考研数学二(矩阵)模拟试卷21(题后含答案及解析)

2024年3月11日发(作者：辽宁省联考三模数学试卷)

考研数学二（矩阵）模拟试卷21

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设A和B都是n阶矩阵，则必有( )

A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。

B．AB=BA。

C．｜AB｜=｜BA｜。

D．(A+B)－1=A－1+B－1。

正确答案：C

解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C正确。取

B=一A，则｜A+B｜=O，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A错误。由矩阵乘法

不满足交换律知，B不正确。因(A+B)(A－1+B－1)≠E，故D也不正确。所以应

选C。 知识模块：矩阵

2． 设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是( )

A．(A+B)(A—B)=A2一B2。

B．(A+B)－1=A－1+B－1。

C．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。

D．(AB)*=B*A*。

正确答案：D

解析：根据伴随矩阵的定义可知(AB)*=｜AB｜(AB)－1=｜A｜｜B｜B－1A

－1=B*A*，故选D。 知识模块：矩阵

3． 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=O，则( )

A．E—A不可逆，E+A不可逆。

B．E—A不可逆，E+A可逆。

C．E一A可逆，E+A可逆。

D．E—A可逆，E+A不可逆。

正确答案：C

解析：已知(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。故E

—A，E+A均可逆。故应选C。 知识模块：矩阵

4． 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆； ②

若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆； ④A一E恒可逆。

上述命题中，正确的个数为( )

A．1。

B．2。

C．3。

D．4。

正确答案：D

解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。若A可逆，则｜(A—E)B｜=｜A—E｜

×｜B｜= ｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩阵B可逆，从而命题①正确。同命

题①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故

命题②正确。因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即命题③正确。对

于命题④，用分组因式分解，即AB一A一B+E=E，则有(A—E)(B一E)=E，所

以得A—E恒可逆，命题④正确。所以应选D。 知识模块：矩阵

5． 设A为n阶可逆矩阵，且n≥2，则(A－1)*=( )

A．｜A｜A－1。

B．｜A｜A。

C．｜A－1｜A－1。

D．｜A－1｜A。

正确答案：D

解析：根据伴随矩阵的定义可知(A－1)*=｜A－1｜(A－1)－1=｜A－1｜A，

故选D。 知识模块：矩阵

6． 设。P1=，则必有( )

A．AP1P2=B。

B．AP2P1=B。

C．P1P2A=B。

D．P2P1A=B。

正确答案：C

解析：由于对矩阵Am×n施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应

的m阶初等矩阵；对Am×n作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的

n阶初等矩阵，而经过观察A、B的关系可以看出，矩阵B是矩阵A先把第一行

加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所

对应的初等矩阵分别为题中条件的P2与P1，因此选项C正确。 知识模块：矩

阵

7． 设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中不一定成立的是( )

A．若｜A｜＞0，则｜B｜＞0。

B．如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E。

C．如果A与E合同，则｜B｜≠0。

D．存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B。

正确答案：A

解析：两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相同。当A可逆时，r(A)=n，

所以r(B)=n，即B是可逆的，故B－1B=E，选项B正确。矩阵的合同是一种等

价关系，若A与E合同，则r(A)=r(E)=n，由选项B可知C项正确。矩阵A，曰

等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，选项D正确。事实上，

当｜A｜＞0(即A可逆)时，我们只能得到｜B｜≠0(即B可逆)，故A项不一定

成立。 知识模块：矩阵

8． 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若AB=E，则( )

A．r(A)=m，r(B)=m。

B．r(A)=m，r(B)=n。

C．r(A)=n，r(B)=m。

D．r(A)=n，r(B)=n。

正确答案：A

解析：因为AB=E，所以r(AB)=m。又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)

≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m。故选A。 知识

模块：矩阵

填空题

9． 设α，β均为三维列向量，βT是β的转置矩阵，如果αβT=，则αT

β=_________。

正确答案：5

解析：设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则αβT=，而αTβ=(a1，

a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出αTβ就是矩阵αβT的主对角线元素的和，

所以αTβ=1+6+(一2)=5。 知识模块：矩阵

10． 设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=________。

正确答案：

解析：A=αβT==2，且矩阵的乘法满足结合律，所以A3=(αβT)(αβT)(α

βT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=。 知识模块：矩阵

11． 设方阵A满足A2一A一2E=O，并且A及A+2E都是可逆矩阵，则

(A+2E)－1=_______。

正确答案：(A一3E)

