2020考研数学三真题及解析

2024年1月16日发(作者：比较贴合新高考的数学试卷)

2020考研数学三真题及解析

2020考研数学三真题及解析

一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.

．．．(1) 设limxaf(x)asinf(x)sinab,则lim( )

xaxaxa(A)

bsina (B)

bcosa

(C)

bsinf(a) (D)

bcosf(a)

【答】应选(B).

【解】由limf(x)ab得limf(x)a,sinf(x)sinacos[f(x)a],其中xaxaxasinf(x)sinaf(x)a介于f(x)与a之间,则limlimcosbcosa,应选(B).

xaxaxaxa(2)

f(x)eln|1x|的第二类间断点的个数为( )

x(e1)(x2)1x1(A) 1 (B)2 (C)3 (D)4

【答】应选(C).

【解】显然x1,x0,x1,x2为f(x)的间断点,

由limf(x)得x1为第二类间断点;

x1由limf(x)limx0x0eln(1x)1x得x0为第一类间断点中的可去间断点;

x2e12e1x1由f(10)得x1为第二类间断点;

由limf(x)得x2为第二类间断点,应选(C).

x2(3) 设奇函数f(x)在(,)上具有连续导数,则( )

(A)(B)(C)(D)cosf(t)f\'(t)dt是奇函数

0xcosf(t)f\'(t)dt是偶函数

0xcosf\'(t)f(t)dt是奇函数

0xcosf\'(t)f(t)dt是偶函数

0x【答】应选(A).

【解】因为f(x)为奇函数,所以f(x)为偶函数,

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又因为cosf(t)f(t)为偶函数,所以cosf(t)f\'(t)dt为奇函数,应选(A).

0x(4) 设幂级数na(x2)nn1n的收敛区间为(2,6),则a(x1)nn12n的收敛区间为( ).

(A)

(2,6) (B)

(3,1)

(C)

(5,3) (D)

(17,15)

【答】应选(B).

【解】由于lim(n1)an1aa111limn11,limn121,故R24.nnananR14nan4n则R2R22,故所求收敛域为(3,1),故选(B).

(5) 设四阶矩阵A(aij)44不可逆,a12的代数余子式A120,α1,α2,α3,α4为矩阵A的列向量组,A为A的伴随矩阵.则方程组AX0的通解为( )

(A)

Xk1α1k2α2k3α3 (B)

Xk1α1k2α2k3α4

(C)

Xk1α1k2α2k3α4 (D)

Xk1α2k2α3k3α4【答】应选(C).

a11a【解】令A21a31a41a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a12a22a32a42a13a23a33a43a14a21a24,因为A120,所以a31a34a41a44a23a33a43a24a34可逆,从而a44a14a24的秩为3,即α1,α3,α4线性无关,应选(C).

a34a44(6) 设A为3阶矩阵,α1,α2为A属于特征值1的线性无关的特征向量,

α3为A的属于特征值1001-1的特征向量，则满足PAP010的可逆矩阵P可为( )

001(A)

(α1α3,α2,α3). (B)

(α1α2,α2,α3).

(C)

(α1α3,α3,α2). (D)

(α1α2,α3,α2).

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【答】应选(D).

【解】由Aα1α1,Aα2α2,Aα3α3得

A(α1α2)α1α2,A(α3)(α3),Aα2α2

1001001令P(α1α2,α3,α2),则APP010,即PAP010,应选(D).

001001(7) 设A,B,C为三个随机事件,且P(A)P(B)P(C)1,P(AB)0,4P(AC)P(BC)(A)1则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为( )

123215 (B) (C) (D)

43212【答】应选(D).

【【【A,B,C【【【【【【【【【【(ABC)(ABBCAC),【【P(AB)0,【P(ABC)0,【【【【【【【【【【【【【【【(ABC)(BCAC)【【【.

P((ABC)(BCAC))P(A)P(B)P(C)P(BC)P(AC)P(BC)P(AC)

【【(D).

(8) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N0,0;1,4;且为X相互独立的是( )

(A)1111115.

444121212121,随机变量中服从标准正态分布255(XY) (B)(XY)

5533(XY) (D)(XY)

33(C)【答】应选(C).

【解】D312(XY)[DXDY]cov(X,Y)

333DY

12[DXDY]DX33

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521,

3333(XY)E(XY)0,故33N(0,1).

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.

．．．(9) 设zarctan[xysin(xy)],则dz|(0,)__________.

【答】应填(1)dxdy.

【解】zycos(xy)zxcos(xy)z,,则1,22x1[xysin(xy)]y1[xysin(xy)]x(0,)z1,故dz|(0,)(1)dxdy.

y(0,)(10) 曲线xye2xy0在点(0,1)处的切线方程为__________.

