2021年九年级数学中考试题(含解析)

2024年3月30日发(作者：铜山区高一教材数学试卷)

2021年九年级中考模拟考试

数 学 试 题

一、选择题（共

12

小题，每小题

3

分，共

36

分．）

1

．

2021

的相反数是（ ）

A

．

2021

B

．﹣

2021

C

．

D

．

2

．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒

338 600 000

亿次，数字

338 600 000

用科学记数法可简洁表示为（ ）

A

．

3.386

×

10

8

B

．

0.3386

×

10

9

C

．

33.86

×

10

7

D

．

3.386

×

10

9

3

．下列计算正确的是（ ）

A

．

3a+4b

＝

7ab

C

．（

a+2

）

2

＝

a

2

+4

B

．（

ab

3

）

3

＝

ab

6

D

．

x

12

÷

x

6

＝

x

6

4

．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为

200

元，按标价的五

折销售，仍可获利

20

元，则这件商品的进价为（ ）

A

．

120

元

B

．

100

元

C

．

80

元

D

．

60

元

5

．关于

x

的一元二次方程

kx

2

+3x

﹣

1

＝

0

有实数根，则

k

的取值范围是（ ）

A

．

k

≤﹣

B

．

k

≤﹣且

k

≠

0

C

．

k

≥﹣

D

．

k

≥﹣且

k

≠

0

6

．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

7

．已知实数

x

，

y

满足

A

．

20

或

16

C

．

16

，则以

x

，

y

的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）

B

．

20

D

．以上答案均不对

8

．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的有（ ）

①若

|a|

＝

|b|

，则

a

2

＝

b

2

；②若

ma

2

＞

na

2

，则

m

＞

n

；

③垂直于弦的直径平分弦；④对角线互相垂直的四边形是菱形．

A

．

1

个

B

．

2

个

C

．

3

个

D

．

4

个

9

．如图，已知△

ABC

，

AB

＜

BC

，用尺规作图的方法在

BC

上取一点

P

，使得

PA+PC

＝

BC

，则下列

选项正确的是（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

10

．在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有

6

个红球，

5

个绿球，若随机摸出一个球是绿球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是

（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

11

．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

BAC

＝

90

°，将

Rt

△

ABC

绕点

C

按逆时针方向旋转

48

°得到

Rt

△

A

′

B

′

C

′，点

A

在边

B

′

C

上，则∠

B

′的大小为（ ）

A

．

42

°

B

．

48

°

C

．

52

°

D

．

58

°

12

．定义：点

A

（

x

，

y

）为平面直角坐标系内的点，若满足

x

＝

y

，则把点

A

叫做“平衡点”．例如：

M

（

1

，

1

），

N

（﹣

2

，﹣

2

）都是“平衡点”．当﹣

1

≤

x

≤

3

时，直线

y

＝

2x+m

上有“平衡点”，

则

m

的取值范围是（ ）

A

．

0

≤

m

≤

1

B

．﹣

3

≤

m

≤

1

C

．﹣

3

≤

m

≤

3

D

．﹣

1

≤

m

≤

0

二、填空题（本大题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分，请把答案填在相应答题卡上）

13

．分解因式：

x

3

﹣

xy

2

＝

．

14

．在函数中，自变量

x

的取值范围是

．

15

．将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠

1

＝

40

°，则∠

2

＝

°．

16

．如图矩形

ABCD

中，

AD

＝

1

，

CD

＝，连接

AC

，将线段

AC

、

AB

分别绕点

A

顺时针旋转

90

°

AF

，

至

AE

、线段

AE

与弧

BF

交于点

G

，连接

CG

，则图中阴影部分面积为

．

三、解答题（本大题共

5

小题，共

44

分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）

17

．计算：．

18

．如图，分别以

Rt

△

ABC

的直角边

AC

及斜边

AB

向外作等边△

ACD

及等边△

ABE

，已知：∠

BAC

＝

30

°，

EF

⊥

AB

，垂足为

F

，连接

DF

．

（

1

）试说明

AC

＝

EF

；

（

2

）求证：四边形

ADFE

是平行四边形．

19

．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的

5

个主题进

行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据

图中提供的信息，解答下列问题：

（

1

）这次调查的学生共有多少名？

（

2

）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．

（

3

）如果要在这

5

个主题中任选两个进行调查，根据（

2

）中调查结果，用树状图或列表法，求

恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为

A

、

B

、

C

、

D

、

E

）．

20

．小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树

A

和

B

之间的距离，他在

A

处测得大树

B

在

A

的北偏西

30

°方向，他从

A

处出发向北偏东

15

°方向走了

200

米到达

C

处，测得大树

