牛吃草问题
历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。
主要类型：
1、求时间
2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。
基本思路：
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。
基本公式：
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶
(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)；
(2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)；
(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度
第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那
么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”
一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)
(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)
(3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15
(4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天)
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
第二种：公式解法
有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，
如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？
解答：
1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)
原有草量：21×8-12×8=72(份)
16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)
2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数
所以最多只能放12头牛。
例题一 一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
解：把每天每头牛吃的草量看成“1”。
第6周时总草量为：6×27＝162
第9周时总草量为：9×23＝207
3周共增加草量：207－162＝45
每周新生长草：45÷（9－6）＝15 即每周生长出的草可以供15头牛吃。
原有草量为：162－6×15＝72
所以可供21头牛吃：72÷（21－15）＝12（周）
随堂练习：
1、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？
解：20天时草地上共有草：10×20＝200
10天时草地上共有草：15×10＝150
草生长的速度为：（200－150）÷（20－10）＝5
即每天生长的草可供5头牛吃。
原草量为：200－20×5＝100
可供25头牛吃：100÷（25－5）＝5（天）
2、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？
解：6天时共有草：24×6＝144
10天时共有草：20×10＝200
草每天生长的速度为：（200－144）÷（10－6）＝14
原有草量：144－6×14＝60
可供19头牛： 60÷（19－14）＝12（天）
3、一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供5头牛吃8天，可供14头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？
解：8天时草的总量为：5×8＝40
2天时草的总量为：14×2＝28
草每天生长的速度为：（40－28）÷（8－2）＝2
即每天生长的草可供2头牛吃。
草地上原有的草为：28－2×2＝24
可供10头牛吃：24÷（10－2）＝3（天）
4、某牧场上的草，若用17人去割，30天可以割尽，若用19人去割，则只要24天便可割尽，问用多少人割，6天可以割尽？（草匀速生长，每人每天割草量相同）
解：（17×30－19×24）÷（30－24）＝9
17×30－9×30＝240
240÷6＋9＝49（人）
5、武钢的煤场，可储存全厂45天的用煤量。当煤场无煤时，如果用2辆卡车去运，则除了供应全厂用煤外，5天可将煤场储满；如果用4辆小卡车去运，那么9天可将煤场储满。如果用2辆大卡车和4辆小卡车同时去运，只需几天就能将煤厂储满？（假设全厂每天用煤量相等。）
解：（45＋5）÷5＝10 （45＋9）÷9＝6 45÷（10＋6－1）＝3（天）
6、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】4
解：（21×12－23×9）÷（12－9）＝15
23×9－15×9＝72
72÷（33－15）＝4（周）
7、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解：（10×20－15×10）÷（20－10）＝5
10×20－20×5＝100
100÷5＋5＝25（头）
例题二 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长多，反而以固定的速度在减少，照这样计算，某牧场草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么，可供多少头牛吃10天？
解：5天时草地上共有草：5×20＝100
6天时草地上共有草：6×15＝90
每天草地上的草减少：（100－90）÷（6－5）＝10
原草量为：100＋5×10＝150
10天后还剩下的草量： 150－10×10＝50
50÷10＝5（头）
随堂练习：
1、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？
解：5天时草地上共有草：33×5＝165
6天时草地上共有草：24×6＝144
每天减少：（165－144）÷（6－5）＝21
原有的草量为：165＋5×21＝270
10共减少了：21×10＝210
10天后剩草量为：270－210＝60
60÷10＝6（头）
2、天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？
解：5天时共有草：20×5＝100
6天时共有草：16×6＝96
草减少的速度为：（100－96）÷（6－5）＝4
原有的草量为：100＋4×5＝120
可供11头牛吃：120÷（11＋4）＝8（天）
3、因为天气日渐寒冷，牧场上的草不但不生长，反而以固定的速度每天在减少。如果20头牛去吃20天可以吃完；如果30头牛去吃15天可以吃完。那么，如果10头牛去吃____天可以吃完。
解：（ 30×15－20×20）÷（20－15）＝10
20×20＋10×20＝600
600÷（10＋10）＝30（天）
答：10头牛去吃30天可吃完。
4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供12头牛吃7天。照此计算，可供6头牛吃几天？
解：
假设1头牛1天吃1份的草
20头牛5天一共吃了：20×5=100 份的草
12头牛7天一共吃了：12×7=84 份的草
时间相差：7-5=2 （天）
草量减少：100-84=16 份的草
说明，一天减少：16÷2=8 份的草
5天减少了：8×5=40 份的草
原来牧场上有：100+40=140 份的草
这140份的草，可供6头牛吃：140÷(6+8)=10(天)
例题三 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？
解：5分钟时男孩共走了：20×5＝100（台阶）
6分钟时女孩共走了：15×6＝90（台阶）
自动扶梯的速度为：（100－90）÷（6－5）＝10（台阶）
自动扶梯共有：100＋5×10＝150（台阶）
随堂练习：
1、两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在20秒里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？
解：男孩共走了：2×60÷20×27＝162
女孩共走了：3×60÷20×24＝216
自动扶梯的速度：（216－162）÷（3－2）＝54（台阶）
162－54×2＝54
2、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？
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