【答】应填yx1.

2xy【解】1ye(2y2xy)0,

将x0,y1代入得y1k.

则y11(x0),

即yx1.

(11)

Q表示产量,成本C(Q)10013Q,单价为p,需求量Q(p)最大利润时的产量为______.

【答】应填Q8.

【解】LQPC(Q)

8002.则工厂取得p3800Q310013Q

Q280016Q100,

Q2

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160016(Q2)2则L(Q)0,得Q8.

2(Q2)(12) 设平面区域D(x,y)x1y,0x1,则D绕y轴旋转一周所成旋转体体积221x为 .

【答】应填ln21201.

31【解】120x2dy1x2dy

2114ydy1(-1)dy

2y24y3312011[lny1]

22411(ln2)

3821(ln2).

3a(13) 行列式0a1111a0110a .

011【答】应填a44a2.

a【解】0a1111a0110aa0001a01aa110a01100a1a2a1aa110a111100a1a2a10a1aa2211a21a44a2.

a00a1k(14) 随机变量X的概率分布P{xk}2(k1,2,3),Y表示X被3整除的余数,则E(Y)= .

8【答】应填.

7

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【解】P(Y0)P{X3k, k1,2,},

P(Y1)P{X3k1, k0,1,2,}13k1k02,

P(Y2)P{X3k2, k0,1,2,}E(Y)1k013k2k02,

123k122k013k2

1111

112121888.

7三、解答题：（15～23小题，共94 分.）

b1(15) （本题满分10分）已知a,b常数,当n时1e与a为等价无穷小,求a,b.

nnn1(1)ne1nln(1)1ann【解】1limlimn[ee]

nbbnnanln(1)11nlimnae[e1]

bn111limnae[nln(1)1]

bnn111limnae[n(2)1]bnn2n

11limne1()e,

bn21ee故a10,a1,()1,b.

b22(16) （本题满分10分）求函数f(x,y)x8yxy的极值.

【解】求一阶导可得

33ff24y2x,

3x2y,yx

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f10xx0x6令可得,,

fy0y1012y2f2f2f1,248y, 求二阶导可得26x,xyxy当x0,y0时,A0,B1,C0.

ACB20故不是极值.

当x11,y时,

612A1,B1,C4.

11ACB20,A10故(,)为极小值.

612111111极小值f(,)()28()36.

61261212216(17) （本题满分10分）设yf(x)且y2y5y0,f(0)1,f(0)1.

(Ⅰ)求f(x);

(【)设annf(x)dx,求ai.

i1n【解】(Ⅰ)

y2y5y0的特征方程为2250,得1,212i,故通解x为y(x)e(C1cos2xC2sin2x),y(x)ex(C1cos2xC2sin2x)ex(2C1sin2x2C2cos2x),又y(0)1,y(0)1,y(0)1,代入得C11,C20,故y(x)excos2x.

(【)

annf(x)dxexcos2xdx

ncos2xdexn

ncos2xexnnexdcos2x

en2exsin2xdx

en2sin2xdex

n

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en2sin2xe15xn2excos2xdx,

nn则5ane,则anen,

则1a[ee2n5n1nen]

1e[1en],,

51e11en.

5e1(18) （本题满分10分）设f(x,y)y1x2xf(x,y)dxdy,其中DD{(x,y)|x2y21,y0},求xf(x,y)d.

D【解】积分区域如图:两边积分得

DDf(x,y)dxdyy1x2dxdyf(x,y)dxdyxdxdy,

DDD211x2y1xdxdy2dx00y1x2dy

2101011x2(1x2)dx2

322(1x)dxxsint

20cos4tdx313.

42216xdxdy0,

D所以Df(x,y)dxdy33,f(x,y)y1x2x,从而

1616

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xf(x,y)dxdyD2xy1xdxdyDD32xdxdy

1611x23dxx2dy0160

13x21x2dx160

xsint32sin2tcos2tdt160

3163.

25620sin2t(1sin2t)dt

3131()1622422

(19) （本题满分10分）设函数f(x)在区间[0,2]上具有连续导数,f(0)f(2)0,

Mmax{|f(x)|},证明:

x(0,2)(Ⅰ) 存在号(0,2),使得|f()|(【) 若对任意的x(0,2),|f(x)|M;

M则M0.

