学科教师辅导讲义
学员编号：                                       
年    级：                                           
课 时 数：3
学员姓名：
辅导科目：奥数
学科教师：
授课主题
          第03讲——鸡兔同笼问题
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
1掌握图解法和列表法解决鸡兔同笼问题；
2掌握假设法和列方程法解决鸡兔同笼问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：
    今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
意思是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？
这就是著名的“鸡兔同笼”问题。如何解决这道数学趣题，就是我们今天要学习的内容。
解决鸡兔同笼问题的主要方法有：
1、砍足法（抬腿法）
解答思路：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多．因此，脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）．显然，鸡的只数就是（只）了．
2、假设法（经典）
鸡兔同笼问题的基本关系式是：
如果假设全是兔，那么则有：
      鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
      兔数=鸡兔总数-鸡数
如果假设全是鸡，那么就有：
      兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
      鸡数=鸡兔总数-兔数
3、方程法
根据鸡兔的脚之和列方程解答。
                 
考点一：图解法和列表法
例1、鸡兔同笼，有20个头，54只脚，鸡兔各多少只？
【解析】从有1只鸡开始一个一个地试，把试的结果列成表格。
头（个）
鸡（只）
兔（只）
脚（只）
20
1
19
78
20
2
18
76
20
3
17
74
20
4
16
72
20
…
…
…
20
13
7
54
刚好，13只鸡，7只兔。这样做太麻烦，先假设兔和鸡各占一半。
头（个）
鸡（只）
兔（只）
脚（只）
20
10
10
60>54
20
11
9
58
20
12
8
56
20
13
7
54
先假设兔和鸡各占一半，根据脚的总数量与实际数量的大小关系，确定减少鸡还是兔，这样就减少列举的次数。
例2、有鸡兔共30只，兔脚比鸡脚多60只，问鸡兔各多少只？
【解析】可以用列表的方式，先假定鸡兔各占一半，
头（个）
鸡（只）
兔（只）
鸡脚
兔脚
鸡兔脚之差
30
15
15
30
60
30
30
14
16
28
64
36
30
13
17
26
68
42
30
12
18
24
72
48
30
11
19
2
6
52
30
10
20
20
80
60
所以10只鸡20只兔。
点评：从表中可以看出：增加一只兔，减少一只鸡，它们的脚数差增加6.同样，减少一只兔，增加一只鸡，它们的脚数差减少6.也就是说，用一只鸡换一只兔，脚数差的变化为6只。
例3、笼子里有鸡和兔共8只，一共22条腿。鸡和兔各有几只？
【解析】本题可以用列表法解答，现在我们用另一种方法——图解法来解答。
第一步：先画8个    表示鸡兔共有8个头 。
第二步：给每个头都配上2条腿，共16条腿，这样8只全是鸡。
第三步：把剩下的6条腿配在3个图上，这样2条腿的有5个，4条腿的有3个。也就是有5只鸡，3只兔。
把上面的过程列成算式：假设全是鸡：8个头只需要16条腿
8×2=16（只）
还剩下6条腿：22-16=6（只）
再把6条腿加在3只鸡上，就变成3只兔。6÷2=3（只）
考点二：假设法
例1、有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？
【解析】假设20只全是鸡，那么就有鸡脚20×2=40只，比实际少了44-40=4只，是因为每只兔少算了4-2=2只脚，所以兔有4÷2=2只。鸡有20-2=18只。
例2、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚与兔脚的差比实际的差多200-20=180（只）。
  现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100-30＝70（只）。
  解：有兔（2×100-20）÷（2＋4）＝30（只），
  有鸡100-30=70（只）。
  答：有鸡70只，兔30只。
例3、现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
【解析】小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
  大瓶有50-30＝20（个）。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例4、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套?
【解析】我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304(元)，比实际多304－280＝24(元)，是因为普通文化用品每套多算了19—11＝8(元)，所以买普通文化用品  24÷8＝3(套)，买彩色文化用品  16－3＝13(套)。
例5、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人?
【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
    假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140＝160(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1＝2(个)，因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100—80＝20(人)。同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
考点三：列方程解决鸡兔同笼问题
例1、鸡、兔共笼，鸡比兔多20只，足数共280只，问鸡、兔各几只？
【解析】本题可以用假设法解答。
假设鸡与兔的数量一样，则足数共280-20×2=240只，则兔有240÷（4+2）=40只，鸡有40+20=60只。
鸡兔同笼问题除了用假设法解答外，还可以用方程解答
解：设有x只鸡，则有x-20只兔。根据足数共280只列方程得
      2x+4(x-20)=280
            X=60
      60-20=40
答：鸡60只、兔40只。
例2、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
【解析】本题是鸡兔同笼的变形题。把大船看成“兔”，小船看成“鸡”，学生看成“脚”。
解：设大船x条，小船10-x条。
  6x+4(10-x)=41+1
  X=1
10-1=9
答：大船租1条、小船租9条。
例3、大院里养了三种动物，每只小山羊戴着3个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅不戴铃铛．小明数了数，一共9个脑袋、28条腿、11个铃铛，三种动物各有多少只？
【解析】本题是三个对象的鸡兔同笼问题。若用假设法解题，应抓住“狮子狗与小山羊的脚相同”这一条件，即把狮子狗与小山羊看成“兔”，大白鹅看成“鸡”，这样把三种动物转化成两种动物的鸡兔同笼问题。
列方程也同样要将狮子狗与小山羊看成“兔”，大白鹅看成“鸡”。
解：设小山羊和狮子狗共有x只，大白鹅有9-x只。
    4x+2(9-x)=28
          X=5
          9-5=4
再设小山羊有y只，狮子狗有5-y只
    3y+(5-y)=11
          Y=3
5-3=2
答：小山羊有3只，狮子狗有2只，大白鹅有4只。
