“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。”
英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃2２天，或者供给１6头牛吃，可以吃10天，如果供给2５头牛吃，可以吃几天？解题关键: 牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步:  1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量;  3、求出每天实际消耗原有草量  4、最后求出可吃天数想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛2２天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到(22－10)天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用２0头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。解：新长出的草供几头牛吃1天： (1０×２２-16×１O）÷(２2-1Ｏ）＝(２20-１6０）÷12=60÷12  =５(头）这片草供25头牛吃的天数：（10-5)×2２÷（25-5）=5×２2÷２0 ＝5.5(天）答：供25头牛可以吃5.5天。－－－----－-－---－－------－----－-－-－－－-----－-----－－－-------------－--- “一堆草可供1０头牛吃３天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出:3×10÷6=５（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定(均匀变化）的问题就是牛吃草问题。例１牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供１０头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？分析与解：这类题难就难在牧场上草的数
量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；1５头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是20０份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 2０天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。２00－150＝50(份）,２０—１0=10（天)，说明牧场10天长草5０份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完,5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草  (ｌ0—5）× 2０=100（份)或(15—5）×10=100（份）。现在已经知道原有草1０0份，每天新长出草５份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的２0头吃原有的草，吃完需100÷２0＝５(天）。所以，这片草地可供25头牛吃5天。在例1的解法中要注意三点：(1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。（2)在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。
例１小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供12头牛吃15天。如果小军家养了2４头牛，可以吃几天?
草速:（10×2０-12×1５)÷(2０－15)=4
老草(路程差）：根据：路程差=速度差×追及时间
（10-４）×２0=１20 或(１2-４)×15＝１２0
追及时间=路程差÷速度差: 120÷(24-4）＝6(天)
例2 一个牧场可供58头牛吃７天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每
天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？
草速：(５0×9-58×7）÷（9－７）＝22
老草（路程差）: (5０-2２）×9＝252 或(５８-2２）×7=2５2
求几头牛就是求牛速，牛速=路程差÷追及时间＋草速２52÷6＋22＝6４（头)
例３由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供２0头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？分析与解：与例１不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天
减少的草量和原有的草量。设1头牛１天吃的草为１份。20头牛5天吃1００份,１5头牛6天吃9０份,100-90＝10（份)，说明寒冷使牧场１天减少青草１0份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草（2０＋10)×５=15０（份）。由 1５0÷１0=15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去1０头牛，所以，可供5头牛吃１0天。
例４一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？
分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。设出水管每分钟排出水池的水为１份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16(份），3个出水管5分钟所排的水是3×5=１5(份)，这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在８-５=３（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是(16-1５)/3=1/3(份）假设让1/３个出水管专门排进水管新进得水，两相抵消，其余得出水管排原有得水，可
以求出原有水得水量为:(２-1/３)×8＝40／3(份）或(3-1/３)×５＝40/3（份) 解：设出水管每分钟排出得水为1份，每分钟进水量(2×8-3×5)/(8-5)＝1/3（份) 进水管提前开了(2－１/3)×8÷1/３=40（分) 答：出水管比进水管晚开40分钟。
例5 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开４个进水管时需要５小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在２小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？
分析本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.
解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为ｂ，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）×5=（2a-ｂ)×15，化简，得:
４ａ-b=6ａ-3ｂ，即a＝ｂ.
这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量．
再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得ﻫ
(xa-a)×2=(2a-a)×１5，
化简，得２ax－２a＝1５a，ﻫ即2xa=１7a.(a≠0）
所以ｘ＝8.５
因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满. ﻫ注意：x=8．5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行. ﻫ以上是书中给出的解法，考虑到此解法不适合给小学孩子讲，所以把此题当作牛吃草问题来讲的．把进水管看成"牛＂，排水管看成"草"，满池水就是“老草” ﻫ排水管速:(2×1５-４×5)÷(1５－5)=1 ﻫ满池水(路程差）: （２－1）×15＝1５或(４-1)×5=15ﻫ几个进水管：1５÷2+1=8.５（个)  我和学生都有个好习惯，解完一道题后要反思，这道题既然是工程问题，那么，可不可以用工程问题的解法来做呢?之后在课堂上当时做了尝试，结果答案是肯定的！ﻫ当打开４个进水管时，需要５小时才能注满水池，那么4个进水管和1个排水管的效率就是1／5。
当打开2个进水管时，需要1５小时才能注满水池，那么2个进水管和1个排水管的效率就是1/15。ﻫ两者之间差了(４－2=）2个进水管的效率，于是1个进水管的效率是: ﻫ（1/５－１／15）÷（4-2）=1/１5
1个排水管的效率是:
4×1/15－1/5=１/1５或者2×1/15－1/15＝1/１5
现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管?
