－Yorke

混沌集在几乎周期点稠密系统中存在的条件；说明了混合的几乎周期点稠密系统的

混沌性态；阐明了该系统的拓扑遍历性。同时在问题研究的过程中发现想要找到产

生Li－Yorke混沌的充分必要条件并不容易，所以希望通过笔者的研究能够把已

有的结果建立起联系，并简化相关的结论。

参考文献：

［1］文兰.动力系统简介［J］.数学进展，2002，31（4）：293－294.

［2］麦结华，林桂莲.符号动力系统的若干性质［J］.广西大学学报，1993，18

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［13］李楠.几乎周期点稠密的混沌性态［J］.长春大学学报，2011，21（2）：

59－63.