B

在

C

的北偏西

60

°

方向．

（

1

）求∠

ABC

的度数；

（

2

）求两棵大树

A

和

B

之间的距离（结果精确到

1

米）（参考数据：

≈

2.449

）

≈

1.414

，≈

1.732

，

21

．某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）．下

表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．

每辆汽车能装的数量

（吨））

每吨水果可获利润（千元）

5

7

4

甲

4

乙

2

丙

3

（

1

）用

8

辆汽车装运乙、丙两种水果共

22

吨到

A

地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少

辆？

（

2

）水果基地计划用

20

辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共

72

吨到

B

地销售（每种水果不少于

一车），假设装运甲水果的汽车为

m

辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用

m

表示）

（

3

）在（

2

）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？

四、填空题（本大题共

4

小题，每小题

6

分，共

24

分，请把答案填在相应答题卡上）

22

．已知关于

x

的分式方程＝有解，则

a

的取值范围是

．

23

．如图，在平面直角坐标系中，点

A

（

a

，

b

）为第一象限内一点，且（

b

＞

a

），连接

AO

，并以

A

B

恰好在同一反比例函数图象上，为旋转中心把线段

AO

逆时针旋转

90

°，得到线段

AB

，若点

A

、

则的值等于

．

24

．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

ACB

＝

90

°，

AC

＝

4

，

BC

＝

6

，点

D

是边

BC

的中点，点

E

是边

AB

上

的任意一点（点

E

不与点

B

重合），沿

DE

翻折△

DBE

使点

B

落在点

F

处，连接

AF

，则线段

AF

的长取最小值时，

BF

的长为

．

25

．如图，

P

1

（

x

1

，

y

1

）、

P

2

（

x

2

，

y

2

），…

P

n

（

x

n

，

y

n

）在函数

y

＝（

x

＞

0

）的图象上，△

OP

1

A

1

，

△

P

2

A

1

A

2

，△

P

3

A

2

A

3

…△

P

n

A

n

﹣

1

A

n

…都是等腰直角三角形，斜边

OA

1

，

A

1

A

2

…

A

n

﹣

1

A

n

，都在

x

轴上，

则

y

1

+y

2

+

…

+y

n

＝

．

五、解答题（本大题共

3

小题，每小题

12

分，共

36

分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）

26

．在边长为

1

的正方形

ABCD

中，点

E

是射线

BC

上一动点，

AE

与

BD

相交于点

M

，

AE

或其延

长线与

DC

或其延长线相交于点

F

，

G

是

EF

的中点，连结

CG

．

（

1

）如图

1

，当点

E

在

BC

边上时．求证：

CG

⊥

CM

．

（

2

）如图

2

，当点

E

在

BC

的延长线上时，（

1

）中的结论是否成立？请说明理由．

（

3

）在点

E

运动过程中，当

BE

的长度多少时，△

MCE

是等腰三角形？请说明理由．

27

．如图，在△

ABC

中，∠

C

＝

90

°，∠

ABC

的平分线交

AC

于点

E

，过点

E

作

BE

的垂线交

AB

于

点

F

，⊙

O

是△

BEF

的外接圆．

（

1

）求证：

AC

是⊙

O

的切线；

（

2

）过点

E

作

EH

⊥

AB

，垂足为

H

，求证：

CD

＝

HF

；

（

3

）若

CD

＝

1

，

EH

＝

3

，求

BF

及

AF

长．

28

．如图

1

，抛物线

y

＝

ax

2

+

（

a+3

）

x+3

（

a

≠

0

）与

x

轴交于点

A

（

4

，

0

），与

y

轴交于点

B

，在

x

轴上有一动点

E

（

m

，

0

）（

0

＜

m

＜

4

），过点

E

作

x

轴的垂线交直线

AB

于点

N

，交抛物线于点

P

，

过点

P

作

PM

⊥

AB

于点

M

．

（

1

）求

a

的值和直线

AB

的函数表达式；

（

2

）设△

PMN

的周长为

C

1

，△

AEN

的周长为

C

2

，若＝，求

m

的值；

（

3

）如图

2

，在（

2

）条件下，将线段

OE

绕点

O

逆时针旋转得到

OE

′，旋转角为α（

0

°＜α

＜

90

°），连接

E

′

A

、

E

′

B

，求

E

′

A+E

′

B

的最小值．

参考答案

一、选择题（本大题共

12

小题，每小题

3

分，共

36

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．）

1

．

2021

的相反数是（ ）

A

．

2021

B

．﹣

2021

C

．

D

．

【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．求一个数的相反数的方法就是在这个数的前面添加

“﹣”．

解：

2021

的相反数是﹣

2021

，

故选：

B

．

2

．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒

338 600 000

亿次，数字

338 600 000

用科学记数法可简洁表示为（ ）

A

．

3.386

×

10

8

B

．

0.3386

×

10

9

C

．

33.86

×

10

7

D

．

3.386

×

10

9

【分析】科学记数法的表示形式为

a

×

10

n

的形式，其中

1

≤

|a|

＜

10

，

n

为整数．确定

n

的值时，

要看把原数变成

a

时，小数点移动了多少位，

n

的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对

值＞

1

时，

n

是正数；当原数的绝对值＜

