内蒙古赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学试

2024年4月17日发(作者：数学试卷铅笔分类)

赤峰二中

2020

届普通高等学校招生第三次统一模拟考试

（理科）数学

一、选择题：本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的

.



1



a

AB

B{a,b}

A1,3

1.

已知集合，若



，



，则

a

2

b

2



（

）



3



A.

0

【答案】

C

【解析】

【分析】

由

AB



,

可解得

a,b

,

代入即可求得结果

.

B.

4

3

C.

8

9

D.

22

3



1





3



【详解】



1



AB



,



3



1

1

3

a

=

,

解得

:

a1

,

b

,

3

3

18

a

2

b

2

1-=

.

99

故选

:C.

【点睛】本题考查已知交集求解参数

,

难度容易

.

2.

欧拉公式

e

ix

cosxisinx

（

i

为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发

xi

现的，它将指

数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非

常重要的地位，被誉为

“

数学中的天桥

”

，根据欧拉公式可知，

e

6

i

表示的复数在复平面中位于

（

）

A.

第一象限

【答案】

A

【解析】

【分析】

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限



- 1 -

由

ecosxisinx

可知当

x

ix



6



时

,

e

6

=cos

i



6

isin



6

,

化简即可求得结果

.

【详解】

e

ix

cosxisinx

,



当

x



6



时

,

e

6

=cos

i



6

isin



6

=

31

+i

,

22



e



i

6

表示的复数对应的点为



31







2

,

2





在第一象限

.



故选

:A.

【点睛】本题考查复数与平面内点的对应关系

,

难度容易

.

3.

已知角

α

的终边经过点

(-4,-3)

，则

cos(

A.





2

2



)

（

）

C.

24

25

B.



12

25

12

25

D.

24

25

【答案】

A

【解析】

【分析】

3

，再利用诱导公式及二倍

4



sin



cos



tan



2

角公式，商数关系，转化为

cos(2



)2

求解

.

2sin

2



cos

2



tan

2



1

根据角

α

的终边经过点

(-4,-3)

，利用三角函数的定义得到

tan





【详解】因为角

α

的终边经过点

(-4,-3)

，

所以

tan





所以

cos(

3

4



2

sin



cos



tan



24

2

2

2

，

sin



cos

2



tan

2



125

2



)sin2



2sin



cos



，

故选：

A

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，同角三角函数基本关系式以及诱导公式，二倍角公

式，还考查了运算求解的能力，属于中档题

.

4.

《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公

式为：弧田面积



1



（弦

×

矢

+

矢

2

），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式

2

- 2 -

中的

“

弦

”

指圆弧所对的弦长，

“

矢

”

等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为

为

4

的弧田，按照上述方法计算出其面积是（

）

2



，矢

3

A.

443

【答案】

D

【解析】

【分析】

B.

843

C.

883

D.

8163

根据在直角三角形的边角关系求出弦心距

,

弦长及“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算

即可

.

【详解】设半径为

r

,

圆心到弦的距离为

d

,

则

drcos





12







23



1



r

,



2

11

rdrrr4

22

r8,d4



所以弦长为

2r

2

d

2

2641683

,



弧田面积为

8344

2

8163

.

故选

:D.

【点睛】本题考查新定义的面积公式

,

考查学生分析问题的能力和计算能力

,

难度较易

.

5.

我区的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变

.

督导一年后

.

分别随机抽查了高

中（用

A

表示）与初中（用

B

表示）各

10

所学校

.

得到相关指标的综合评价得分（百分制）的

茎叶图如图所示

.

则从茎叶图可得出正确的信息为（80分及以上为优秀）（

）

①高中得分与初中得分的优秀率相同

②高中得分与初中得分的中位数相同

③高中得分的方差比初中得分的方差大

④高中得分与初中得分的平均分相同

1

2



- 3 -

A.

①②

【答案】

B

【解析】

【分析】

B.

①③

C.

②④

D.

