2024年4月15日发(作者：广东职高数学试卷考点总结)

2019

年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清

楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上

答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知集合

A={x|x1}

，

B{x|x2}

，则

A

∩

B

=

A．(-1，+∞)

C．(-1，2)

2．设

z

=i(2+i)，则

z

=

A．1+2i

C．1-2i

B．-1+2i

D．-1-2i

B．(-∞，2)

D．

3．已知向量

a

=(2，3)，

b

=(3，2)，则|

a

-

b

|=

A．

2

C．5

2

B．2

D．50

4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只

测量过该指标的概率为

A．

2

3

2

5

B．

3

5

C． D．

1

5

5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A．甲、乙、丙

C．丙、乙、甲

x

B．乙、甲、丙

D．甲、丙、乙

6．设

f

(

x

)为奇函数，且当

x

≥0时，

f

(

x

)=

e1

，则当

x

<0时，

f

(

x

)=

A．

e1

x

C．

e1

x

B．

e

7．设

α

，

β

为两个平面，则

α

∥

β

的充要条件是

A．

α

内有无数条直线与

β

平行

B．

α

内有两条相交直线与

β

平行

C．

α

，

β

平行于同一条直线

D．

α

，

β

垂直于同一平面

1

x

D．

e1

x



，

x

2

=是函数

f

(

x

)=

sin

x

(

>0)两个相邻的极值点，则

=

44

3

A．2 B．

2

1

C．1 D．

2

x

2

y

2

2

1

的一个焦点，则

p

= 9．若抛物线

y

=2

px

（

p

>0）的焦点是椭圆

3pp

8．若

x

1

=

A．2 B．3

C．4 D．8

10．曲线

y

=2sin

x

+cos

x

在点(π，-1)处的切线方程为

A．

xy10

B．

2xy210

C．

2xy210

D．

xy10

π

11．已知

a

∈（0，），2sin2

α

=cos2

α

+1，则sin

α

=

2

1

A．

5

C．

3

3

B．

D．

5

5

25

5

x

2

y

2

222

12．设

F

为双曲线

C

：

2

2

1

（

a

>0，

b

>0）的右焦点，

O

为坐标原点，以

OF

为直径的圆与圆

x

+

y

=

a

ab

交于

P

、

Q

两点．若|

PQ

|=|

OF

|，则

C

的离心率为

A．

2

C．2

B．

3

D．

5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x3y60，

13．若变量

x

，

y

满足约束条件

xy30，

则

z

=3

x

–

y

的最大值是___________.

y20，

14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有

20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点

率的估计值为___________.

15．

△ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

．已知

b

sin

A

+

a

cos

B

=0，则

B

=___________.

16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但

南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正

多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所

有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱

长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

如图，长方体

ABCD

–

A

1

B

1

C

1

D

1

的底面

ABCD

是正方形，点

E

在棱

AA

1

上，

BE

⊥

EC

1

．

（1）证明：

BE

⊥平面

EB

1

C

1

；

（2）若

AE

=

A

1

E

，

AB

=3，求四棱锥

EBB

1

C

1

C

的体积．

18．（12分）

已知

{a

n

}

是各项均为正数的等比数列，

a

1

2,a

3

2a

2

16

.

（1）求

{a

n

}

的通项公式；

（2）设

b

n

log

2

a

n

，求数列

{b

n

}

的前

n

项和．

19．（12分）

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对

于前一年第一季度产值增长率

y

的频数分布表．

y

的分组

企业数

[0.20,0)

2

[0,0.20)

24

[0.20,0.40)

53

[0.40,0.60)

14

[0.60,0.80)

7

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精

确到0.01）

附：

748.602

.

20．（12分）

x

2

y

2

已知

F

1

,F

2

是椭圆

C:

2

2

1(ab0)

的两个焦点，

P

为

C

上一点，

O

为坐标原点．

ab

（1）若

△POF

2

为等边三角形，求

C

的离心率；

（2）如果存在点

P

，使得

PF

1

PF

2

，且

△F

1

PF

2

的面积等于16，求

b

的值和

a

的取值范围．

21．（12分）

已知函数

f(x)(x1)lnxx1

．证明：

（1）

f(x)

存在唯一的极值点；

（2）

f(x)=0

有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，

O

为极点，点

M(

0

,

0

)(

0

0)

在曲线

C:

4sin

上，直线

l

过点

A(4,0)

且与

OM

垂

直，垂足为

P

.

（1）当

0

=

时，求

0

及

l

的极坐标方程；

3

（2）当

M

在

C

上运动且

P

在线段

OM

上时，求

P

点轨迹的极坐标方程.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知

f(x)|xa|x|x2|(xa).

（1）当

a1

时，求不等式

f(x)0

的解集；


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