【证】(Ⅰ)由Mmax{|f(x)|},x[0,2]知存在c[0,2],使|f(c)|M,若c[0,1]由拉格朗日中值定理得至少存在一点[0,c],使f()f(c)f(0)f(c)|f(c)|MM,若c(1,2],同理存,从而|f()|cc2c2cf(2)f(c)f(c)|f(c)|MM.综,从而|f()|2c2c2c2c在(c,2)使f()上,存在(0,2),使|f()|M.

(【)若M0,则c0,2.由f(0)f(2)0及罗尔定理知,存在(0,2),使f()0,当(0,c)时,f(c)f(0)f(x)dx,M|f(c)||f(c)f(0)|0tc0|f(x)|dxMc,又f(2)f(c)f(x)dx,M|f(c)||f(2)f(c)|c2

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2c|f(x)|dxM(2c),于是2MMcM(2c)2M矛盾,故M0.

22(20) （本题满分11分）设二次型f(x1,x2)x14x1x24x2经正交变换x1y1Q化x2y222为二次型g(y1,y2)ay14y1y2by2,其中ab.

(【)求a,b的值.

(【)求正交矩阵Q.

【解】(【)设A相似于B,

则12a2T1,B,由题意可知QAQQAQB.A合同242b14ab,又ab,所以a4,b1.

ab4(【)|EA|

122425,

得A的特征值为0和5.

当0时,解(0EA)x0得特征向量为α1;

211当5时,解(5EA)x0得特征向量为α2;

2又B的特征值也是0和5,

当0时,解(0EB)x0得特征向量为β1α2;

212当5时,解(5EB)x0得特征向量为β2α1.

1α1对α1,α2进行单位化,得γ1|α1|21α255, ,γ21|α2|255T令Q1(γ1,γ2),Q2(γ2,γ1),则Q1AQ100TQ2BQ2,

05

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TT故Q2Q1AQ1Q2B,可令

TQQ1Q2251515251525245513553455,即得Q435535.4

5(21) （本题满分11分）设A为2阶矩阵，P(α,Aα),其中α是非零向量且是不是A的特征向量.

(【)证明P为可逆矩阵.

(【)若A2αAα6α0,求P1AP,并判断A是否相似于对角矩阵.

【解】(【)

α0且Aαα.故α与Aα线性无关.则r(α,Aα)2,则P可逆.

APA(α,Aα)

(Aα,A2α)

(Aα,A2α)

06(α,Aα),

11故P1AP=06.

11(【)由A2αAα6α0,

(A2A6E)αO设,

(A3E)(A2E)α=O由α0得(AA6E)xO有非零解,故|(A3E)(A2E)|0,得|(A3E)|0或|(A2E)|0.

若|(A3E)|0则有(A2E)α=O,故Aα2α与题意矛盾.

故|(A3E)|0,同理可得|(A2E)|0,

于是A的特征值为13,22.

2A有两个不同的特征值,故Aα可相似对角化.

(22) （本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域0y1x2上服从均匀分布,

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1　XY01　XY0Z1,Z2

0　XY00　XY0(【)求(Z1,Z2)联合分布律;

(【)Z1Z2.

【解】

22, 0y1x,

(X,Y)服从均匀分布则f(x,y)0,

其他则P{Z10,Z20}P{XY,XY}1,

41P{Z10,Z21}P{XY,YX},

2P{Z11,Z20}P{XY,XY}0,

1P{Z11,Z21}P{XY,XY}.

4(【)Z1,Z2的相关系数ZZ12

Cov(Z1,Z2)

DZ1DZ2

EZ1Z2EZ1EZ2EZ(EZ1)212EZ(EZ2)2221113

144416112332

3

3()()164444.

(23) （本题满分11分）设某种元件的使用寿命T的分布函数为

t,t0,

F(t)1e0,其他.m

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其中,m为参数且大于零.

(【)求概率P{Tt}与P{TSt|TS},其中S0,t0.

(【)任取n个这种元件做寿命试验,测得它们的寿命分别为t1,t2…,tn,若m已知,求的ˆ. 最大似然估计量mttm11(t)mm()e,t0,,t0,,f(t)F(t)【解】F(t)1e.

0,t00,t0(【)

P{Tt}0f(t)dtF(t)tF()F(t)et()m, t0.

st(P{Tst,Ts}P{Tst}eeP{Tst|Ts}sm()P{Ts}P{Ts}e()msts)m()m.

(【)给定t1,t2…,tn,似然函数为

L()f(ti)m()i1i1nntim11et(i)mmnni1ntim1met(i)m,

lnL()nlnm(m1)lntimnlni1ntimmi1,

dlnL()1n(m)timnntimmnm10,m10,

令di1i11nm解得ti,不难验证为最大值.

ni1m1nm最大似然估计值mti.

ni1