③④

根据茎叶图可计算优秀率、中位数、平均数

;

根据得分的分散程度可判断方差大小关系

,

从而可

得各个选项的正误

.

【详解】从茎叶图可知抽查的初中得分优秀率为

:

为

:

3

100%30%

；高中得分的优秀率

10

3

100%30%

可知①正确

;

高中的中位数为

75.5,

初中的中位数为

72.5,

可知②错误；初

10

中得分比较分散，所以初中的方差大，可知③正确

;

高中的平均分为

75.7,

初中的平均分为

75,

可知④错误

.

故选

:B.

【点睛】本题考查利用茎叶图求解频率、中位数、平均数、方差的问题

,

难度较易

.

6.

已知抛物线

y

2

2px

的焦点为

F

，点

P

为抛物线上一点，过点

P

作抛物线的准线的垂线，

垂足为

E

，若

EPF60,PEF

的面积为

163

，则

p

（）

A.

2

【答案】

C

【解析】

【分析】

利用抛物线的定义以及三角形的面积，转化求解

p

即可．

B.

22

C.

4

D.

8

- 4 -

【详解】

抛物线

y

2

＝

2px

的焦点为

F

，点

P

为抛物线上一点，过

P

作抛物线的准线的垂线，垂足是

E

，

|PF|

＝

|PE|

，若∠

EPF

＝

60

°，△由抛物线的定义可得：△

PEF

是正三角形，所以|PE|=2p，△

PEF

的面积为

16

3

，

∴

1

2p2psin60

16

3

得

p

＝

4

，

2

故选

C

．

【点睛】本题考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．一

般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论

的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．

7.

如图所示，在

ABC

中，

ADDB

，点

F

在线段

CD

上，设

ABa

，

ACb

，

AFxayb

，则

14



的最小值为（ ）

xy1

A.

622

C.

642

【答案】

D

【解析】

【分析】

B.

63

D.

322

- 5 -

14

yy



x

用

AD

，

AC

表示

AF

，由

C

，

F

，

D

三点共线得出，的关系，消去，得到

xy1

关于

x

的函数

f



x



，利用导数求出

f



x



的最小值．

【详解】解：

AFxayb2xADyAC

．

∵

C

，

F

，

D

三点共线，

∴

2xy1

．即

y12x

．由图可知

x0

．

∴

1412x1



．

xy1x1xxx

2

x1

，得

f\'



x





2

xx

令

f



x





x

2

2x1



xx

2



2

，

令

f\'



x



0

得

x

当

0x

．

21

或

x21

（舍）

21

时，

f\'



x



0

，当

x21

时，

f\'



x



0

．

∴当

x21

时，

f



x



取得最小值

f

故选D．



21



2



21



21



2

322

.

【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．

8.

袋子中有四张卡片，分别写有

“

学、习、强、国

”

四个字，有放回地从中任取一张卡片，将

三次抽取后

“

学

”“

习

”

两个字都取到记为事件

A

，用随机模拟的方法估计事件

A

发生的概率，利

用电脑随机产生整数

0

，

1

，

2

，

3

四个随机数，分别代表

“

学、习、强、国

”

这四个字，以每三

个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下

18

组随机数：

232

231

由此可以估计事件

A

发生的概率为（

）

A.

2

9

321

130

210

133

023

231

123

031

021

320

132

122

220

103

001

233

B.

5

18

C.

1

3

D.

7

18

【答案】

C

【解析】

- 6 -

【分析】

18

组随机数中，利用列举法求出事件

A

发生的随机数有共

6

个，由此能估计事件

A

发生的概

率．

【详解】解：

18

组随机数中，事件

A

发生的随机数有：

210

，

021

，

001

，

130

，

031

，

103

，共

6

个，



估计事件

A

发生的概率为

p

故选：

C

．

61



．

183

【点睛】本题考题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，

属于基础题．

9.

