2024年3月13日发(作者：陕西老师评价高考数学试卷)

y

第十三章 幂级数

§13.1 幂级数的收敛半径与收敛域

1．求下列各幂级数的收敛域：

(2x)

n

（1）

；

n!

n1

（2）

ln(n1)

n1

x

；

n1

n1

n

n1

n

（3）



x

；

n1

n

x

n

（4）

n

；

n1

2

2

(3(1)

n

)

n

n

x

； （5）

n

n1

3

n

2

（6）

x1

n

；

n

n1

n

（7）

2n

!!

x

n

；

!!

n1

2n1

（8）

1

1

n

n1

n

2

x

n

；

（9）

n

n1

1

n

x

n

；

n

n

x

n

（10）

n

；

n

57

n1

2

n!

n

（11）

x

；

!

n1

2n

（12）

1

n

1

1



x

；

2n

n1

（13）

nx

n1

n

；

y

2n1

x2

（14）

；



2n1!

n1

（15）

a

n

x

n

,

0a1

；

2

n1

x

n

（16）

p

．

n1

n

2

n1

解（1）由

lim

n

(n1)

2

n

2

lim0

，故收敛半径

R

,收敛域为

n

n!

n1

,

．

（2）由

lim

ln(n2)

n

n2

ln(n1)

ln(n2)n1

lim1

，故收敛半径

R1

．

n

n1

ln(n2)n2

ln(n1)

n1

ln(n1)

在

x1

，级数为

，发散；在

x1

，级数为

(1)

，由交

n1n1

n1n1

错级数的Leibniz判别法，知其收敛，因而收敛域为

1,1

．

n

n1

n

1

1

（3）

lim

n



lim

1

e

，所以收敛半径

R

．由于

nn

e

n

n

n

1

n

1

1



1

0

n

，

n



e

e



故在

x

级数发散，因此收敛域为

(,)

．

n

1

e

11

ee

（4）由

lim

n

a

n

lim

n

n

2

n

11

n

lim1

，知收敛半径

R1

．

n

n

2

2

2

(1)

n

在

x1

，级数为

绝对收敛，故收敛域为

[1,1]

.

n

2

n1

（5）由

lim

n

a

n

lim

n

3

1

n

n

n

n

n

n

4

，故收敛半径

R

1

．

4

1

和

2k

k1

1

3

1

在

x

，级数

4

n4

n

n1



，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为


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