1

时，

n

是负数．

解：数字

338 600 000

用科学记数法可简洁表示为

3.386

×

10

8

．

故选：

A

．

3

．下列计算正确的是（ ）

A

．

3a+4b

＝

7ab

C

．（

a+2

）

2

＝

a

2

+4

B

．（

ab

3

）

3

＝

ab

6

D

．

x

12

÷

x

6

＝

x

6

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得

出答案．

解：

A

、

3a+4b

，无法计算，故此选项错误；

B

、（

ab

3

）

3

＝

a

3

b

9

，故此选项错误；

C

、（

a+2

）

2

＝

a

2

+4a+4

，故此选项错误；

D

、

x

12

÷

x

6

＝

x

6

，故此选项正确．

故选：

D

．

4

．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为

200

元，按标价的五

折销售，仍可获利

20

元，则这件商品的进价为（ ）

A

．

120

元

B

．

100

元

C

．

80

元

D

．

60

元

【分析】设该商品的进价为

x

元

/

件，根据“标价＝（进价

+

利润）÷折扣”即可列出关于

x

的一

元一次方程，解方程即可得出结论．

解：设该商品的进价为

x

元

/

件，

依题意得：（

x+20

）÷

解得：

x

＝

80

．

∴该商品的进价为

80

元

/

件．

故选：

C

．

5

．关于

x

的一元二次方程

kx

2

+3x

﹣

1

＝

0

有实数根，则

k

的取值范围是（ ）

A

．

k

≤﹣

B

．

k

≤﹣且

k

≠

0

C

．

k

≥﹣

D

．

k

≥﹣且

k

≠

0

＝

200

，

【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于

k

的不等式，

解得即可，同时还应注意二次项系数不能为

0

．

解：∵关于

x

的一元二次方程

kx

2

+3x

﹣

1

＝

0

有实数根，

∴Δ＝

b

2

﹣

4ac

≥

0

，

即：

9+4k

≥

0

，

解得：

k

≥﹣，

∵关于

x

的一元二次方程

kx

2

+3x

﹣

1

＝

0

中

k

≠

0

，

则

k

的取值范围是

k

≥﹣且

k

≠

0

．

故选：

D

．

6

．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

解：

A

．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；

B

．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：

A

．

7

．已知实数

x

，

y

满足

A

．

20

或

16

C

．

16

，则以

x

，

y

的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）

B

．

20

D

．以上答案均不对

【分析】根据非负数的意义列出关于

x

、

y

的方程并求出

x

、

y

的值，再根据

x

是腰长和底边长两

种情况讨论求解．

解：根据题意得

，

解得，

（

1

）若

4

是腰长，则三角形的三边长为：

4

、

4

、

8

，

不能组成三角形；

（

2

）若

4

是底边长，则三角形的三边长为：

4

、

8

、

8

，

能组成三角形，周长为

4+8+8

＝

20

．

故选：

B

．

8

．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的有（ ）

①若

|a|

＝

|b|

，则

a

2

＝

b

2

；②若

ma

2

＞

na

2

，则

m

＞

n

；

③垂直于弦的直径平分弦；④对角线互相垂直的四边形是菱形．

A

．

1

个

B

．

2

个

C

．

3

个

D

．

4

个

【分析】先根据绝对值、不等式的性质、垂径定理和菱形的判定对四个命题进行判断，再分别交

换命题的题设和结论得到四个逆命题，然后判断逆命题的真假．

解：①若

|a|

＝

|b|

，则

a

2

＝

b

2

，此命题为真命题；它的逆命题为若

a

2

＝

b

2

，则

|a|

＝

|b|

，此逆命题为

真命题；

②若

ma

2

＞

na

2

，则

m

＞

n

，此命题为真命题；它的逆命题为若

m

＞

n

，则

ma

2

＞

na

2

，此逆命题为假

命题；

③垂直于弦的直径平分弦，此命题为真命题；它的逆命题为平方弦的直径垂直于弦，此逆命题为

假命题；

④对角线互相垂直的四边形是菱形，此逆命题为假命题，它的逆命题为菱形的对角线互相垂直，

此逆命题为真命题．

故选：

A

．

9

．如图，已知△

ABC

，

AB

＜

BC

，用尺规作图的方法在

BC

上取一点

P

，使得

PA+PC

＝

BC

，则下列

选项正确的是（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

【分析】由

PB+PC

＝

BC

和

PA+PC

＝

BC

易得

PA

＝

PB

，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点

P

在

AB

的垂直平分线上，于是可判断

D

选项正确．

解：∵

PB+PC

＝

BC

，

而

PA+PC

＝

BC

，

∴

PA

＝

PB

，

∴点

P

在

AB

的垂直平分线上，

即点

P

为

AB

的垂直平分线与

BC

的交点．

故选：

D

．

10

．在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有

6

个红球，

5

个绿球，若随机摸出一个球是绿球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是

（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

【分析】根据摸出一个球是绿球的概率是，得出蓝球的个数，进而得出小球总数，即可得出随

机摸出一个球是蓝球的概率．

解：∵在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其

中有

6

个红球，

5

个绿球，

随机摸出一个球是绿球的概率是，

设蓝球

x

个，

∴＝，

解得：

x

＝

9

，

∴随机摸出一个球是蓝球的概率是：

故选：

D

．

11