已知

a

，

b

是两条不同的直线，

α

，

β

，

γ

是三个不同的平面，下列命题中：

①若

α∩β=a

，

β∩γ=b

，且

a//b

，则

α//γ

；

②若

a

，

b

相交，且都在

α

，

β

外，

a// α

，

a// β

，

b//α

，

b//β

，则

α//β

；

③若

α

⊥

β

，

α∩β=a

，

b

⊂

β

，

a

⊥

b

，则

b

⊥

α

；

④若

a

⊂

α

，

b

⊂

α

，

l

⊥

a

，

l

⊥

b

，则

l

⊥

α.

其中正确命题的序号是（

）

A. ①②③

【答案】

C

【解析】

【分析】

①通过实际模型判断；②由面面平行的判定定理判断；③由面面垂直的性质定理判断；④由

线面垂直的判定定理判断.

【详解】①若

α∩β=a

，

β∩γ=b

，且

a//b

，则

α//γ

或







，故错误；

②若

a

，

b

相交，且都在

α

，

β

外，

a// α

，

a// β

，

b//α

，

b//β

，则

α//β

；由面面平行判定定理

知正确；

③若

α

⊥

β

，

α∩β=a

，

b

⊂

β

，

a

⊥

b

，则

b

⊥

α

，由面面垂直的性质定理知正确；

④若

a

⊂

α

，

b

⊂

α

，

l

⊥

a

，

l

⊥

b

，由线面垂直的判定定理知，当

a

与

b

⊂相交时，

l

⊥

a

则故错误；

故选：C

【点睛】本题主要考查直线，平面间的位置关系以及面面垂直的判定定理，性质定理，线面

垂直的判定定理，还考查了理解辨析的能力，属于中档题

.

B. ①③ C. ②③ D. ①②③④

x

2

y

2

10.

设双曲线

2



2

1(a0,b0)

的左、右两焦点分别为

F

1

,F

2

，

P

是双曲线右支上一点，

ab

- 7 -

且三角形

OPF

2

为正三角形

(O

为坐标原点

)

，则双曲线的离心率是（

）

A.

31

2

B.

31

C.

6

2

D.

10

2

【答案】

B

【解析】

【分析】

依题意画出草图，根据双曲线的定义计算可得；

【详解】解：依题意，三角形

OPF

2

为正三角形，则

OPOF

2

PF

2

c

，连接

PF

1

可得

PF

，又

PF

1

PF

2

2a

，即

3cc2a

，所以

e

1

3c

故选：

B

c2

31

a

31

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

.

x

11.

已知

f



(x)

是函数

f(x)

的导函数，且对任意的实数

x

都有

f



(x)e(2x3)f(x)

(e

是自

然对数的底数

)

，

f(0)=3

，若方程

f(x)=m

恰有三个实数根，则实数

m

的取值范围是（

）

A.

[0,

1

)

e

2

B.

(0,

1

)

e

2

C.

[

13

,]

e

2

e

3

D.

(

13

,)

e

2

e

3

【答案】

D

【解析】

【分析】

x

根据

f



(x)e(2x3)f(x)

，构造函数

g



x





f



x



f



(x)f(x)



gx2x3

，，由



x

x

e

e

- 8 -

设

g



x



x+3xc

，

g0)=f(0)=3,

得到

f



x



x+3x3e

，再利用导数研究其单调性，

2

2x



极值，最值，画出图象求解即可

.

【详解】因为

f



(x)e(2x3)f(x)

，

所以

x

f



(x)f(x)

2x3

，

e

x

令

g



x





f



x



，

e

x

f



(x)f(x)

2x3

，

x

e

2

所以

g





x





所以

g



x



x+3xc

，

f



x



x+3xce

，

2x



又

f(0)=3

，解得

c3

，

所以

f



x



x+3x3e

，

2x



所以

f





x



e

x



x+3



x2



，

当

f





x



0

时，

x3

或

x2

，当

f





x



0

时，

3x2

，

所以

f



x



在



,3



和



2,



上递增，在



3,2



上递减，

所以

f



x



的极大值是

f



3





31

f2

，极小值是，



32

ee

因为方程

f(x)=m

恰有三个实数根，如图所示：

所以

13

m

，

e

2

e

3

- 9 -

所以则实数

m

的取值范围是

(

故选：

D

13

,)

e

2

e

3

【点睛】本题主要考查了构造函数利用导数研究函数的单调性，极值，最值方程的根，还考

查了转化化归思想，数形结合思想和运算求解的能力，属于较难题

.