例4、小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣2分，又知道他做错的题和没做的一样多．问小毛做对几道题？
【解析】设错了x题，对了20-2x题。
        5（20-2x）-2x=64
              X=3
          20-2×3=14
答：小毛做对14道题.
点评：将三种以及更多的动物/东西，转化为两种动物/东西的鸡兔同笼基本模型。即：抓住转化后的“头”与“脚”。
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只？
【解析】假设全是鸡，那么就有鸡脚35×2=70只，比实际少了94-70=24只，是因为每只兔少算了4-2=2只，所以兔有24÷2=12只。鸡有35-12=23只。
2、鸡与兔共有200只，鸡的脚比兔的脚少56只，问鸡与兔各多少只？
【解析】假设200只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚200×4=800只，而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多800只，而实际上只多56只，比实际的差多800-56=744（只）。是因为每只鸡换成兔，鸡的脚减少2只，兔的脚增加4只，也就是一只鸡变成一只兔，兔的脚与鸡的脚之差就会增加6只。因此鸡有744÷6＝124只，兔子200-134=76只。
3、在一个停车场上，现有车辆辆，其中汽车有个轮子，摩托车有个轮子，这些车共有个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？
【解析】假设都是三轮摩托车，应有3×41=123(个)轮子，少了127-123=4(个)轮子．每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少4-3=1(个)轮子．汽车有4÷1=4(辆)；从而求出三轮摩托车有41-4=37(辆)．或者假设都是汽车，应有4×41=164(个)轮子，多了164-127=37(个)轮子；
所以摩托车有37÷（4-3）=37(辆)．
4、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下?
【解析】利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12×(2+3)＝60(下)。可求出小乐每分钟跳
(780－60)÷(2+3+3)＝90(下)，
小乐一共跳了90×3＝270(下)，因此小喜比小乐共多跳
780—270×2＝240(下)。
5、列方程解答：鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
【解析】设鸡x只，兔100-x只。
    2x-4(100-x)=20
            X=70
          100-70=30
答：鸡70只、兔30只。
6、五年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人，该班男生和女生各多少人？
【解析】设男生x人，女生x+4人。
      5x+3(x+4)=180
          X=21
      21+4=25
答：该班男生有21人，女生有25人。
7、食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？
【解析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，则每千克20元的收入：元，所以卖出：千克，所以卖出每千克25元和每千克30克的糖果共千克，相当于将题目转换成：卖出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，问：每千克25元的糖果售出了多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题．
课堂反击
1、鸡兔同笼，头共，足共，鸡兔各几只？
【解析】假设46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4-2=2（只）脚，那么56只脚是我们把56÷2=28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18（只）．
2、鸡、兔同笼，鸡比兔多只，足数共只，问鸡、兔各几只？
【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只．我们假设鸡与兔只数一样多，那么现在它们的足数一共有： 274-2×26=222（只），每一对鸡、兔共有足： 2+4=6（只），鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）： 222÷6=37（对），则鸡有37+26=63（只）．
3、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？
【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费20×250=5000（元）．这样比实际多得5000-4400=600（元）．
就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶．根据以上分析，可得损坏了（20×250-4400）÷（100+20）=5（个）．
4、某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？
【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住4×30=120（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每间多住6-4=2（人），所以大宿舍有（168-120）÷2=24（间）．
5、学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副?
【解析】假设26副全是跳棋，那么可供26×6=152人活动，比实际多了156-120=36人，是因为每副象棋多算了6-2=4人，所以象棋有36÷4=9副。跳棋有26-9=17副。
6、某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错或不做一题倒扣1分．小华得了88分，问他做对几题？
【解析】设作对x题，做错和不做共有20-x题。
    5x-(20-x)=88
      X=18
20-18=2
答：他做对18题.
7、小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张?
分析：把贺年卡看成“兔”，明信片看成“鸡”，单价就是鸡兔的脚，总价40元就是“脚和”，14张就是“头和”。
解：设贺年卡x张，明信片14-x张。
    3.5x+2.5(14-x)=40
        X=5
  14-5=9
答：贺年卡买了5张、明信片买了9张。
S(Summary-Embedded)——归纳总结
 
解决鸡兔同笼问题的主要方法有：
1、列表法
根据鸡与兔的数量和，把所有可能的情况列举出来，找到符合条件的解。一般采用半数列举法，即假定鸡兔各占一半，这样列举可以减少列举的次数，提高效率。
2、图示法
先画出所有的头，再把每个头上画上2只脚，再把剩下的脚画在部分图上，每个图上加上2只脚，直到脚全部用完。这样，有4只脚的就是兔子，2只脚的就是鸡。也可以把每个头上画上4只脚，再从有4只脚的头上取下2只画在没有脚的头上，直到所有的头都有脚。这样有4只脚的就是兔子，2只脚的就是鸡。
3、假设法
假设全是鸡或全是兔，计算脚数与实际脚数的差，分析产生差的原因，利用产生差的原因解题。
变形题注意对假设对象的调整，根据不同的情况做合理假设，不可千篇一律。
4、方程法
利用方程解鸡兔同笼问题的等量关系是：鸡的脚数+兔的脚数=鸡兔脚数和
变形题注意数量关系的变化。
5、关于鸡兔同笼变形题
先在题中找到对应的“鸡”和“兔”，“鸡脚”和“兔脚”，再按照鸡兔同笼的方法解答。

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