2024年4月18日发(作者：天一海门联考数学试卷)

初升高数学衔接班第4讲

高中数学入门（四）

重、难点

1. 钝角、直角的三角函数值

2. 三角形面积公式

S

3. 正弦定理

a

sinA

1

2

b

absinC

c

sinC

2R

sinB

4. 余弦定理

a

2

b

2

c

2

2bccosA

【典型例题】

[例1] 计算：

sin120tan135cos150

2

sin135cos120cot150

sin60tan45cos30

解：原式

2

sin45cos60cot30

3

2

2

2

1

1

2

3

3

3

2

3

(

2

3

)

1



[例2]

ABC

中

ABBC2

，面积为

3

，求

B

大小。

解：由

S

1

2

acsinB

，得

sinB

2S

ac

3

2

，故

B

60

或

120

[例3]

ABC

中，

B45

，

AC4

，

A75

，则

ABC

外接圆半径为 ；

AB

。

A

BC

AB

sin60

2R

解：由正弦定理，

AC

sinB

AB

sinC

2R

，即

4

sin45

∴

R22

AB26

222

[例4]

ABC

中，

ABc

，

BCa

，

ACb

，若

a

、

b

、

c

满足

ababc

，

求

C

大小。

222

解：由

abcab

可知

cosC

∴

C120

1

a

2

b

2

c

2

2ab

ab

2ab



1

2

[例5]

ABC

三边

a

、

b

、

c

与面积S满足

Sc

2

(ab)

2

，求

C

的余弦值。

解：依题意，

1

2

absinCcab2ab2ab2abcosC

222

∴

sinC4(1cosC)

代入

sin

2

Ccos

2

C1

，得：

16(1cosC)

2

cos

2

C1

∴

17cos

2

C32cosC150

∴

cosC1

或

15

17

15

17

又 ∵

0C180

∴

cosC1

∴

cosC

【模拟试题】

1. 口算

cos135

；

sin150

；

tan120

；

cos90

；

sin120cos150

；

tan135cot150

2. 已知

为

ABC

的一个内角

① 若

cos



② 若

tan

③ 若

sin

④ 若

sin

3

5

1

2

，

；

3

3

2

2

，

；

，

；

，则

cos

；

⑤ 若

tan

2

，则

sin

。

3. 已知

R

为

ABC

外接圆半径，求证：面积

S

4.

ABC

中面积

S

5.

ABC

中

sin

2

abc

4R

1

4

(abc)

，求

C

大小。

2

222

AsinB5sin

2

C

，求

cosC

的最小值。

【试题答案】

1.

2

2

；

1

2

；

3

；

0

；

0

；

13

4

5

2. ①

120

②

150

③

45

或

135

④

3. 提示：利用公式

S

4. 提示：利用公式

S

5. 解：由正弦定理

a

2

2

⑤

2

5

5

1

2

1

2

absinC

和

c

sinC

2R

222

absinC

，

ab2abcosCC

，解得

C45

4R

b

2

2

4R

5

c

2

2

4R

∴

ab5c

222

2

4

cosC

abc

2ab

4

222

5

(ab)

2ab

4

5

22

∵

(ab)

2

0

∴

a

2

b

2

2ab

∴

cosC

5

2ab

2ab

∴

cosC

最小值为

4

5

3


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