12.

有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料

ABCA

1

B

1

C

1

,

其各棱长都为

2,

已知点

O

1

，

O

分别为上，下底面的中心，

M

为

OO

1

的中点，过

A

，

B

，

M

三点的截面把该木料截成

两部分，则此截面面积为（

）

A.

7

B.

319

4

C.

163

9

D. 2

【答案】

C

【解析】

【分析】

取

A

1

B

1

的中点

D

，

AB

的中点

N

，连接

NM

并延长交

DC

1

与

G

，过

G

作

EF//A

1

B

1

，则

梯形

ABFE

即为所求的截面，然后根据

M

为中点，

O

1

为中心，得到

C

1

G

得

EF

和梯形的高即可

.

【详解】如图所示：

1

C

1

D

，

进而求

3

取

A

1

B

1

的中点

D

，

AB

的中点

N

，连接

NM

并延长交

DC

1

与

G

，过

G

作

EF//A

1

B

1

，

- 10 -

因为

AB//A

1

B

1

，所以

EF//AB

，

则梯形

ABFE

即为所求的截面，

则

DO

1

O

1

G

，

因为

M

为中点，

O

1

为中心，

O

1

为中心，

所以

C

1

G

1

C

1

D

，

3

2

12

4213



因为

EF2

，

AEBF2

2







，

33

3



3



所以梯形的高为

52443

，



993

故

S

梯形

ABFE

=

故选：

C

1



2



43163

，

2





2



3



39

【点睛】本题主要考查空间几何体的截面问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于

中档题

.

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分

.

13.

公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄

金分割值约为

0.618

，这一数值也可以表示为

m2sin18

.若

m

____

．（用数字作答）

【答案】



【解析】

【分析】

首先利用余弦的倍角公式以及同角三角函数关系中的平方关系和正弦的倍角公式，对式子进

行化简，求得结果

.

【详解】根据题中的条件可得：

2

12cos

2

27

＝

n4

，则

mn

1

2

12cos

2

2712cos

2

27cos54



2

2sin182cos18

mn

2sin1844sin18



sin361



，

2sin362

- 11 -

故答案是：



1

.

2

【点睛】该题考查的是有关三角函数的求值问题，涉及到的知识点有新定义，利用条件对式

子进行正确的变形是解题的关键

.

14.

在锐角

ABC

中，角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，

a2

且

4bcb

2

c

2

，则角

A

___.

【答案】



3

【解析】

【分析】

根据已知条件

,

反凑余弦定理

,

即可求得角

A.

【详解】

a2

,

∴4bca

2

bcb

2

c

2

,



b

2

c

2

a

2

bc1

A

.



,

又

0A



，

bcabc

由余弦定理得

:

cosA

3

2bc2bc2

222

故答案为

:



.

3

【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用

,

难度较易

.

15.

直线

l

过抛物线

C:y2px



p0



的焦点

F



1,0



，且与

C

交于

A,B

两点，则

2

p

______

，

11



______

．

AFBF

【答案】

(1).

2

(2).

1

【解析】

【分析】

由题意知

果.

【详解】由题意知

p

1

，从而

p2

，所以抛物线方程为

y

2

4x

．联立方程，利用韦达定理可得结

2

p

1

，从而

p2

，所以抛物线方程

2

y

2

4x

．

当直线

AB

斜率不存在时

：

x1

代入，解得

AFBF2

，从而

11

1

．

AFBF

- 12 -