．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

BAC

＝

90

°，将

Rt

△

ABC

绕点

C

按逆时针方向旋转

48

°得到

Rt

△

A

′

B

′

C

′，点

A

在边

B

′

C

上，则∠

B

′的大小为（ ）

．

A

．

42

°

B

．

48

°

C

．

52

°

D

．

58

°

【分析】先根据旋转的性质得出∠

A

′＝∠

BAC

＝

90

°，∠

ACA

′＝

48

°，然后在直角△

A

′

CB

′

中利用直角三角形两锐角互余求出∠

B

′＝

90

°﹣∠

ACA

′＝

42

°．

解：∵在

Rt

△

ABC

中，∠

BAC

＝

90

°，将

Rt

△

ABC

绕点

C

按逆时针方向旋转

48

°得到

Rt

△

A

′

B

′

C

′，

∴∠

A

′＝∠

BAC

＝

90

°，∠

ACA

′＝

48

°，

∴∠

B

′＝

90

°﹣∠

ACA

′＝

42

°．

故选：

A

．

12

．定义：点

A

（

x

，

y

）为平面直角坐标系内的点，若满足

x

＝

y

，则把点

A

叫做“平衡点”．例如：

M

（

1

，

1

），

N

（﹣

2

，﹣

2

）都是“平衡点”．当﹣

1

≤

x

≤

3

时，直线

y

＝

2x+m

上有“平衡点”，

则

m

的取值范围是（ ）

A

．

0

≤

m

≤

1

B

．﹣

3

≤

m

≤

1

C

．﹣

3

≤

m

≤

3

D

．﹣

1

≤

m

≤

0

【分析】根据

x

＝

y

，﹣

1

≤

x

≤

3

可得出关于

m

的不等式，求出

m

的取值范围即可．

解：∵

x

＝

y

，

∴

x

＝

2x+m

，即

x

＝﹣

m

．

∵﹣

1

≤

x

≤

3

，

∴﹣

1

≤﹣

m

≤

3

，

∴﹣

3

≤

m

≤

1

．

故选：

B

．

二、填空题（本大题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分，请把答案填在相应答题卡上）

13

．分解因式：

x

3

﹣

xy

2

＝

x

（

x+y

）（

x

﹣

y

） ．

【分析】直接提取公因式

x

，再利用平方差公式分解因式得出答案．

解：原式＝

x

（

x

2

﹣

y

2

）

＝

x

（

x+y

）（

x

﹣

y

）．

故答案为：

x

（

x+y

）（

x

﹣

y

）．

14

．在函数中，自变量

x

的取值范围是

x

≤

1

且

x

≠﹣

2

．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于

0

，分母不等于

0

，就可以求解．

解：根据二次根式有意义，分式有意义得：

1

﹣

x

≥

0

且

x+2

≠

0

，

解得：

x

≤

1

且

x

≠﹣

2

．

故答案为：

x

≤

1

且

x

≠﹣

2

．

15

．将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠

1

＝

40

°，则∠

2

＝

110

°．

【分析】根据平行线的性质得到∠

3

＝∠

1

＝

40

°，∠

2+

∠

4

＝

180

°，由折叠的性质得到∠

4

＝∠

5

，

即可得到结论．

解：∵

AB

∥

CD

，

∴∠

3

＝∠

1

＝

40

°，∠

2+

∠

4

＝

180

°，

∵∠

4

＝∠

5

，

∴∠

4

＝∠

5

＝（

180

°﹣

40

°）＝

70

°，

∴∠

2

＝

110

°，

故答案为：

110

°．

16

．如图矩形

ABCD

中，

AD

＝

1

，

CD

＝，连接

AC

，将线段

AC

、

AB

分别绕点

A

顺时针旋转

90

°

﹣ ．

至

AE

、

AF

，线段

AE

与弧

BF

交于点

G

，连接

CG

，则图中阴影部分面积为

【分析】根据勾股定理得到

AC

＝

2

，由三角函数的定义得到∠

CAB

＝

30

°，根据旋转的性质得到

∠

CAE

＝∠

BAF

＝

90

°，求得∠

BAG

＝

60

°，然后根据图形的面积即可得到结论．

解：在矩形

ABCD

中，

∵

AD

＝

1

，

CD

＝，

＝，

∵

AC

＝

2

，

tan

∠

CAB

＝

∴∠

CAB

＝

30

°，

∵线段

AC

、

AB

分别绕点

A

顺时针旋转

90

°至

AE

、

AF

，

∴∠

CAE

＝∠

BAF

＝

90

°，

∴∠

BAG

＝

60

°，

∵

AG

＝

AB

＝，

ABG

﹣

S

△

ACG

＝∴阴影部分面积＝

S

△

ABC

+S

扇形

××

1+

﹣××

2

＝﹣

，

故答案为：﹣．

三、解答题（本大题共

5

小题，共

44

分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）

17

．计算：．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性

质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．

解：原式＝

1

﹣

2

＝

1

﹣

2

＝﹣

2

．

18

．如图，分别以

Rt

△

ABC

的直角边

AC

及斜边

AB

向外作等边△

ACD

及等边△

ABE

，已知：∠

BAC

＝

30

°，

EF

⊥

AB

，垂足为

F

，连接

DF

．

﹣

3+2

﹣

3+4

×

（

1

）试说明

AC

＝

EF

；

（

2

）求证：四边形

ADFE

是平行四边形．

【分析】（

1

）首先由

Rt

△

ABC

中，由∠

BAC

＝

30

°可以得到

AB

＝

2BC

，又由△

ABE

是等边三角

形，

EF

⊥

AB

，由此得到

AE

＝

2AF

，并且

AB

＝

2AF

，然后证得△

AFE

≌△

BCA

，继而证得结论；

（

2

）根据（

1

）知道

EF

＝

AC

，而△

ACD

是等边三角形，所以

EF

＝

AC

＝

AD

，并且

AD

⊥

AB

，而

EF

⊥

AB

，

由此得到

EF

∥

AD

，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形

ADFE

是平行四边形．

