2024年3月11日发(作者：解析很全的小学数学试卷)

考研数学一解答题专项强化真题试卷40

(题后含答案及解析)

题型有：1.

1． (2013年)已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系

数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=____________．

正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x．

解析：由题设知y1一y3=e3x， y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的

特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+C2e3x—xe2x． 知识模块：常微分方程

2． (2014年)设数列{an}，{bn}满足cosan一an=cosbn且级数收敛。 (I)

证明 (Ⅱ)证明级数收敛。

正确答案：(I)由cosan一an=cosbn及可得，0n=cosan一cosbn因为在上，cosx

为减函数，所以由于级数收敛，所以级数也收敛，由级数收敛的必要条件可得

(Ⅱ)由于所以 由于级数收敛，由正项级数的比较判别法可知级数收敛。

涉及知识点：级数

3． (91年)求(x2+y2+z)dv，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平

面z=4所围成的立体．

正确答案：利用柱坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，dv=rdrdθdz，则

涉及知识点：高等数学

4． (00年)计算曲线积分其中L是以点(1，0)为中心、R为半径的圆周(R＞

1)取逆时针方向．

正确答案：作椭圆C：4x2+y2=δ2 (C取逆时针方向，δ是足够小的正数，

使4x2+y2=δ2全含在L内)．由格林公式知其中S为椭圆域4x2+y2≤δ2的面

积 涉及知识点：高等数学

5． (01年)计算I=(y2一z2)dx+(2z2一x2)dy+(3x2一y2)dz，其中L是平面

x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向．

正确答案：记S为平面x+y+z=2上L所围成部分的上侧，D为S在xOy坐

标面上的投影，由斯托克斯公式得 涉及知识点：高等数学

6． (12年)设(I)计算行列式|A|；(Ⅱ)当实数a为何值时，方程组Ax=β有无

穷多解，并求其通解．

正确答案：(I)按第1列展开，得|A|=1+a(-1)4+1a3=1-a4．(Ⅱ)若方程组Ax=

β有无穷多解，则|A|=0．由(I)得a=1或a=一1．当a=1时，对增广矩阵作初等

行变换：可见r(A)≠r(A|β)，故方程组Ax=β无解；当a=一1时，对增广矩阵

作初等行变换：可见r(A)=r(A|β)=3＜4，故方程组Ax=β有无穷多解，其通为

涉及知识点：线性代数

7． 计算，其中f(x)=。

正确答案：

8． 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．

正确答案：∫01∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)如 (交换积分次序)=∫

01dx∫0xf(y)f(x)dy (积与积分变量使用的字母无关)，故 ∫01dx∫

x1f(x)f(y)dy=∫01dx∫x1f(x)f(y)dy+∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dx∫x1f(x)f(y)dy+

∫01dx∫0xf(x)f(y)dy=∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫

01f(y)dy=A2． 涉及知识点：多元函数积分学

[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3，向量α1=[一1，2，

一1]T，α2=[0，一1，1]T都是齐次方程组AX=0的解．

9． 求A的特征值和特征向量；

正确答案：由题设有A[1，1，1]T=[3，3，3]T=3[1，1，1]T，则λ0=3为A

的特征值，α0=[1，1，1]T为A的属于λ0=3的特征向量，于是A的属于特征

值3的所有特征向量为k0α0(k0为不等于零的任意常数)．又α1，α0为AX=0

的非零解向量，由知，α1与α2是A的属于特征值λ=0的特征向量．因α1，

α2线性无关，故A的属于特征值0的所有特征向量为k1α1+k2α2(k1，k2不

全为零)． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

10． 求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ．

正确答案：因0为A的二重特征值，现将属于多重特征值的特征向量α1，

α2正交化(因α1，α2不正交)，使用施密特正交化的方法得到β1=α1，则β1，

β2正交．显然α0与β1，β2都正交，因它们是实对称矩阵不同特征值的特征

向量．下面将α0，β1，β2单位化，得到令Q=[η0，η1，η2]，则Q为正交

矩阵，且有QTAQ=Q-1AQ=diag(3，0，0)=Λ． 涉及知识点：矩阵的特征

值和特征向量


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