初三数学 直角三角形三角函数

2024年3月19日发(作者：石景山区高考数学试卷题型)

一、一周知识概述

1、解直角三角形常用方法：

（1）勾股定理：c

2

=a

2

＋b

2

（2）三个锐角三角函数：

（3）三个三角函数之间的关系：

①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A)

②平方关系：

③商数关系：

2、注意两个转化

（1）把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形，依题意，画

出图形.

（2）若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角

形，找出边、角之间关系，求出所需要的量.

3、特殊角0°，30°，45°，60°，90°的三角函数值要在理解基础上记住.

0° 30° 45° 60° 90°

0

sinα

1

cosα

0

tanα

1

不存在

1

0

4、三个三角函数值随角的增加，函数值的变化特征：

当0°≤α≤90°时，正弦与正切的函数值随角的增大而增大，但tan90°的值不

存在，而余弦的函数值是随角的增大而减小.

5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念

有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面AB与地面BC的倾斜程度，有时用坡角α

的大小来反映。当α（0°≤α≤90°）较大时，则倾斜程度就较徒，有时把坡面AB的

铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡度，用字母i表示

二、重难点知识概述

1、重点

（1）锐角α的sinα,cosα,tanα的特殊角及对应的特殊值.

（2）0°、90°的特殊情况：sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0，sin90°=1，cos90°=0，

tan90°不存在.

（3）已知锐角α，则可求出sinα,cosα,tanα的值，当α是0°～90°中一般角时，

可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出0°~90°间的角.

（4）利用直角三角形中的边角关系，解决实际问题.

2、难点

将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出。一般

来说，辅助线不要破坏所给的特殊角.

一、周知识概述

1、从实际问题出发——梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通

过学习发现：把这一问题

转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定

.

显然，梯子的倾斜程度与tanA的值的大小有关，当0°

增大，则tanA的值逐渐增大

，梯子越陡.

2、相应地规定正弦：

3、关于30°，45°，60°的正弦，余弦、正切值，可由直角三角形来确定，与直角三

角形大小无关，而与两锐 角大小有关.

当∠A=30°时 当∠A=45°时 当∠A=60°时

将它们的特殊值列表如下：

三角函数

角α的度数

30°

45°

60°

sinα

cosα tanα

1

4、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把∠A的邻边与∠A的对边之比起名为余

切，即

5、在Rt△ABC中，由锐角A（0°

定义：

可得出即sin

2

A＋cos

2

A=1.

6、除特殊角30°，45°，60°的三角函数值外，还有0°，90°的极端情况规定：

（b≠0），而sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.

二、本周重难点

1、重点：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根据特殊角的三

角函数值，仅求锐角的大

小.

2、难点：如何将一般三角形，通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题.

三、重难点知识讲解

例1、若关于x的一元二次方程x

2

＋ax＋b=0的两根是一直角三角形两锐角的正弦

值，且a＋5b=1，求a,b的值.

分析：此题要用到两个方面的知识.一是一元二次方程根与系数的关系，二是利用

在Rt△中，当∠C=90°时，有∠A＋∠B=90°，∴∠B=90°－∠A，则sinB=sin(90°－

A)=cosA的关系，建立a,b的方程组求解.

解：设直角三角形ABC中，∠C=90°，依题意：sinA＋sinB=－a （1），

sinA·sinB=b，又∵∠A＋∠B=90°，∴∠B=90°－∠A．

∴sinB=sin(90°－A)=cosA则将（1），（2）式化为：

sinA＋cosA=－a （3）sinA·cosA=b（4）

(3)

2

－（4）×2，得

sinA＋cosA+2 sinA·cosA－2 sinA·cosA= a－2b，

由sin

2

A＋cos

2

A=1 ，∴a

2

－2b=1 （5），

又由条件可知a＋5b=1 （6），

解（5）（6）组成的方程组，消去a得

222

∴

综上所得

例2、为了农田灌溉的需要，某乡利用土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出一个深为1.2

米，下底宽为2米，坡度为1﹕0.8的渠道（其横断面为等腰梯形）（如图），并把挖

出来的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加0.6米.

求（1）渠面宽EF的长；（2）若修300米长的渠道需挖的土方数是多少？

解析：从图中可知，将原土堤横断面MNPQ中挖出一个等腰梯形ABCD，且将挖出的土方

填在原土堤两边加高后，修成一个等腰梯形EBCF的渠道以便灌水，这中间要求AD、EF

等量.

解：（1）如图过F作FG⊥BC交BC的延长线于G，则：FG=0.6＋1.2=1.8(米)

（2）过D作DH⊥CG交CG于H，则由且DH=1.2，

例3、在Rt△ABC中∠C=90°，AB=6，BC=2.求

（1）sinA, cosA, tanA的值；

（2）sinA与cosB是否相等？sinB与cosA是否相等？为什么，

tanA与sinA，cosA又有什么关系，为什么？

22

（3）sinA与cosA有什么关系？为什么？

解：∵BC=2，AB=6，.

（1）

同理：

（2）

又∵∠B=90°－∠A，即sinA=cos(90°－A) ①

∴sinB=cosA而∠A=90°－∠B

∴sinB=cos(90°－B) ②

（3）

且sinA＋cosA=

22

综上所述，除了掌握从0°～90°间的特殊角的三角函数值外，还需了解它们之间的关

系，可分为：

（1）互余关系：sinA=cos(90°－A)，cosA=sin(90°－A)

（2）平方关系：sin

2

A＋cos

2

A=1

（3）商数关系：可作为公式使用.

例4、在Rt△ABC中，∠C=90°，若求tanB的值.

解析：此题有两种解法，一是定义法，二是用三角函数间的关系式.

解法一：定义法：在Rt△ABC中，∠C=90°，且

∴设BC=3a，∴AB=5a，

解法二：∵sinA=cos(90°－A)=cosB，

又∵sin

2

B＋cos

2

B=1，且sinB>0,

.