【解答】证明：（

1

）∵

Rt

△

ABC

中，∠

BAC

＝

30

°，

∴

AB

＝

2BC

，

又∵△

ABE

是等边三角形，

EF

⊥

AB

，

∴

AB

＝

2AF

∴

AF

＝

BC

，

在

Rt

△

AFE

和

Rt

△

BCA

中，

，

∴

Rt

△

AFE

≌

Rt

△

BCA

（

HL

），

∴

AC

＝

EF

；

（

2

）∵△

ACD

是等边三角形，

∴∠

DAC

＝

60

°，

AC

＝

AD

，

∴∠

DAB

＝∠

DAC+

∠

BAC

＝

90

°

又∵

EF

⊥

AB

，

∴

EF

∥

AD

，

∵

AC

＝

EF

，

AC

＝

AD

，

∴

EF

＝

AD

，

∴四边形

ADFE

是平行四边形．

19

．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的

5

个主题进

行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据

图中提供的信息，解答下列问题：

（

1

）这次调查的学生共有多少名？

（

2

）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．

（

3

）如果要在这

5

个主题中任选两个进行调查，根据（

2

）中调查结果，用树状图或列表法，求

恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为

A

、

B

、

C

、

D

、

E

）．

【分析】（

1

）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；

（

2

）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；

（

3

）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“

C

”与“

E

”的情况数，即可求

出所求的概率．

解：（

1

）

56

÷

20%

＝

280

（名），

答：这次调查的学生共有

280

名；

（

2

）

280

×

15%

＝

42

（名），

280

﹣

42

﹣

56

﹣

28

﹣

70

＝

84

（名），

补全条形统计图，如图所示，

根据题意得：

84

÷

280

＝

30%

，

360

°×

30%

＝

108

°，

答：“进取”所对应的圆心角是

108

°；

（

3

）由（

2

）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：

A

B

C

D

A

（

B

，

A

）

B

C

D

E

（

A

，

B

）

（

A

，

C

）

（

A

，

D

）

（

A

，

E

）

（

B

，

C

）

（

B

，

D

）

（

B

，

E

）

（

C

，

D

）

（

C

，

E

）

（

D

，

E

）

（

C

，

A

）

（

C

，

B

）

（

D

，

A

）

（

D

，

B

）

（

D

，

C

）

E

（

E

，

A

）

（

E

，

B

）

（

E

，

C

）

（

E

，

D

）

用树状图为：

共

20

种情况，恰好选到“

C

”和“

E

”有

2

种，

∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是．

20

．小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树

A

和

B

之间的距离，他在

A

处测得大树

B

在

A

的北偏西

30

°方向，他从

A

处出发向北偏东

15

°方向走了

200

米到达

C

处，测得大树

B

在

C

的北偏西

60

°

方向．

（

1

）求∠

ABC

的度数；

（

2

）求两棵大树

A

和

B

之间的距离（结果精确到

1

米）（参考数据：

≈

2.449

）

≈

1.414

，≈

1.732

，

【分析】（

1

）先利用平行线的性质得∠

ACM

＝∠

DAC

＝

15

°，再利用平角的定义计算出∠

ACB

＝

105

°，然后根据三角形内角和计算∠

ABC

的度数；

（

2

）作

CH

⊥

AB

于

H

，如图，易得△

ACH

为等腰直角三角形，则

AH

＝

CH

＝

在

Rt

△

BCH

中利用含

30

度的直角三角形三边的关系得到

BH

＝

CH

＝

100

AC

＝

100

，

，

AB

＝

AH+BH

＝

100+100

，然后进行近似计算即可．

解：（

1

）∵

CM

∥

AD

，

∴∠

ACM

＝∠

DAC

＝

15

°，

∴∠

ACB

＝

180

°﹣∠

BCN

﹣∠

ACM

＝

180

°﹣

60

°﹣

15

°＝

105

°，

而∠

BAC

＝

30

°

+15

°＝

45

°，

∴∠

ABC

＝

180

°﹣

45

°﹣

105

°＝

30

°；

（

2

）作

CH

⊥

AB

于

H

，如图，

∵∠

BAC

＝

45

°，

∴△

ACH

为等腰直角三角形，

∴

AH

＝

CH

＝

AC

＝×

200

＝

100

，

在

Rt

△

BCH

中，∵∠

HBC

＝

30

°，

∴

BH

＝

CH

＝

100

，

+100

≈

141.4+244.9

≈

386

．

∴

AB

＝

AH+BH

＝

100

答：两棵大树

A

和

B

之间的距离约为

386

米．

21

．某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）．下

表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．

每辆汽车能装的数量

（吨））

每吨水果可获利润（千元）

5

7

4

甲

4

乙

2

丙

3

（

1

）用

8

辆汽车装运乙、丙两种水果共

22

吨到

A

地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少

辆？

（

2

）水果基地计划用

20

辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共

72

吨到

B

地销售（每种水果不少于

一车），假设装运甲水果的汽车为

m

辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用

m

表示）

（

3

）在（

2

）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？

【分析】（

1

）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；

（

2

）根据题意和表格中的数据可以用关于

m

的代数式表示出装运乙、丙两种水果的汽车数量；

（

3

）根据题意可以写出利润

w

关于

m

的关系式，再根据

m

的取值范围即可解答本题．

【解答】（

1

）设装运乙、丙水果的车分别为

x

辆，

y

辆，

，

解得，，

答：装运乙种水果的车有

2

辆、丙种水果的汽车有

6

辆；

（

2

）设装运乙、丙水果的车分别为

a

辆，

b

辆，

，

解得，，

答：装运乙种水果的汽车是（

m

﹣

12

）辆，丙种水果的汽车是（

32

﹣

2m

）辆；

（

3

）设总利润为

w

千元，

w

＝

4

×

5m+2

×

7

（

m

﹣

12

）

+4

×

3

（

32

﹣

2m

）＝

10m+216

，

∵，

解得，

13

≤

m

≤

15.5

，

∵

m

为正整数，

∴

m

＝

13

，

14

，

15

，

∴当

m

＝

15

时，

W

最大

＝

366

（千元），

答：当运甲水果的车

15

辆，运乙水果的车

3

辆，运丙水果的车

2

辆，利润最大，最大利润为

366

千元．

四、填空题（本大题共

4

小题，每小题

6

分，共

24

分，请把答案填在相应答题卡上）

22

．已知关于

x

的分式方程＝有解，则

a

的取值范围是

a

≥

1

且

a

≠

4

．

【分析】解分式方程用

a

表示

|x|

，根据关于

x

的分式方程有解得

|x|

≥

0

且

|x|

﹣

2

≠

0

，列不等式组求

解集．

解：＝，

2|2x|

﹣

2a

＝

|x|

﹣

2

，

4|x|

﹣

|x|

＝

2a

﹣

2

，

3|x|

＝

2a

﹣

2

，

|x|

＝，

∵关于

x

的分式方程有解，

∴≥

0

，且

|x|

﹣

2

≠

0

，即≠

2

，

解得

a

≥

1

且

a

≠

4

．

故答案为：

a

≥

1

且

a

≠

4

．

23

．如图，在平面直角坐标系中，点

A

（

a

，

b

）为第一象限内一点，且（

b

＞

a

），连接

AO

，并以

A

B

恰好在同一反比例函数图象上，为旋转中心把线段

AO

逆时针旋转

90

°，得到线段

AB

，若点

A

、

则的值等于

．

【分析】过

A

作

AE

⊥

x

轴，过

B

作

BD

⊥

AE

，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直

角相等，且

AO

＝

AB

，利用

AAS

得出三角形

AOE

与三角形

ABD

全等，由确定三角形的对应边相

等得到

BD

＝

AE

＝

b

，

AD

＝

OE

＝

a

，进而表示出

ED

及

OE+BD

的长，即可表示出

B

坐标；由

A

与

B

都在反比例图象上，得到

A

与

B

横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出的值．

解：过

A

作

AE

⊥

x

轴，过

B

作

BD

⊥

AE

，

∵∠

OAB

＝

90

°，

∴∠

OAE+

∠

BAD

＝

90

°，

∵∠

AOE+

∠

OAE

＝

90

°，

∴∠

BAD

＝∠

AOE

，

在△

AOE

和△

BAD

中，

，

∴△

AOE

≌△

BAD

（

AAS

），

∴

AE

＝

BD

＝

b

，

OE

＝

AD

＝

a

，

∴

DE

＝

AE

﹣

AD

＝

b

﹣

a

，

OE+BD

＝

a+b

，

则

B

（

a+b

，

b

﹣

a

）；

∵

A

与

B

都在反比例图象上，得到

ab

＝（

a+b

）（

b

﹣

a

），

整理得：

b

2

﹣

a

2

＝

ab

，即（）

2

﹣﹣

1

＝

0

，

∵△＝

1+4

＝

5

，

∴＝，

∵点

A

（

a

，

b

）为第一象限内一点，

∴

a

＞

0

，

b

＞

0

，

则＝

故答案为

．

．

24

．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

ACB

＝

90

°，

AC

＝

4

，

BC

＝

6

，点

D

是边

BC

的中点，点

E

是边

AB

上

的任意一点（点

E

不与点

B

重合），沿

DE

翻折△

DBE

使点

B

落在点

F

处，连接

AF

，则线段

AF

的长取最小值时，

BF

的长为 ．

【分析】由题意得：

DF

＝

DB

，得到点

F

在以

D

为圆心，

BD

为半径的圆上，作⊙

D

；

连接

AD

交⊙

D

于点

F

，此时

AF

值最小，由点

D

是边

BC

的中点，得到

CD

＝

BD

＝

3

；而

AC

＝

4

，由勾股

定理得到

AD

＝

5

，求得线段

AF

长的最小值是

2

，连接

BF

，过

F

作

FH

⊥

BC

于

H

，根据相似三角

形的性质即可得到结论．

解：由题意得：

DF

＝

DB

，

∴点

F

在以

D

为圆心，

BD

为半径的圆上，作⊙

D

；

连接

AD

交⊙

D

于点

F

，此时

AF

值最小，

∵点

D

是边

BC

的中点，

∴

CD

＝

BD

＝

3

；而

AC

＝

4

，

由勾股定理得：

AD

2

＝

AC

2

+CD

2

∴

AD

＝

5

，而

FD

＝

3

，

∴

FA

＝

5

﹣

3

＝

2

，

即线段

AF

长的最小值是

2

，

连接

BF

，过

F

作

FH

⊥

BC

于

H

，

∵∠

ACB

＝

90

°，

∴

FH

∥

AC

，

∴△

DFH

∽△

ADC

，

∴

∴

HF

＝

∴

BH

＝

∴

BF

＝

故答案为：

，

，

DH

＝，

，

＝

．

，

25

．如图，

P

1

（

x

1

，

y

1

）、

P

2

（

x

2

，

y

2

），…

P

n

（

x

n

，

y

n

）在函数

y

＝（

x

＞

0

）的图象上，△

OP

1

A