（1/2＋１／15）÷１/１5=8.５(个)
例6 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级?
分析：与例３比较,“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”,“草”变成了“梯级”,“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩５分钟走了20×5＝100(级)，女孩６分钟走了15×6=９0（级），女孩比男孩少走了100－90=10（级)，多用了6－5＝1（分)，说明电梯1分钟走１0级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有(20+10）×5＝150（级）。解：自动扶梯每分钟走（2０×５-15×6)÷（6—5）＝10(级), 自动扶梯共有（2０+１０）×5=1５０(级）。答：扶梯共有１5０级。例7 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需3０分钟，同时开5个检票口需２0分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过（4×３0)份,5个检票口20分钟通过(5×20）份，说明在（30－20）分钟内新来旅客(4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客(4×30-5×2０）÷(30-20)=2（份）。假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为(4－2）×30＝60(份）或(5-2）×２0=60（份)。同时打开7个检票口时，让２个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要６０÷（7－2)=1２（分)。
例８有三块草地，面积分别为5，６和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃１0天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。  [5,６，8]=120。因为 5公顷草地可供１１头牛吃10天, 1２0÷5=24，所以120公顷草地可供１1×２4=264(头）牛吃１0天。因为6公顷草地可供12头牛吃１4天,120÷6＝20，所以１20公顷草地可供12×20＝24０(头)牛吃1４天。 12０÷8=15，问题变为: 1２０公顷草地可供1９×15＝2８５（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为: “一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供2４０头牛吃１４天，那么可供2８５头牛吃几天?”这与例１完全一样。设1头牛1天吃的
草为１份。每天新长出的草有  (240×14－264×1０）÷(14-１０)＝１８０(份)。草地原有草（2６4—１80)×10=8４0(份）。可供2８5头牛吃840÷（285—１80）=８(天)。所以，第三块草地可供１9头牛吃8天。
例9 牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供1８头牛10周吃完．假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？
分析：这个问题的难点在于，草一边被牛吃掉，一边仍在生长，也就是说牧草的总量随时间的增加而增加．但不管牧草怎么增长，牧场原有草量与每天(或每周）新长的草量是不变的，因此必须先设法找出这两个量来.我们可以先画线段图（如图５—1).
从上面图对比可以看出,1８头牛吃10周的草量比24头牛吃6周的草量多，多出的部分恰好相当于4周新生长的草量．这样就可以求出草的生长速度，有了每周新长的草量，就可以用24头牛吃6周的草量减去6周新长的草量，或用1８头牛吃1０周的草量减去10周新长的草量，得到牧场原有的草量．有了原有的草量和新长的草量，问题就能很顺利求解了.
解：设1头牛吃一周的草量的为一份．
（1)24头牛吃６周的草量
2４×6=144（份)
（２）１8头牛吃１０周的草量
18×１0＝１80(份）
（3）(１0-6）周新长的草量
180－1４4=3６(份)
（4）每周新长的草量
36÷（10-6)=9(份)
（5)原有草量
24×6-9×6=9０(份）
或1８×10－9×10=9０(份）
(6）全部牧草吃完所用时间
不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量，剩下的１0头牛吃原有草量，有
90÷（19－9）＝9（周)
答：供１9头牛吃９周.
例1０  20匹马72天可吃完32公顷牧草,16匹马５4天可吃完24公顷的草．假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同．那么多少匹马3６天可吃完４0公顷的牧草?
分析：同例1一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可．
设1匹马吃一天的草量为一份.２0匹马72天吃３２公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上7２天新长的草量，可供20×7２÷32=４5匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为４5份.同样，由16匹马５４天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为１6×54÷24=36份.这两者的差正好对应了每公顷72-54=１8天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决.
解:(1）每公顷每天新长的草量
（2０×72÷３2-１６×54÷2４）÷(72-54）
＝0.5（份)
(２)每公顷原有草量
20×７２÷32-0.5×72=9（份)
或16×5４÷24-0.5×5４=9（份）
（3)４０公顷原有草量

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