解析：由A2一A一2E=O，可得(A+2E)(A一3E)=一4E，于是有(A+2E)－

1(A+2E)(A一3E)=一4(A+2E)－1，因此(A+2E)－1=(A一3E)。 知识模块：矩阵

12． 设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=，

则(B一2E)－1=________。

正确答案：

解析：利用已知条件AB=2A+3B，通过移、添加项构造出B一2E，于是有

AB一2A一3B+6E=6E，则有(A一3E)(B一2E)=6E。从而(B一2E)－1=。 知

识模块：矩阵

13． 设矩阵A的伴随矩阵A*=，则A=________。

正确答案：

解析：由AA*=｜A｜E可得A=｜A｜(A*)－1，对等式两端取行列式并结合

已知条件，可得｜A*｜=一8=｜A｜3，因此｜A｜=一2，又(A*)－1=。所以A=｜

A｜(A*)－1=。 知识模块：矩阵

14． 已知A=，矩阵X满足A*X=A－1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则

X=________。

正确答案：

解析：左乘矩阵A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩阵方程，得｜A｜

X=E+2AX，移项可得(｜A｜E一2A)X=E，因此X=(｜A｜E一2A)－1。已知｜

A｜=4，所以X=(4E一2A)－1=(2E—A)－1=。 知识模块：矩阵

15． 设三阶方阵A，B满足A－1BA=6A+BA，且A=，则B=________。

正确答案：

解析：将A－1BA=6A+BA变形可得(A－1一E)BA=6A，即B=6(A－1一

E)－1。又因为A－1=，所以B=。 知识模块：矩阵

16． 设矩阵A=，则A3的秩为_________。

正确答案：1

解析：依矩阵乘法直接计算得A3=，故r(A3)=1。 知识模块：矩阵

17． 设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=_________。

正确答案：2

解析：因为｜B｜==10≠0，所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2。 知识模

块：矩阵

18． 设A=，B是三阶非零矩阵，且AB=O，则a=_________。

正确答案：

解析：因为AB=O，则有r(A)+r(B)≤3，又已知矩阵B≠O，因此r(B)≥1，

那么r(A)＜3，则行列式｜A｜=0。而｜A｜==一2(5A一4)，所以a=。 知识模

块：矩阵

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19． 设A=，求An。

正确答案：把矩阵A作如下拆分：An=(λE+B)n=Cn0(λE)nB0+Cn1(λE)n

－1B+Cn2(λE)n－2B2 涉及知识点：矩阵

20． 已知PA=BP，其中，求A2008。

正确答案：｜P｜=6，则矩阵P可逆。由PA=BP可得A=P－1BP，于是A2008=P

－1B2008P。B2008==E，所以A2008=P－1P=E。 涉及知识点：矩阵

21． 已知A=，B=PAP－1，求B2016+A4。

正确答案：计算可得A4=E，则B2016=PA2016P－1=P(A4)504P－1=E，于

是B2016+A4=2E。 涉及知识点：矩阵

已知A，B是反对称矩阵，证明：

22． A2是对称矩阵；

正确答案：(A2)T=ATAT=(一A)(一A)=A2，所以A2是对称矩阵。 涉

及知识点：矩阵

23． AB一BA是反对称矩阵。

正确答案：(AB—BA)T=BTAT—ATBT=BA—AB=一(AB—BA)，所以AB—

BA是反对称矩阵。 涉及知识点：矩阵

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：

24． 若｜A｜=0，则｜A*｜=0；

正确答案：(反证法)假设｜A*｜≠0，则有A*(A*)－1=E。又因为AA*=｜A｜

E，且｜A｜=0，故A=AE=AA*(A*)－1=｜A｜E(A*)－1=O，所以A*=O。这与｜

A*｜≠0矛盾，故当｜A｜=0时，有｜A*｜=0。 涉及知识点：矩阵

25． ｜A*｜=｜A｜n－1。

正确答案：由于AA*=｜A｜E，两端同时取行列式得｜A｜｜A*｜=｜A｜n。

当｜A｜≠0时，｜A*｜=｜A｜n－1；当｜A｜=0时，｜A*｜=0。综上，有｜

A*｜=｜A｜n－1成立。 涉及知识点：矩阵

26． 设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明：(A*)T=(AT)*。

正确答案：因为A可逆，所以｜A｜=｜AT｜，且AA－1=E。在AA－1=E

两边同时取转置可得(A－1)TAT=E，即(AT)－1=(A－1)T，所以(A*)T=(｜A｜A

－1)T=｜A｜(A－1)T=｜AT｜(AT)－1=(AT)*。 涉及知识点：矩阵

27． 已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA－1=BA－1+3E，

求B。

正确答案：在A*=｜A｜A－1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A－1｜

=｜A｜3，因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜A｜=2。由ABA－

1=BA－1+3E移项并提取公因式得，(A—E)BA－1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，

左乘A－1得(E一A－1)B=3E。由已求结果｜A｜=2，知A－1=，E—A－1=diag(1，

1，1，1)一，得(E—A－1)－1=diag(2，2，2，)，因此B=3(E—A－1)－1=diag(6，

6，6，一1)。 涉及知识点：矩阵

28． 设A=，问k为何值，可使：(I)r(A)=1；(Ⅱ)r(A)=2；(Ⅲ)r(A)=3。

正确答案：对A作初等变换，即A=。(Ⅰ)当k=1时，r(A)=1；(Ⅱ)当k=一2

时，r(A)=2；(Ⅲ)当k≠1且k≠一2时，r(A)=3。 涉及知识点：矩阵