1

，

△

P

2

A

1

A

2

，△

P

3

A

2

A

3

…△

P

n

A

n

﹣

1

A

n

…都是等腰直角三角形，斜边

OA

1

，

A

1

A

2

…

A

n

﹣

1

A

n

，都在

x

轴上，

则

y

1

+y

2

+

…

+y

n

＝

3

．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出

y

1

，

y

2

，

y

3

……

y

n

，再计算即可．

解：如图，过

P

1

，

P

2

，

P

3

…

P

n

，分别作

x

轴的垂线，垂足分别为

Q

1

，

Q

2

，

Q

3

，…

Q

n

，

∵△

OP

1

A

1

，△

P

2

A

1

A

2

，△

P

3

A

2

A

3

…△

P

n

A

n

﹣

1

A

n

…都是等腰直角三角形，

∴

OQ

1

＝

P

1

Q

1

＝

Q

1

A

1

＝

y

1

，

A

1

Q

2

＝

P

2

Q

2

＝

Q

2

A

2

＝

y

2

，

A

2

Q

3

＝

P

3

Q

3

＝

Q

3

A

3

＝

y

3

，

……

A

n

﹣

1

Q

n

＝

P

n

Q

n

＝

Q

n

A

n

＝

y

n

，

于是

P

1

（

y

1

，

y

1

），

P

2

（

2y

1

+y

2

，

y

2

），

P

3

（

2y

1

+2y

2

+y

3

，

y

3

），……

P

n

（

2y

i

+2y

2

+2y

3

+

…

+2y

n

﹣

1

+y

n

，

y

n

），

将

P

1

（

y

1

，

y

1

）代入反比例函数

y

＝得，

y

1

•

y

1

＝

9

，解得

y

1

＝

3

，

因此

P

2

（

6+y

2

，

y

2

），

将

P

2

（

2y

1

+y

2

，

y

2

），

y

1

＝

3

，代入反比例函数

y

＝得，

（

6+y

2

）•

y

2

＝

9

，

解得

y

2

＝

3

﹣

3

，

同理将

P

3

（

2y

1

+2y

2

+y

3

，

y

3

），

P

4

（

2y

1

+2y

2

+2y

3

+y

4

，

y

4

），……代入反比例函数关系式可求得，

y

3

＝

3

y

4

＝

3

y

5

＝

3

……

所以

y

1

+y

2

+

…

+y

n

＝

3+3

故答案为：

3

．

﹣

3+3

﹣

3+

…

+3

﹣

3

＝

3

，

﹣

3

﹣

3

﹣

3

，

＝

6

﹣

3

＝

3

，

﹣

6

，

五、解答题（本大题共

3

小题，每小题

12

分，共

36

分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）

26

．在边长为

1

的正方形

ABCD

中，点

E

是射线

BC

上一动点，

AE

与

BD

相交于点

M

，

AE

或其延

长线与

DC

或其延长线相交于点

F

，

G

是

EF

的中点，连结

CG

．

（

1

）如图

1

，当点

E

在

BC

边上时．求证：

CG

⊥

CM

．

（

2

）如图

2

，当点

E

在

BC

的延长线上时，（

1

）中的结论是否成立？请说明理由．

（

3

）在点

E

运动过程中，当

BE

的长度多少时，△

MCE

是等腰三角形？请说明理由．

【分析】（

1

）由全等三角形的性质得出∠

BAM

＝∠

BCM

，由直角三角形斜边上的中线性质得出

GC

＝

GF

，证出∠

GCF

＝∠

F

，由平行线的性质得出∠

BAM

＝∠

F

，因此∠

BCM

＝∠

GCF

，得出∠

BCM+

∠

GCE

＝∠

GCF+

∠

GCE

＝

90

°，即可得出结论；

（

2

）同（

1

），即可得出结论；

（

3

）①当点

E

在

BC

边上时，由∠

MEC

＞

90

°，要使△

MCE

是等腰三角形，必须

EM

＝

EC

，得

出∠

EMC

＝∠

ECM

，由三角形的外角性质得出∠

AEB

＝

2

∠

BCM

＝

2

∠

BAE

，由直角三角形的性质

得出∠

BAE

＝

30

°，得出

BE

＝

AB

＝；

；即可得出结论．

②当点

E

在

BC

的延长线上时，同①知

BE

＝

【解答】（

1

）证明：∵四边形

ABCD

是正方形，

∴

AB

＝

BC

，∠

ABM

＝∠

CBM

，

在△

ABM

和△

CBM

中，

，

∴△

ABM

≌△

CBM

（

SAS

）．

∴∠

BAM

＝∠

BCM

，

又∵∠

ECF

＝

90

°，

G

是

EF

的中点，

∴

GC

＝

EF

＝

GF

，

∴∠

GCF

＝∠

GFC

，

又∵

AB

∥

DF

，

∴∠

BAM

＝∠

GFC

，

∴∠

BCM

＝∠

GCF

，

∴∠

BCM+

∠

GCE

＝∠

GCF+

∠

GCE

＝

90

°，

∴

GC

⊥

CM

；

（

2

）解：成立；理由如下：

∵四边形

ABCD

是正方形，

∴

AB

＝

BC

，∠

ABM

＝∠

CBM

，

在△

ABM

和△

CBM

中，

，

∴△

ABM

≌△

CBM

（

SAS

），

∴∠

BAM

＝∠

BCM

，

又∵∠

ECF

＝

90

°，

G

是

EF

的中点，

∴

GC

＝

GF

，

∴∠

GCF

＝∠

GFC

，

又∵

AB

∥

DF

，

∴∠

BAM

＝∠

GFC

，

∴∠

BCM

＝∠

GCF

，

∴∠

GCF+

∠

MCF

＝∠

BCM+MCFE

＝

90

°，

∴

GC

⊥

CM

；

（

3

）解：分两种情况：①当点

E

在

BC

边上时，

∵∠

MEC

＞

90

°，要使△

MCE

是等腰三角形，必须

EM

＝

EC

，

∴∠

EMC

＝∠

ECM

，

∴∠

AEB

＝

2

∠

BCM

＝

2

∠

BAE

，

∴

2

∠

BAE+

∠

BAE

＝

90

°，

∴∠

BAE

＝

30

°，

∴

BE

＝

AB

＝；

．

②当点

E

在

BC

的延长线上时，同①知

BE

＝

综上①②，当

BE

＝戓

BE

＝时，△

MCE

是等腰三角形．

27

．如图，在△

ABC

中，∠

C

＝

90

°，∠

ABC

的平分线交

AC

于点

E

，过点

E

作

BE

的垂线交

AB

于

点

F

，⊙

O

是△

BEF

的外接圆．

（

1

）求证：

AC

是⊙

O

的切线；

（

2

）过点

E

作

EH

⊥

AB

，垂足为

H

，求证：

CD

＝

HF

；

（

3

）若

CD

＝

1

，

EH

＝

3

，求

BF

及

AF

长．

【分析】（

1

）连接

OE

，由于

BE

是角平分线，则有∠

CBE

＝∠

OBE

；而

OB

＝

OE

，就有∠

OBE

＝∠

OEB

，等量代换有∠

OEB

＝∠

CBE

，那么利用内错角相等，两直线平行，可得

OE

∥

BC

；又

∠

C

＝

90

°，所以∠

AEO

＝

90

°，即

AC

是⊙

O

的切线；

（

2

）连接

DE

，先根据

AAS

证明△

CDE

≌△

HFE

，再由全等三角形的对应边相等即可得出

CD

＝

HF

．

（

3

）先证得△

EHF

∽△

BEF

，根据相似三角形的性质求得

BF

＝

10

，进而根据直角三角形斜边中

线的性质求得

OE

＝

5

，进一步求得

OH

，然后解直角三角形即可求得

OA

，得出

AF

．

【解答】证明：（

1

）如图，连接

OE

．

∵

BE

⊥

EF

，

∴∠

BEF

＝

90

°，

∴

BF

是圆

O

的直径．

∵

BE

平分∠

ABC

，

∴∠

CBE

＝∠

OBE

，

∵

OB

＝

OE

，

∴∠

OBE

＝∠

OEB

，

∴∠

OEB

＝∠

CBE

，

∴

OE

∥

BC

，

∴∠

AEO

＝∠

C

＝

90

°，

∴

AC

是⊙

O

的切线；

（

2

）如图，连接

DE

．

∵∠

CBE

＝∠

OBE

，

EC

⊥

BC

于

C

，

EH

⊥

AB

于

H

，

∴

EC

＝

EH

．

∵∠

CDE+

∠

BDE

＝

180

°，∠

HFE+

∠

BDE

＝

180

°，

∴∠

CDE

＝∠

HFE

．

在△

CDE

与△

HFE

中，

，

∴△

CDE

≌△

HFE

（

AAS

），

∴

CD

＝

HF

．

（

3

）由（

2

）得

CD

＝

HF

，又

CD

＝

1

，

∴

HF

＝

1

，

在

Rt

△

HFE

中，

EF

＝

∵

EF

⊥

BE

，

∴∠

BEF

＝

90

°，

∴∠

EHF

＝∠

BEF

＝

90

°，

∵∠

EFH

＝∠

BFE

，

∴△

EHF

∽△

BEF

，

∴＝，即＝，

＝，

∴

BF

＝

10

，

∴

OE

＝

BF

＝

5

，

OH

＝

5

﹣

1

＝

4

，

∴

Rt

△

OHE

中，

cos

∠

EOA

＝，

∴

Rt

△

EOA

中，

cos

∠

EOA

＝

∴＝，

，

﹣

5

＝．

＝，

∴

OA

＝

∴

AF

＝

28

．如图

1

，抛物线

y

＝

ax

2

+

（

a+3

）

x+3

（

a

≠

0

）与

x

轴交于点

A

（

4

，

0

），与

y

轴交于点

B

，在

x

轴上有一动点

E

（

m

，

0

）（

0

＜

m

＜

4

），过点

E

作

x

轴的垂线交直线

AB

于点

N

，交抛物线于点

P

，

过点

P

作

PM

⊥

AB

于点

M

．

（

1

）求

a

的值和直线

AB

的函数表达式；

（

2

）设△

PMN

的周长为

C

1

，△

AEN

的周长为

C

2

，若＝，求

m

的值；

（

3

）如图

2

，在（

2

）条件下，将线段

OE

绕点

O

逆时针旋转得到

OE

′，旋转角为α（

0

°＜α

＜

90

°），连接

E

′

A

、

E

′

B

，求

E

′

A+E

′

B

的最小值．

【分析】（

1

）令

y

＝

0

，求出抛物线与

x

轴交点，列出方程即可求出

a

，根据待定系数法可以确定

直线

AB

解析式．

（

2

）由△

PNM

∽△

ANE

，推出＝，列出方程即可解决问题．

（

3

）在

y

轴上

取一点

M

使得

OM

′＝，构造相似三角形，可以证明

AM

′就是

E

′

A+E

′

B

的最小值．

解：（

1

）令

y

＝

0

，则

ax

2

+

（

a+3

）

x+3

＝

0

，

∴（

x+1

）（

ax+3

）＝

0

，

∴

x

＝﹣

1

或﹣，

∵抛物线

y

＝

ax

2

+

（

a+3

）

x+3

（

a

≠

0

）与

x

轴交于点

A

（

4

，

0

），

∴﹣＝

4

，

∴

a

＝﹣．

∵

A

（

4

，

0

），

B

（

0

，

3

），

设直线

AB

解析式为

y

＝

kx+b

，则，

解得，

∴直线

AB

解析式为

y

＝﹣

x+3

．

（

2

）如图

1

中，

∵

PM

⊥

AB

，

PE

⊥

OA

，

∴∠

PMN

＝∠

AEN

，∵∠

PNM

＝∠

ANE

，

∴△

PNM

∽△

ANE

，

∴＝，

∵

NE

∥

OB

，

∴＝，

∴

AN

＝（

4

﹣

m

），

∵抛物线解析式为

y

＝﹣

x

2

+x+3

，

∴

PN

＝﹣

m

2

+m+3

﹣（﹣

m+3

）＝﹣

m

2

+3m

，

∴＝，

解得

m

＝

2

或

4

，

经检验

x

＝

4

是分式方程的增根，

∴

m

＝

2

．

（

3

）如图

2

中，在

y

轴上

取一点

M

′使得

OM

′＝，连接

AM

′，在

AM

′上取一点

E

′使得

OE

′＝

OE

．

∵

OE

′＝

2

，

OM

′•

OB

＝×

3

＝

4

，

∴

OE

′

2

＝

OM

′•

OB

，

∴＝，∵∠

BOE

′＝∠

M

′

OE

′，

∴△

M

′

OE

′∽△

E

′

OB

，

∴＝＝，

∴

M

′

E

′＝

BE

′，

∴

AE

′

+BE

′＝

AE

′

+E

′

M

′＝

AM

′，此时

AE

′

+BE

′最小（两点间线段最短，

A

、

M

′、

E

′共线时），

最小值＝

AM

′＝

＝．